基于區(qū)間二型T-S模糊模型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的輸出反饋預(yù)測(cè)控制

唐曉銘 鄧?yán)?虞繼敏 屈洪春

預(yù)測(cè)控制作為一種具有處理約束優(yōu)化控制問(wèn)題能力的先進(jìn)控制算法,已經(jīng)引起了工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[1].縱觀預(yù)測(cè)控制的發(fā)展過(guò)程,它經(jīng)歷了從上世紀(jì)70年代以動(dòng)態(tài)矩陣控制,模型算法控制為代表的經(jīng)典預(yù)測(cè)控制算法,到上世紀(jì)90年代以具有穩(wěn)定性保證為特色的預(yù)測(cè)控制綜合方法的質(zhì)的飛躍[2?4].就預(yù)測(cè)控制綜合方法而言,文獻(xiàn)[5]基于不變集理論和線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)技術(shù)首次提出了一種能夠保證穩(wěn)定性的預(yù)測(cè)控制綜合算法.從那以后,預(yù)測(cè)控制綜合方法的研究有了長(zhǎng)足的進(jìn)步,其主要進(jìn)展來(lái)自于以下兩個(gè)方面:首先,通過(guò)設(shè)計(jì)新的Lyapunov函數(shù),如參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù),或者在優(yōu)化問(wèn)題中增加自由控制作用等方法來(lái)提高系統(tǒng)的控制性能,如文獻(xiàn)[6?8].其次,通過(guò)離線求解控制序列或者采用集結(jié)策略來(lái)降低在線計(jì)算量,如文獻(xiàn)[9?11].然而,上述文獻(xiàn)的結(jié)果均基于狀態(tài)可測(cè)的情況,即狀態(tài)反饋預(yù)測(cè)控制.對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言,狀態(tài)變量往往是不可測(cè)的.因此,輸出反饋預(yù)測(cè)控制綜合方法的研究更具實(shí)際意義.近年來(lái),已有學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)了深入研究,并取得了很多有意義的結(jié)果.文獻(xiàn)[12]針對(duì)具有模型不確定性的線性時(shí)變約束系統(tǒng),給出了一種基于離線狀態(tài)觀測(cè)器和離線反饋控制律的輸出反饋預(yù)測(cè)控制方法.文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上,提出了一種基于“quasi-min-max”的輸出反饋預(yù)測(cè)控制,其算法主要由離線設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器和在線的輸出反饋控制器構(gòu)成.關(guān)于輸出反饋預(yù)測(cè)控制綜合方法的其他研究請(qǐng)參考文獻(xiàn)[14?17].

與此同時(shí),網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)因其可靠性高、易于安裝和維護(hù)、能實(shí)現(xiàn)信息資源共享等優(yōu)勢(shì),已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的重點(diǎn)研究領(lǐng)域之一[18?22].對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究,其主要挑戰(zhàn)是如何降低網(wǎng)絡(luò)的特有屬性,如數(shù)據(jù)丟包,帶給控制系統(tǒng)性能的不利影響.為此,學(xué)術(shù)界已經(jīng)提出了各種方案來(lái)解決這一難題,如H∞控制[23?26],切換系統(tǒng)理論[27],預(yù)測(cè)控制[28]等.文獻(xiàn)[23?24]都采用伯努利隨機(jī)分布描述丟包現(xiàn)象,分別設(shè)計(jì)了具有指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能的輸出反饋控制器和濾波器.文獻(xiàn)[25]研究了雙頻采樣和丟包情況下的H∞控制問(wèn)題,并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[26]將采集器端數(shù)據(jù)采樣周期,數(shù)據(jù)傳輸時(shí)滯和數(shù)據(jù)丟包統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為零階保持器的數(shù)據(jù)更新周期,實(shí)現(xiàn)了H∞跟蹤控制.文獻(xiàn)[27]研究了切換頻度同Markov切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系,保證了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的隨機(jī)指數(shù)鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[28]將丟包問(wèn)題當(dāng)作時(shí)延問(wèn)題處理,提出了基于雙線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的預(yù)測(cè)控制算法.

