關(guān)于L-函數(shù)一類特殊二次均值的計(jì)算問題

段 然

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

設(shè)整數(shù)q滿足2≤q∈N+, 且χ是模q的一個(gè)Dirichlet特征, 記為χmodq。當(dāng)一復(fù)數(shù)s對應(yīng)的實(shí)部Re(s) 滿足Re(s)=σ>1 時(shí), 定義函數(shù)L(s,χ) 為

這就是在解析數(shù)論研究過程中起到重要作用的DirichletL-函數(shù)。

若χ是模q的主特征即χ=χ0, 則L(s,χ) 除在s=1處外是處處解析的,s=1 是DirichletL-函數(shù)的一個(gè)一階極點(diǎn), 并且其留數(shù)為φ(q)/q, 其中φ(q)為Euler函數(shù)。

若χ不是模q的主特征, 即χ≠χ0, 那么函數(shù)L(s,χ)是關(guān)于其變元s的整函數(shù)。Dirichlet對算術(shù)級數(shù)中的素?cái)?shù)分布問題做了大量的工作, 同時(shí)引入了函數(shù)L(s,χ)。關(guān)于DirichletL-函數(shù)性質(zhì)的研究概括起來有以下三大方面:

1)L-函數(shù)的零點(diǎn)密度問題;

2) 帶有權(quán)系數(shù)的L-函數(shù)的均值問題的研究;

以上任何一個(gè)方面所取得的進(jìn)展,必將對解析數(shù)論,甚至于對整個(gè)數(shù)論科學(xué)的發(fā)展起到巨大的推動作用。

1 概況L-函數(shù)均值研究

1.1 L-函數(shù)高次均值的研究進(jìn)展

本文研究了DirichletL-函數(shù)在直線s=1上一類特殊二次均值的計(jì)算問題。事實(shí)上, DirichletL-函數(shù)在直線s=1上的二次均值計(jì)算問題是解析數(shù)論, 甚至整個(gè)數(shù)論科學(xué)中的一大熱點(diǎn)問題。 有關(guān)這一問題, H. Walum[1]進(jìn)行了研究, 并證明了如果整數(shù)q為奇素?cái)?shù)p時(shí), 存在等式

(1)

并且H. Walum[1]研究L-函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了Dedekind和與L-函數(shù)加權(quán)均值間的關(guān)系式, 即得到了等式

張文鵬將等式 (1) 推廣到對一般整數(shù)模q的情況。即文獻(xiàn)[2] 的作者張文鵬證明了對任意整數(shù)q≥3, 存在下述等式:

隨后, 張文鵬[3]獲得了一個(gè)更加深入的結(jié)果。即當(dāng)q是一個(gè)奇的Square-full數(shù)時(shí), 其證明了下述等式:

上述結(jié)果都是DirichletL-函數(shù)在直線s=1上的二次均值計(jì)算問題的具有代表性的重要結(jié)論。 除以上所述外, 當(dāng)然還有很多關(guān)于DirichletL-函數(shù)在直線s=1上的二次均值計(jì)算問題的研究內(nèi)容。 這些內(nèi)容可參看文獻(xiàn)[4-8] , 這里不再一一贅述。

總結(jié)以上這些均值公式, 可以發(fā)現(xiàn)它們的共同之處體現(xiàn)在均是對模q的奇特征求和。 對偶特征情形下的類似問題, 幾乎沒有一篇論文涉及。造成這一現(xiàn)象的原因是此類均值在偶特征情形下可能不存在確且的計(jì)算公式。

1.2 L-函數(shù)特殊二次均值的研究進(jìn)展及本文結(jié)果

最近, 對于模q的偶特征χmodq,χ(-1)=1, 朱敏慧和楊曉柳[9]研究了另一類二次均值的計(jì)算問題, 即和式

(2)

的計(jì)算問題, 其中q≥3 為整數(shù),λ為模r的奇特征, 這里r≥3 且(q,r)=1。

并且文獻(xiàn)[9] 的兩位作者得到了下述結(jié)論:

1) 若3≤q∈N+，且q是奇數(shù),χ4為模4的特征且χ4≠χ0, 則存在等式

其中φ是Euler函數(shù)。

2)若q∈N+,(q,3)=1,χ3為模3的特征且χ3≠χ0, 則有恒等式。

因φ(3)=φ(4)=2, 從而模 3 和模 4 各自都只有一個(gè)奇特征χ3,χ4。 同時(shí)注意到對分解式k=k1·…·kl而言(其中k1,…,kl兩兩互素)，模k的任一特征χ(n;k) 可分解為唯一的一組模k1的特征χ(n;k1)。模kl的特征χ(n;kl) 的乘積, 即χ(n;k)=χ(n;k1)，…，χ(n;kl)。 據(jù)此分析, 文獻(xiàn)[9] 中結(jié)果的實(shí)質(zhì)是對模 3q及 4q的全體奇特征求和的問題。

另一方面, 由于模 3=31和模 4=22各自都只是一個(gè)素?cái)?shù)的方冪, 因此相關(guān)的證明過程及計(jì)算過程處理起來比較簡單容易。 但是，如果求和式 (2) 中的r是兩個(gè)或兩個(gè)以上不同素因數(shù)的乘積, 甚至說是兩個(gè)或兩個(gè)以上不同素因數(shù)方冪的乘積時(shí), 相關(guān)的證明過程及計(jì)算過程處理起來就復(fù)雜了, 有時(shí)所面臨的困難甚至是無法逾越的。 我們僅僅以r=6 為例, 研究求和式 (2) 的計(jì)算問題, 并給出一個(gè)確切具體的計(jì)算公式。 同時(shí)指出文獻(xiàn)[9] 中定理 2 的不足之處。

