一類非局部橢圓方程正解的存在性

陳林

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)分院,新疆伊寧 835000)

1 引言

橢圓型方程是偏微分方程理論的一個(gè)重要組成部分,其解的存在性問題具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值和理論價(jià)值,是偏微分方程領(lǐng)域中一個(gè)重要的研究課題.文獻(xiàn)[1]研究了如下擬線性橢圓邊值問題

近年來,對非局部橢圓方程的研究日益受到人們的重視[2–5].本文研究如下一類非局部橢圓方程

非平凡弱解的存在性,其中λ>0是實(shí)參數(shù),10,h(x),H(x)是在RN上可變號的權(quán)函數(shù).文獻(xiàn)[6]運(yùn)用Nehari流形及纖維環(huán)映射的方法得到當(dāng)a=0,p=2時(shí),問題(1.2)在有界區(qū)域上至少存在兩個(gè)正解;文獻(xiàn)[7]運(yùn)用山路引理和Ekeland變分原理證明了當(dāng)a=0時(shí),問題(1.2)至少存在兩個(gè)非平凡的弱解.受文獻(xiàn)[1,6,7]的啟發(fā),我們將運(yùn)用Nehari流形及纖維環(huán)映射證明問題(1.2)在全空間RN上至少存在兩個(gè)非平凡的弱解.由于所討論的問題定義區(qū)域是全空間RN,從而本文不能得到類似于文獻(xiàn)[1]中三個(gè)弱解的存在性結(jié)果.

的完備化空間.

由文獻(xiàn)[8]可知,存在一常數(shù)S>0使得

其中?∞

為研究問題的方便,做如下假設(shè):

本文的主要結(jié)果為

定理1.1 若條件(A1)–(A3)成立.則存在正數(shù)λ1使當(dāng)λ∈(0,λ1)時(shí),問題(1.2)至少具有兩個(gè)正解.

2 預(yù)備知識

定義2.1若u∈X且對于任意的?∈X有

成立,則稱u為問題(1.2)的一個(gè)弱解.

顯然問題(1.2)具有變分結(jié)構(gòu).設(shè)Iλ(u)是問題(1.2)所對應(yīng)的Euler泛函,其具體表達(dá)式為

其中σ=p(τ+1).則Iλ(u)∈C1(X,R)且對于任意的?∈X 有

特別地,

由于Iλ在X上無界,因此引入Nehari流形

從而當(dāng)u∈Nλ時(shí),有

引入纖維環(huán)映射 φu:t∈ R+7→ Iλ(tu),則

易見,u∈Nλ當(dāng)且僅當(dāng)(1)=0.更一般地,(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)tu∈Nλ.將Nλ分成

由于當(dāng)u∈Nλ時(shí),(1)=0,從而

引理2.2 Iλ是強(qiáng)制的且在Nλ上有下界.

證 由H?lder不等式及不等式(1.3),得

由于n

引理2.3存在λ0>0使得當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí)=?.

將(2.18)及(2.19)式運(yùn)用于(2.21)式得

從而

由此可得λ≥λ0,矛盾！因此,存在λ0>0使當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí)=?.

引理2.4假定u0是Iλ在Nλ上的一個(gè)局部極小值點(diǎn).如果u06∈,則u0是Iλ(u)的一個(gè)臨界點(diǎn).

證 設(shè)

由于u0∈Nλ,從而

然而

因此,如果u06∈,則.進(jìn)而由(2.25)式知μ=0.從而.證畢.

由引理2.3,當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí),.定義

(2)存在k0>0,使得≥k0.