預(yù)測(cè)控制因其滾動(dòng)優(yōu)化、滾動(dòng)實(shí)施、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn),對(duì)處理網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)丟包等問(wèn)題有著天然優(yōu)勢(shì).近年來(lái),很多學(xué)者對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制問(wèn)題進(jìn)行了廣泛研究,并取得了一定的成果.但現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制文獻(xiàn)多采用預(yù)測(cè)控制的設(shè)計(jì)方法,即得到控制器后分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,如文獻(xiàn)[29?30].而對(duì)于預(yù)測(cè)控制的綜合方法—具有穩(wěn)定性保證的預(yù)測(cè)控制的研究則較少,這種綜合方法的優(yōu)勢(shì)在于只要優(yōu)化可行則系統(tǒng)穩(wěn)定,如文獻(xiàn)[31?32].文獻(xiàn)[31]考慮具有雙通道數(shù)據(jù)丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),從魯棒分析的角度建立了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型,通過(guò)構(gòu)造無(wú)窮時(shí)域的約束優(yōu)化問(wèn)題,給出了具有穩(wěn)定性和可行性保證的預(yù)測(cè)控制.文獻(xiàn)[32]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入馬爾科夫隨機(jī)丟包,并擴(kuò)展相關(guān)約束條件,在隨機(jī)系統(tǒng)框架下,得到了丟包網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的預(yù)測(cè)控制綜合方法.更多相關(guān)研究請(qǐng)參考文獻(xiàn)[33?35].然而,上述文獻(xiàn)均考慮狀態(tài)可測(cè)情況下的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制.如果狀態(tài)不可測(cè),則文獻(xiàn)[31?35]中的方法不再適用.此外,這些文獻(xiàn)都不考慮非線性對(duì)象及干擾問(wèn)題.文獻(xiàn)[36]采用了T-S模糊模型來(lái)描述具有伯努利隨機(jī)丟包的非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),并利用分段Lyapunov穩(wěn)定性分析方法,設(shè)計(jì)了能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的模糊控制器,但并未考慮干擾問(wèn)題.文獻(xiàn)[37]解決了干擾作用下基于馬爾科夫丟包的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,但只適用于狀態(tài)可測(cè)的情況.因此,對(duì)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制這一問(wèn)題的研究還有很多工作可以做.

本文研究干擾作用下的非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的輸出反饋預(yù)測(cè)控制問(wèn)題.利用區(qū)間二型T-S模糊模型[38?41]描述具有參數(shù)不確定性的非線性對(duì)象,采用馬爾科夫鏈描述系統(tǒng)中的隨機(jī)丟包過(guò)程.通過(guò)引入二次有界技術(shù),得到了描述干擾作用下的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般方法.本文所提算法包含兩個(gè)部分:1)利用二次有界條件和S-過(guò)程,離線設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器;2)通過(guò)將無(wú)窮時(shí)域控制作用參數(shù)化為一個(gè)自由控制作用加一個(gè)線性反饋控制律得到了輸出反饋預(yù)測(cè)控制.最后,論文討論了估計(jì)誤差集合的在線更新方法.

注1.I表示相應(yīng)維數(shù)的單位陣.P>0(≥0)表示P是對(duì)稱正定(半正定)矩陣.表示.在對(duì)稱矩陣中,符號(hào)?表示對(duì)稱部分.diag{···}表示對(duì)角陣.表示關(guān)于正定對(duì)稱矩陣M的橢圓.λmin(M)表示矩陣M的最小特征值.代表關(guān)于x的條件期望.

1 問(wèn)題闡述

1.1 區(qū)間二型T-S模糊模型

區(qū)間二型T-S模糊模型用IF-THEN規(guī)則可以描述為:

g1(μ(k)),g2(μ(k)),···,g?(μ(k)) 是前件變量,是規(guī)則i的區(qū)間二型模糊集.和分別代表狀態(tài)向量,控制輸入,系統(tǒng)干擾,系統(tǒng)輸出.Ai,Bi,Ci,Di,Ei是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣,第i個(gè)模糊規(guī)則的激活強(qiáng)度為:

假設(shè)1.假設(shè)狀態(tài)不可測(cè),(Ai,Ci)可觀測(cè),不可測(cè)干擾有界且滿足.