換言之我們將證明下面的兩個(gè)結(jié)論。

定理1設(shè)q∈Z,q≥3,(q,6)=1, 且χ6為模6 的奇特征, 如果 ?≠{d∈N+:d|q}?{6n+1:n∈Z}, 那么得到

定理2設(shè)p為奇素?cái)?shù)且p≡-1 mod 6, 那么對模6 的唯一一個(gè)奇特征χ6, 存在等式

注釋:

1)本文定理1的預(yù)設(shè)條件中, 要求對q的每一個(gè)正因數(shù)d需滿足同余條件d≡1 mod 6是必要的。 因?yàn)楫?dāng)q≡1 mod 6時(shí), 并不能保證整數(shù)q的每一個(gè)因數(shù)d滿足該同余式, 如整數(shù)25。從而如果不要求對q的每一個(gè)因數(shù)d都必須滿足同余關(guān)系d≡1mod 6時(shí), 就會導(dǎo)致我們在定理的證明過程中無法使用M?bius反轉(zhuǎn)公式

2 必要的引理

為了證明本文定理,需要借助一些引理及著名和式Dedekind和, 并大量運(yùn)用Dedekind和的性質(zhì)。 當(dāng)然還需借助初等數(shù)論的知識, 關(guān)于Dedekind和的性質(zhì)及用到的初等數(shù)論內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)[10-12] 。

首先需要指出的是Dedekind和是在研究η函數(shù)在模變換下的性質(zhì)時(shí)引進(jìn)的。經(jīng)典Dedekind和的定義如下:

設(shè)q∈N+,h∈Z, 經(jīng)典Dedekind和S(h,q)定義為

其中

此處借助高斯函數(shù)[x] 的性質(zhì)易見函數(shù)((x)) 以任意非零整數(shù)作為其周期。

經(jīng)典Dedekind和的算術(shù)性質(zhì)的研究吸引了不少學(xué)者。 關(guān)于經(jīng)典Dedekind和的一系列重要結(jié)果和性質(zhì)可參閱文獻(xiàn)[11] 及[13-17] 。這里需要強(qiáng)調(diào)的是L.Carlitz在文獻(xiàn)[13] 中給出了Dedekind和S(h,q) 的互反公式, 即當(dāng)q∈N+,h∈N+,(h,q)=1 時(shí), 存在恒等式

(3)

其次,我們引入完成本文定理證明所需要的一些引理。

引理1如果 3≤q∈N+,h∈Z(h,q)=1, 則存在等式

證明其證明可參閱文獻(xiàn)[4] 中引理 2。

文獻(xiàn)[4] 的作者張文鵬發(fā)現(xiàn)了上述引理, 其深遠(yuǎn)的意義在于建立了Dedekind和與DirichletL-函數(shù)二次加權(quán)均值之間的直接聯(lián)系。

引理2(i) 若3≤q∈N+,且q是奇數(shù), 則存在等式

(ii)若 (q,3)=1, 則存在公式

證明其證明可參考文獻(xiàn)[9] 中的引理2。

引理3設(shè)3≤q∈Z,(q,6)=1, 那么

證明依據(jù)Dedekind和的定義知

(4)

借助等式(4)及Dedekind和的互反公式(3)立刻推出，當(dāng)q≡1 mod 6 時(shí), 有

(5)

當(dāng)q≡-1 mod 6時(shí),結(jié)合S(-1,6)=-S(1,6)得出

(6)

綜合等式 (5) 及 (6) 即完成了引理 3 的證明。

引理4若 3≤q∈Z,(q,6)=1, 則

當(dāng)q≡1 mod 6時(shí),依據(jù)Dedekind和的互反公式(3)得到

(7)

當(dāng)q≡5≡-1 mod 6時(shí),由式(7)的證明方法，有

(8)

由等式(7)及等式(8)立刻推出引理4。

3 定理的證明

本節(jié)我們來完成定理的證明。

定理1的證明借助初等數(shù)論的知識可得[18]

對模q的奇特征χmodq, (其中 3≤q∈Z) 存在等式

(9)

(10)

|L(1,χ)|2=Δ·|L(1,χ)|2,

(11)

其中

(12)

利用引理1, 引理2及等式(9)立即推出

(13)

(14)

當(dāng)q≡1 mod 3時(shí),由文獻(xiàn)[9] (參閱該文中的 (16) 式) 知

(15)

由式(11)及引理 3 得到

(16)

所以將等式 (13)～(16) 代入等式 (12)，并化簡計(jì)算得

(17)

另一方面, 由Dedekind和的定義可以得到

(18)

利用等式(17)及等式(18)建立方程得到如下求和式:

對上式施用M?bius反轉(zhuǎn)公式立即得到

其中μ是M?bius函數(shù)。

于是定理1得證。

注釋:結(jié)合上述本文定理 1 的證明推導(dǎo)過程, 可見文獻(xiàn)[7] 中的結(jié)果在最后一步用到M?bius反轉(zhuǎn)公式時(shí)是不正確的!因?yàn)楫?dāng)q≡1 mod 6 時(shí),q的每一個(gè)正因數(shù)d不一定滿足同余式d≡1 mod 6。所以不能直接使用該文中的引理2,必須加上本文中的限制條件才可以使用!

定理2的證明完全類似地按照引理2、引理3、引理4以及等式(12)、等式(17)和等式(18)的證明方法可得

(19)

(20)

當(dāng)q≡-1 mod 3時(shí),由文獻(xiàn)[9] (參閱該文中的(15)式) 知

(21)

由式(21)容易推出

(22)

結(jié)合等式 (12), 等式 (18)～(20)及等式(22)可立刻推出

將上式簡化后得

于是定理2得證。