熱環(huán)境中非保守簡支-固支FGM梁的非線性力學(xué)行為

李清祿,楊凡轉(zhuǎn),張靖華

（蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050）

為了適應(yīng)航空航天應(yīng)用的超高溫材料，20世紀(jì)80年代中期，日本科學(xué)家引入了功能梯度材料（functionally graded material，F(xiàn)GM）[1]。FGM 是一類具有材料屬性空間連續(xù)變化的新型復(fù)合材料，它能夠承受高溫梯度環(huán)境，而不會(huì)引起任何層間的分離。功能梯度材料通常由陶瓷和金屬復(fù)合而成，其力學(xué)性能從一側(cè)到另外一側(cè)平滑和連續(xù)地變化，導(dǎo)致材料性質(zhì)與等效物性參數(shù)也是梯度平緩變化，這使得FGM在航空航天結(jié)構(gòu)以及聚變反應(yīng)堆等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。李斌太等[4]詳細(xì)闡述了復(fù)合材料在航空領(lǐng)域的研究進(jìn)展，指出建立復(fù)合材料國防科技實(shí)驗(yàn)室在航空裝備領(lǐng)域的重要性。梁結(jié)構(gòu)作為工程中常見的結(jié)構(gòu)，因此有必要對FGM的各種力學(xué)性能進(jìn)行研究，從而為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供必要的理論依據(jù)。

Rahimi等[5]用Adomian分解法分析了具有一定傾斜角度的FGM懸臂梁在端部力作用下的大變形力學(xué)行為。Li等[6]研究了功能梯度Timoshenko梁和均勻Euler梁的屈曲載荷之間的關(guān)系。張大光[7]引入物理中面的概念，研究了雙參數(shù)彈性地基上FGM梁的非線性彎曲問題。上述文獻(xiàn)中的載荷都是橫向保守載荷。崔宇等[8]通過研究指出，極端熱環(huán)境對合金復(fù)合材料的微觀組織和力學(xué)性能均有顯著影響。李世榮等[9]考慮軸線伸長對梁變形的影響，研究了Timoshenko FGM梁在橫向非均勻升溫下的熱過屈曲，討論了非均勻升溫對梁過屈曲行為的影響。Esfahani等[10]考慮了材料物性參數(shù)的溫度相關(guān)性，研究了彈性地基上FGM梁的屈曲問題。李清祿等[11]研究了變厚度FGM圓板的熱后屈曲問題，分析了材料梯度指數(shù)和厚度變化系數(shù)對圓板熱后屈曲行為的影響。

在具體工程應(yīng)用中，置于熱環(huán)境中的FGM梁同時(shí)會(huì)受到機(jī)械荷載。工程中存在一種受結(jié)構(gòu)的變形而方向發(fā)生變化的隨從力，這種力顯然是非保守力。例如，應(yīng)用于航空航天的火箭和噴氣式飛機(jī)均引起非保守力，這種非保守力將引起機(jī)翼的顫振。李清祿等[12]建立了Timoshenko梁在非保守載荷作用下的過屈曲控制微分方程，利用打靶法詳細(xì)討論了梯度指數(shù)，長細(xì)比等對梁過屈曲行為的影響。熱載荷作用下FGM梁的力學(xué)行為也是研究的熱點(diǎn)。趙鳳群等[13]之后又研究了非保守力和機(jī)械-載荷下FGM梁的振動(dòng)特性，利用小波微分求積法求解了數(shù)值解，討論了梯度指數(shù)、溫度等對一個(gè)簡支梁的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性的影響，但沒有對溫度環(huán)境下另外受到非保守載荷的FGM梁的屈曲或彎曲行為給出定性討論。

相比之下，處于均勻和非均勻升溫下，F(xiàn)GM梁受到非保守載荷非線性力學(xué)行為方面研究的成果極為少見。本工作基于軸線可伸長梁的大變形理論，通過一維熱傳導(dǎo)理論建立均勻和非均勻升溫下FGM梁在隨動(dòng)載荷作用下的非線性力學(xué)控制方程；假設(shè)材料性質(zhì)只沿梁厚度變化，建立溫度場中FGM梁受到切線隨動(dòng)非保守載荷的大變形數(shù)學(xué)模型，采用打靶法將高階偏微分方程化為兩點(diǎn)邊值問題的常微分方程實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解；分析功能梯度材料梯度指數(shù)對不同溫度環(huán)境下梁的非線性行為的影響。

1 FGM 材料的物性參數(shù)及其溫度場

1.1 FGM 材料物性參數(shù)

考慮功能梯度材料梁為陶瓷和金屬混合而成，梁的上表面為純陶瓷，陶瓷材料的體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向?yàn)閮绾瘮?shù)形式：