區(qū)間二型模糊控制器第j個(gè)模糊規(guī)則可描述為:

其中d1(μ(k)),d2(μ(k)),···,dθ(μ(k)) 是前件變量,Ljι,j=1,2,···,r;ι=1,2,···,θ是規(guī)則j的區(qū)間二型模糊集.ud(k)∈ Rnu是控制器輸出,是估計(jì)狀態(tài).第j個(gè)模糊規(guī)則的激活強(qiáng)度為:

注2.從文獻(xiàn)[39?40]可知,與將取為定值相比,將定義為非線性函數(shù)可以減小控制器設(shè)計(jì)的保守性,故本文采用了文獻(xiàn)[39]的做法.此外,為了提高控制器的靈活性,文中的控制器與被控對(duì)象選取不同的隸屬函數(shù).

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of networked control systems

1.2 網(wǎng)絡(luò)描述

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)如圖1所示.引入隨機(jī)變量γ(k)∈{0,1}來(lái)表示數(shù)據(jù)在采樣時(shí)刻k的傳輸狀態(tài)(1表示數(shù)據(jù)傳輸成功,0表示發(fā)生丟包).假定丟包過(guò)程是在{0,1}之間的離散齊次馬爾科夫鏈,且轉(zhuǎn)移矩陣,其中,分別代表丟包率和恢復(fù)率.如果在k時(shí)刻數(shù)據(jù)傳輸成功,則;如果在k時(shí)刻發(fā)生丟包,則采用上一時(shí)刻的控制輸入,,即:

即只有在數(shù)據(jù)成功傳輸?shù)牟蓸訒r(shí)刻才更新控制輸入.則根據(jù)式(2),(3),可得閉環(huán)模型

注3.本文采用了文獻(xiàn)[42]的做法,通過(guò)附加通信鏈路的方式將當(dāng)前時(shí)刻實(shí)際實(shí)施的控制輸入傳送到觀測(cè)器環(huán)節(jié).

注4.根據(jù)式(3)可知,表示發(fā)生η次連續(xù)丟包后的控制輸入,即γ(k)=γ(k?1)=···=γ(k?η+1)=0,η∈{1,···,χmax}代表連續(xù)丟包次數(shù),χmax為連續(xù)丟包上界,則最新的控制輸入.

定義1.對(duì)于任意初始狀態(tài),若滿足

則閉環(huán)系統(tǒng)(4)隨機(jī)穩(wěn)定.

文獻(xiàn)[43]采用二次有界技術(shù),解決了有界干擾影響下線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.本文將此方法推廣到了區(qū)間二型T-S模糊網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng).

定義2.對(duì)所有允許的w(k+h),h≥0,系統(tǒng)(4)關(guān)于Lyapunov矩陣P二次有界,則等價(jià)于.

引理1[43].對(duì)所有允許的w(k+h),h≥0,如下結(jié)果等價(jià):

a)系統(tǒng)(4)關(guān)于Lyapunov矩陣P二次有界;

2 離線狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

由于狀態(tài)未知,引入如下?tīng)顟B(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài):

則對(duì)于充分大的h,必有.

定理1.如果存在,滿足

則e(k+h|k)收斂于LH0,且.

證明.對(duì)于滿足的任意w(k+h),式(7)等價(jià)于

則式(9)成立.上式等價(jià)于

易知,式(11)成立,則必有下式成立

將Ge=H0Lp代入式(12)并根據(jù)Schur補(bǔ)引理,可得式(8).□

注5.由狀態(tài)觀測(cè)器(5)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)時(shí),u(k)可通過(guò)式(3)得到.但由定理1可知,所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器僅需基于誤差方程(6),采用二次有界條件得到,并不需要求出u(k)的具體值.