證(1)設(shè)u∈N+λ,則由(2.13)和(2.17)式得

從而

則 z0(t)=tp?n?1E(t),其中

則

令E0(t)=0得

則E(t)在[0,t?)單調(diào)遞增,在(t?,+∞)單調(diào)遞減.從而E(t)在t?處取得最大值.由于E(0)=k(p?n)kukp>0,E(+∞)=?∞,因此存在唯一的tl>t?>0,使得E(tl)=0且當(dāng)t∈[0,tl)時(shí)函數(shù)z(t)遞增,當(dāng)t∈(tl,+∞)時(shí),函數(shù)z(t)遞減;在tl處取得最大值.特別地,當(dāng)l=0時(shí),有

由E(t0)=E(tl)=0可知t0≤tl.從而

證 設(shè)

則

從而由函數(shù)z(t)的特性可知存在0

以及z0(t+)>0>z0(t?).由于Ψ1(t)=tn+1z0(t),從而t+u∈,t?u∈N?λ.由于當(dāng)t∈ [0,t+)時(shí),<0;當(dāng) t∈ [t+,tl)時(shí),(t)>0,從而另外,易驗(yàn)證當(dāng) t∈ [t+,t?)時(shí),(t)>0;當(dāng) t∈ [t?,+∞)時(shí),(t)<0;當(dāng) t∈ [0,t+]時(shí),Ψ2(t)≤ 0.又由于t?u∈,從而由引理2.5中的(2)可知Ψ2(t?)>0.從而由Ψ2(t)的單調(diào)性可知證畢.

則η(0+)=?∞,η(+∞)=0,η(t)在某個(gè)t=Tl>0處取得最大值.

引理2.8假定(A1)–(A3)成立.若{uk}在X中收斂于u∈X,則存在{uk}的一個(gè)子列(不妨仍記為{uk})滿足

證 只證明(2.42),(2.41)式的證明是類似的,在此略去.因?yàn)閺亩鴮τ谌我猞?0,存在R0>0使得

其中Br={x∈RN:|x|≤r}而.由于{uk}在X中弱收斂于u,則{uk}在X中有界且{uk}在空間中弱收斂于u.進(jìn)而,由不等式(2.43)推出{uk}在空間中有界.因此,存在的子列(不妨仍記為)使得在中弱收斂于u,在RN中幾乎處處收斂于u.從而對于任意k≥1存在與k無關(guān)的常數(shù)M使得

因此對于足夠大的k成立,

另一方面,由H?lder不等式,當(dāng)k足夠大時(shí),有

3 正解的存在性

引理3.1如果0<λ<λ1,則泛函Iλ在上存在一個(gè)最小值點(diǎn)且有

(1)Iλ(u0)=;

(2)u0是問題(1.2)的一個(gè)非平凡的非負(fù)解.

證由引理2.2知Iλ在Nλ上有下界(從而在上有下界),因此存在一個(gè)極小化序列使得因?yàn)榉汉疘λ是強(qiáng)制的,所以{uk}在X 中有界.不失一般性,可假定{uk}在X中弱收斂于u0.由引理2.5和引理2.8可得,當(dāng)k→∞時(shí),有

由(2.8)式得

因此

接下來證明{un}在X中強(qiáng)收斂于.

另一方面,由{un}?可知,且當(dāng)01.因?yàn)樵谏鲜沁f減的,所以

這與下確界的定義矛盾！故{un}在X中強(qiáng)收斂于.從而

引理3.2假定λ∈(0,λ1),則泛函Iλ在上有極小值點(diǎn)使得

證由引理2.2知Iλ在上是強(qiáng)制的.從而存在一極小化序列{uk}?使得

由于Iλ強(qiáng)制,從而{uk}在X中有界.因此,存在{uk}的一個(gè)子列(不妨仍記為{uk})在X中弱收斂于元.由引理2.5可知,當(dāng)u∈時(shí),Iλ(u)>0,因此有

進(jìn)而由(2.9)式得

接下來證明{uk}在X中強(qiáng)收斂于.假若不然,則有

由于uk∈,從而當(dāng)t≥0時(shí),Iλ(uk)≥Iλ(tuk).因此有

這與δ?的定義矛盾！從而{uk}在X中強(qiáng)收斂于.從而

定理1.1的證明 由引理3.1和引理3.2知,當(dāng)λ∈(0,λ1)時(shí),問題(1.2)有兩個(gè)非平凡的正解∈和∈.又由于∩=?,從而和是問題(1.2)的兩個(gè)不同的正解.定理1.1證畢！