基底法VS坐標(biāo)法

金玉明

所有的平面向量運(yùn)算最終都有兩個(gè)切人點(diǎn)：選擇兩個(gè)不共線平面向量作為基底，平面向量所有問題轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)基底向量，進(jìn)而解決問題;建立平面直角坐標(biāo)系，將平面向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)解決問題.

從知識(shí)的發(fā)生發(fā)展來看，先有平面向量基本定理，后有平面向量的坐標(biāo)表示.但是從研究問題的直觀性來看，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算更為直觀，更容易理解.在很多問題中基底法和坐標(biāo)法都能夠解決問題，有著共生互補(bǔ)的關(guān)系.下面筆者就幾個(gè)實(shí)例探討平面向量問題的解決方法，并希望為讀者提供一些解決平面向量問題的基本切入點(diǎn)，尋找最合適的方法解決平面向量問題，

一、基底法

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且ED=5AE，F(xiàn)C=5BF，若向量AB與DC的夾角為60°，則AB·EF的值為___。

分析 從問題給定的條件看，已知向量AB與DC的模長(zhǎng)與夾角，可取向量AB與DC作為平面向量一組基底，表示平面內(nèi)所有向量，再利用向量數(shù)量積公式就可以解決問題.根據(jù)向量的加法，EF=ED+DC+CF=5/6AD+DC+5/6CB=5/6（AD+CB）+DC.又AD+DC+BA=0，所以AD+CB=AB-DC，所以EF=5/6AB+6/1DC，所以根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可求出AB，EF.本題考查向量的加法運(yùn)算、共線向量基本定理、向量數(shù)量積的計(jì)算公式，

解 如圖1，根據(jù)已知條件及共線向量基本定理得：

EF=D+DC+CF

=5/6AD+DC+5/6CB

=5/6（ADDC）+DC，因?yàn)锳D+DC+CB+BA=0，故AD+CB=AB-DC，則EF=5/6（AB-DC）+DC

=5/6AB+1/6DC，所以AB·EF=AB·（5/6AB+1/6DC）

=5/6AB²+1/6AB·DC

=15/2+1/2=8.

本題由于題目圖形的不規(guī)則性，建立平面直角坐標(biāo)系是不合適的，所以采用基底法解決，

二、坐標(biāo)法

分析 由于本題的圖形是矩形，在解決問題之初，想到應(yīng)當(dāng)選用坐標(biāo)法來解決問題更為直觀，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為χ軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形的長(zhǎng)寬分別為2a，2b，得到A，B，C，M，N的坐標(biāo)，利用向量相等得到關(guān)于λ，u的方程組解之，本題考查了平面向量基本定理的運(yùn)用，利用坐標(biāo)法使得計(jì)算簡(jiǎn)便，考查了推理能力與計(jì)算能力.

解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為χ軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形的長(zhǎng)寬分別為2a，2b，得到A（0，0），B（2a，0），C（2a，2b），M（2a，b），N（a，2b）.

所以AC=（2a，2b），AM=（2a，b），BN=（-a，2b），

本題由于圖形為矩形，建立平面直角坐標(biāo)系更為直觀，解決問題更為方便，所以采用坐標(biāo)法解決.

三、基底法VS坐標(biāo)法

分析 方法一：基底法，用三角形各邊向量表示出BE，CF，再計(jì)算BE.CF.本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.

方法二：坐標(biāo)法，以BC為x軸，B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算BE.CF.

本題由于圖形的特殊性，所以基底法、坐標(biāo)法都可以順利解決.

通過上述三個(gè)例子我們不難發(fā)現(xiàn)，在解決平面向量相關(guān)問題時(shí)，我們的解題切人點(diǎn)主要有兩個(gè)：選擇平面向量的一組基底解決問題;建立平面直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法來解決問題.

在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)讀者應(yīng)當(dāng)會(huì)有這樣的感覺：從向量的概念、表示方式，到線性運(yùn)算、平面向量共線定理，再到平面向量基本定理，感覺這些內(nèi)容好像是浮在空中，始終難以抓住，而自從有了坐標(biāo)表示，一下子就感覺找到了平面向量的一個(gè)抓手，所有問題都變成以前熟悉的題目了，感覺終于落地了.這就是由抽象的平面向量問題變成了直觀的坐標(biāo)運(yùn)算，

正因?yàn)槿绱?，遇到平面向量問題，我們一般可優(yōu)先考慮用坐標(biāo)法解決，確實(shí)無法建立平面直角坐標(biāo)系，則考慮選擇一組基底向量來解決問題.而基底向量的選擇依據(jù)，主要是看哪些向量有模和夾角的相關(guān)條件.

下面是一個(gè)高考題實(shí)例，從問題的探究中，我們可以再深人體會(huì)解決平面向量問題時(shí)，基底法和坐標(biāo)法這兩個(gè)切入點(diǎn)的重要價(jià)值.

例4 如圖4，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

所謂不忘初心，方得始終.研究問題一定要把握問題的切人點(diǎn)，從知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中尋找知識(shí)的形成過程，尋找研究知識(shí)的方法，提高自己的關(guān)鍵能力，從而在變化多端的問題中找準(zhǔn)方向，有的放矢.快速、準(zhǔn)確地解決問題.