3 在線輸出反饋預(yù)測(cè)控制方法

在帶一個(gè)自由控制作用的輸出反饋預(yù)測(cè)控制中,ud(k|k)是控制序列的第一個(gè)元素,其余元素為:

其中

定義性能指標(biāo)函數(shù)

在每個(gè)采樣時(shí)刻,施加如下約束

且令ε(k)滿足如下條件:

則本文需要求解的輸出反饋預(yù)測(cè)控制優(yōu)化問(wèn)題可描述為

另外,考慮輸入約束:

其中utmax是一個(gè)正標(biāo)量,ut(k+h|k)代表向量的第t個(gè)分量.

定理 2.考慮區(qū)間二型T-S模糊系統(tǒng)(2),對(duì)于給定的收斂速度λi和標(biāo)量κ,如果存在ε,α,ud,對(duì)稱矩陣,及矩陣Yj滿足

其中

其中φ(1)為估計(jì)誤差界的初始值.

證明.1)約束式(15)的處理.在采樣時(shí)刻k,引入松弛矩陣Ψ=diag{W,T,H},分別考慮 1?→1,1?→0和 0?→1,0?→0(1指γ(h|k)=1,0指γ(h|k)=0)兩種情況,有:

由上述不等式,可得

則有

上式可保證式(30)成立.根據(jù)式(3),需要討論γ(k)=1和γ(k)=0兩種情況.

如果γ(k)=1,則數(shù)據(jù)傳輸成功,.對(duì)式(31),利用Schur補(bǔ)引理,可得式(18),其中.

如果γ(k)=0,則發(fā)生丟包,u(k)=u(k?1).對(duì)式(31),利用Schur補(bǔ)引理,可得式(19).

2)約束式(14)的處理.根據(jù)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)模型(13),二次有界條件(14)等價(jià)于

因?yàn)閣(k+h)滿足,所以等價(jià)于.利用S-過(guò)程,式(14)等價(jià)于

其中κ∈(0,1).

如果γ(k+h|k)=1,考慮數(shù)據(jù)丟包率,則.如果滿足

如果γ(k+h|k)=0,考慮數(shù)據(jù)恢復(fù)率,則.如果滿足

則式(32)可成立.其中W0=(1?κ)M0?S1,Φ0是γ(h|k)為0時(shí)Υ的值.然后,將式(35)分別左乘,右乘其轉(zhuǎn)置,利用Schur補(bǔ)引理,并代入,,可得式 (22). 式(36)分別左乘,右乘其轉(zhuǎn)置,可得式(23).

由此可得

于是有

對(duì)于任意的c≥1,對(duì)式(37)兩邊從k=0到k=c求和,可得

即

其中z(0)是初始條件.由于

于是

從定義1可知,閉環(huán)系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的.

如果式(32)成立,則有

當(dāng)h=1時(shí),根據(jù)式(38)可得

如果式(15)滿足,則有

根據(jù)式(39)和式(40),有

由此可得

根據(jù)式(29),式(42)可改寫為

3)輸入約束(17)的處理.在將輸入約束處理成LMIs之前,引入如下條件:

在采樣時(shí)刻k+1時(shí),根據(jù)式(3)可知,如果在k時(shí)刻數(shù)據(jù)傳輸成功,即γ(0|k)=1,在k+1時(shí)刻發(fā)生丟包,即γ(1|k)=0,則u(k+1)=u(k),必然滿足式(44),因此無(wú)需考慮1→0,只需考慮1→1,即γ(0|k)=1,γ(1|k)=1.如果式(24)滿足,則有

根據(jù)式(45),則有

在采樣時(shí)刻k+2時(shí),對(duì)于γ(2|k)=1需要考慮以下兩種情況.a)1→1→1,即,利用式(24),則有,令.

當(dāng)s=1時(shí),如果式(25)和式(26)滿足,則有:

根據(jù)式(46)和式(47),可得

基于采樣時(shí)刻k+1和k+2的情況,在采樣時(shí)刻時(shí),對(duì)于也只需要考慮以下兩種情況:,即,顯然成立.b),即,其中代表連續(xù)丟包次數(shù),. 令,如果式(27)滿足,則有

結(jié)合式(46),式(47)和式(48),可得

由此可知,當(dāng)γ(h|k)=1時(shí),即使發(fā)生了η次連續(xù)丟包,仍成立.

