分類思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用探究

摘 要：分類討論思想應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題過程中時(shí)，需要遵循統(tǒng)一性原則、互斥性原則進(jìn)行分類，保證所分類別不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的，也不會(huì)出現(xiàn)漏掉的情況，經(jīng)常用到分類討論思想的題型有不等式的比較大小問題，以及函數(shù)的求最值問題、求奇偶性問題，本文分別就這些問題進(jìn)行了分類討論。

關(guān)鍵詞：分類思想；高中數(shù)學(xué)；解題

數(shù)學(xué)課程體系是按知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行劃分的，比如立體幾何、函數(shù)、不等式等，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能只是單純地學(xué)習(xí)各個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)，還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的思路，也就是數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能使自己頭腦當(dāng)中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系形成一個(gè)有機(jī)的整體，也能在高考解題過程中靈活運(yùn)用各種知識(shí)。研究高考數(shù)學(xué)的出題趨勢(shì)，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的題目形式上更加新穎，創(chuàng)新脫俗，如果缺乏數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，考生很難應(yīng)對(duì)這樣的試題，所以探究數(shù)學(xué)思想是必需的。分類討論思想是一個(gè)經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想，無論是學(xué)生在解題過程中，還是科學(xué)家在科研過程中，都會(huì)用到分類討論的思想。進(jìn)行合理的分類，可以提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性。以下我們分別從進(jìn)行分類討論時(shí)的使用原則及在解題中應(yīng)用來說明如何合理地進(jìn)行分類討論。

一、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用原則

分類討論思想需要學(xué)生根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的性質(zhì)和特點(diǎn)，將具體數(shù)學(xué)問題的已經(jīng)條件進(jìn)行清晰而準(zhǔn)確的分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)要做到不重不漏，并根據(jù)各個(gè)分類內(nèi)容，分別得出不同答案。所以運(yùn)用分類討論時(shí)，要遵循以下原則：

（一） 統(tǒng)一性原則

在進(jìn)行分類之前要設(shè)立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，不能同時(shí)使用多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使用多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，會(huì)造成遺漏或重復(fù)。比如，將目標(biāo)人群進(jìn)行分類討論時(shí)，可以按年齡大于20歲的，小于20歲的；或者是按性別，男生或女生。在數(shù)學(xué)解題過程進(jìn)行分類時(shí)，可以是分為x小于20時(shí)或大于20時(shí)。

（二） 互斥原則

我們?cè)谌粘Ｉ畹暮芏嗲闆r需要計(jì)數(shù)，而且是準(zhǔn)確地計(jì)數(shù)，當(dāng)被計(jì)數(shù)的基數(shù)比較大時(shí)，我們要對(duì)這些對(duì)象進(jìn)行分類，為了保證每個(gè)對(duì)象都能數(shù)到，而且不遺不重，這就需要我們分類后，每個(gè)類別應(yīng)該互不相容，即要每個(gè)類別都相斥，而且分類后不能有一個(gè)計(jì)數(shù)對(duì)象同時(shí)屬于兩個(gè)或兩個(gè)以上的類別。例如，同學(xué)中有20個(gè)人買了甲乙兩本書，其中買了甲書的人數(shù)是16人，買了乙書的人數(shù)是13人，如果按買了甲書和買了乙書這個(gè)原則進(jìn)行分類的話，那么就會(huì)違反了互斥原則，因?yàn)橛?人兩本書都買了。

二、 分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用

（一） 不等式中的分類討論思想

利用減法性質(zhì)對(duì)a，b之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類。將兩個(gè)未知數(shù)相減，用差與0進(jìn)行比較。a-b>0是a>b的充分必要條件；a-b<0是ab，c>0，那么ac>bc；而如果a0，那么ac

例如，比較（a+2）2與a2-2a+4的值的大小。分析：在解這道題的時(shí)候，通過將兩個(gè)式子相減，通過將差與0進(jìn)行比較來確定兩個(gè)式子的大小關(guān)系。解（a+2）2-（a2-2a+1）=6a，這時(shí)需要分類進(jìn)行討論。

當(dāng)a>0時(shí)，（a+2）2>a2-2a+4，

當(dāng)a<0，（a+2）2

當(dāng)a=0時(shí)，（a+2）2=a2-2a+4。

（二） 函數(shù)中的分類討論思想

在函數(shù)題中用到分類討論思想的情況主要包括兩種。一是判斷函數(shù)的奇偶性。這個(gè)情況下判斷的標(biāo)準(zhǔn)是自變量在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)上其函數(shù)值是否相等；或者是自變量在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)其單調(diào)性是否一致；或者是函數(shù)的自變量取值范圍是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

例如，判斷函數(shù)f（x）=x2，x∈（k，2）。在道題中，如果x的取值是全體實(shí)數(shù)時(shí)，它一定是偶函數(shù)，關(guān)鍵是看這個(gè)函數(shù)的自變量的取值范圍，看它是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，就需要對(duì)k的取值進(jìn)行討論，將k分為兩種情況進(jìn)行討論k=-2和k≠-2，

解：當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)的自變量的取值范圍關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=f（x）=x2，所以f（x）是偶函數(shù)。

當(dāng)k<2且k≠-2時(shí)，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）是非奇非偶函數(shù)。

二是求函數(shù)的最值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得到，函數(shù)的最大值就是函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)，首先要看在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，如果在自變量的這個(gè)取值區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是遞增函數(shù)，那么它的最大值就是當(dāng)自變量取最大值時(shí)的值；如果自變量在這個(gè)取值范圍內(nèi)，函數(shù)是遞減函數(shù)，那么它的最大值就是當(dāng)自變量取最小值時(shí)的值。如果給定的區(qū)間是全體實(shí)數(shù)，這時(shí)就是看函數(shù)是什么函數(shù)，在所學(xué)過的函數(shù)中，如果這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)有最小值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)有最大值。如果這個(gè)函數(shù)是正弦函數(shù)，它有最大值是1。如果這個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等時(shí)，當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，它是沒有最值的。

例如，求函數(shù)f（x）=x2+1在區(qū)間[-2，a]上的最小值。在解這道題的過程中，最關(guān)鍵的是求自變量的取值范圍，區(qū)間與對(duì)稱軸的位置不同，函數(shù)的單調(diào)性不同，那么函數(shù)的最值也不同。這時(shí)就需要對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論了。

當(dāng)-2

當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞減，而在[0，a]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)值有最小值為1。

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)的集合、數(shù)列、平面幾何、立體幾何、圓錐曲線、復(fù)數(shù)、排列組合和概率中都有應(yīng)用，但經(jīng)常出現(xiàn)的題型不同。學(xué)生多進(jìn)行分類討論的練習(xí)可以增強(qiáng)思維的縝密性。要進(jìn)行分類討論的練習(xí)，需要學(xué)生多對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]樸希蘭，樸勇杰.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2015（7）：169-170.

[2]楊淑芳.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略研究[D].信陽：信陽師范學(xué)院，2016.

作者簡(jiǎn)介：謝芳，福建省建甌市，福建省建甌第二中學(xué)。