采用Voigt等應(yīng)變的線性混合率模型，F(xiàn)GM材料的等效物性參數(shù)描述為：

1.2 溫度場

FGM材料通常服役于熱環(huán)境中，記陶瓷一側(cè)和金屬一側(cè)的溫度分別為和，兩側(cè)溫度都均勻分布，梁內(nèi)溫度沿厚度變化，取基礎(chǔ)溫度為。其中升溫滿足一維熱傳導(dǎo)方程及邊界條件：

方程（3）在邊界條件（4）下的冪級數(shù)形式的解為：

2 控制微分方程

考慮處于升溫場中的FGM材料梁，其一端可移簡支，一端固定。其中長為l ，矩形截面寬為，高為，假設(shè)梁上施加沿軸線均勻分布切向載荷作用（見圖1）。梁在變形過程中，分布載荷的方向始終與軸線相切，即為隨動(dòng)載荷。

由文獻(xiàn)[9]及[12]可給出無量綱形式的控制微分方程：

圖1 升溫場中受軸向隨動(dòng)分布載荷作用的功能梯度簡支-固支梁 （a）功能梯度梁示意圖；（b）力學(xué)變形模型Fig.1 A hinged-fixed FGM beam subjected to uniformly distributed follower forces in thermal environment （ a） schematic sketch of a FGM beam；（b）mechanical model of the deformed beam

上述方程的無量綱量變換如下:

對圖1所示一端可移簡支、一端固定梁，相應(yīng)的無量綱邊界條件為

3 數(shù)值模擬及討論

3.1 打靶法

由于式（7）～（10）是相互耦合的強(qiáng)非線性方程，很難獲得解析解。這里采用打靶法[14]求其數(shù)值解。為此，將式（7）～（10）以及邊界條件寫成下式：

其中

給定隨從載荷時(shí)λ = q，矩陣B0、B1，向量b0、b1以及函數(shù)?1、?2的具體表達(dá)如下：

下面考慮一個(gè)與邊值問題相對應(yīng)的初值問題：

3.2 數(shù)值結(jié)果及討論

考慮由陶瓷二氧化鋯（ZrO2）和金屬鈦合金（Ti-6Al-4V）制成的FGM材料梁。兩種材料的物性參數(shù)見表1。

表1 陶瓷 ZrO2 和鈦合金 Ti-6Al-4V 的材料系數(shù)Table 1 Material parameters of ceramic ZrO2 and titanium alloy Ti-6Al-4V

首先，為了說明打靶法的精確性和計(jì)算結(jié)果正確性，將功能梯度材料退化為均勻材料的結(jié)果和已知文獻(xiàn)作了比較，其臨界載荷，和已知文獻(xiàn)[15]給出的結(jié)果完全吻合，說明了打靶法在本工作計(jì)算中的適用性。

圖2 左端轉(zhuǎn)角與載荷的關(guān)系Fig.2 Relationship between left rotation angle and load

圖3 左端位移 u(0)與載荷的關(guān)系Fig.3 Relationship between left displacement u(0) and load

圖4 右端彎矩 M(1)與載荷的關(guān)系Fig.4 Relationship between right end bending M(1) and load

圖5 ～6給出了熱軸力和熱彎矩隨材料梯度指數(shù)變化的曲線圖?？梢钥闯觯瑹彷S力隨梯度指數(shù)的增加而單調(diào)遞減，當(dāng)之后，熱軸力的減小趨于緩慢。而時(shí)熱彎矩隨梯度指數(shù)增大而增大，當(dāng)之后，熱彎矩又隨梯度指數(shù)增大而減小。在相同的梯度指數(shù)下，隨上下表面非均勻升溫的增加，熱軸力和熱彎矩都增加。

為了考察不同非均勻升溫下，載荷與各物理量之間的關(guān)系，圖7～9給出了材料梯度指數(shù)情況下，、以及的關(guān)系曲線。顯然，在均勻和非均勻溫度場中，、以及是載荷的非單調(diào)非單值函數(shù)，這和無溫度場作用下獲得的結(jié)論是不同的。另外，隨著上下表面溫差的增加，變形相同的、、下需要的載荷較小，而在給定載荷時(shí)，、、先增加后減小。

圖5 熱軸力 Nt與梯度指數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between thermal axial force Nt and gradient index

圖6 熱彎矩 Mt 與載荷的關(guān)系Fig.6 Relationship between thermal bending moment Mt and gradient index

圖7 非均勻升溫下-的關(guān)系Fig.7 Relationship between and under non-uniform heating

圖8 非均勻升溫下的關(guān)系Fig.8 Relationship between and under non-uniformheating

圖9 非均勻升溫下的關(guān)系Fig.9 Relationship between and under non-uniform heating

4 結(jié)論

（1）溫度環(huán)境下非保守簡支-固支陶瓷均勻材料梁發(fā)生典型的過屈曲行為，而相同條件下FGM梁發(fā)生非線性彎曲行為。

（4）在均勻和非均勻溫度場中，位移和梁端內(nèi)力是載荷的非單調(diào)非單值函數(shù)，而在無溫度場作用下是單調(diào)單值函數(shù)。