對(duì)于輸入約束(17),如果在采樣時(shí)刻k+h時(shí)發(fā)生丟包,根據(jù)式(3),輸入約束明顯滿足.如果數(shù)據(jù)傳輸成功,根據(jù)式(44),有:

式(28)可保證上式成立.□

帶一個(gè)自由控制作用的區(qū)間二型T-S模糊網(wǎng)絡(luò)輸出反饋預(yù)測(cè)控制算法如下所示:

離線

步驟1.選取參數(shù)λi=λ∈(0,1),計(jì)算式(8),得到H0和Lp的值.

步驟2.設(shè)定參數(shù).

在線

步驟1.在采樣時(shí)刻k≥0,在線求解定理2的優(yōu)化問(wèn)題,得到控制輸入.

步驟2.發(fā)送控制輸入.如果數(shù)據(jù)傳輸成功,則有,否則,,.并通過(guò)附加鏈路傳輸實(shí)際控制輸入.

步驟3.估計(jì)狀態(tài).根據(jù)式(29)計(jì)算φ(k+1).

步驟4.更新采樣時(shí)刻至k+1,然后返回步驟1.

求解LMI優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜度可以利用與K3L成比例的多項(xiàng)式時(shí)間算法,其中K表示變量總數(shù),L表示LMI的總行數(shù).對(duì)于定理2,.由此可知,χmax增大,計(jì)算復(fù)雜度會(huì)呈線性增大;r,nx,nu增大,計(jì)算復(fù)雜度會(huì)呈指數(shù)增大.令r=nx=nu=χmax,分別取K和L中影響最大的部分,則可認(rèn)為求解定理2的計(jì)算復(fù)雜度是.

4 仿真

考慮2個(gè)規(guī)則的區(qū)間二型T-S模糊模型,其系統(tǒng)矩陣如下所示:

被控對(duì)象和控制器的隸屬函數(shù)分別為:

圖2 被控對(duì)象和控制器的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership functions of plant and controller

模糊模型的作用區(qū)域?yàn)閤1(k)∈[?15,15].定義加權(quán)函數(shù)和.圖2為被控對(duì)象和控制器的上下隸屬函數(shù).假定系統(tǒng)是有界擾動(dòng),滿足kw(k)k2≤1,輸入約束為,初始狀態(tài),丟包上界χmax=4,數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,性能指標(biāo)加權(quán)矩陣S1=I2,R=0.01,估計(jì)誤差初始界φ(1)=6.誤差函數(shù)的收斂速度λi=0.3,參數(shù)κ=0.39.針對(duì)此區(qū)間二型T-S模糊網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3～8所示.圖3為數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài),1表示數(shù)據(jù)傳輸成功,0表示發(fā)生丟包.圖4表示閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng).圖5表示系統(tǒng)控制輸入.圖6表示性能指標(biāo)上界ε的軌跡.圖7表示估計(jì)誤差的界.圖8表示狀態(tài)響應(yīng)和估計(jì)誤差橢圓集合.觀測(cè)器參數(shù)、性能指標(biāo)及計(jì)算時(shí)間如表1所示.仿真結(jié)果表明,本文給出的輸出反饋預(yù)測(cè)控制方法是可行且有效的.

表1 觀測(cè)器參數(shù),性能指標(biāo)及計(jì)算時(shí)間Table 1 Observer parameters,performance objective,and computational time

圖3 數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài)Fig.3 Data transmission status

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 The closed-loop state responses

圖5 系統(tǒng)控制輸入Fig.5 System control input

圖6 性能指標(biāo)上界ε的軌跡Fig.6 Evolutions of performance objective upper boundε

圖7 估計(jì)誤差的界Fig.7 The estimation error bound

圖8 狀態(tài)軌跡和估計(jì)誤差橢圓集合Fig.8 State trajectories and ellipsoidal bounds of estimation error

5 結(jié)論

本文研究了具有丟包的非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的輸出反饋預(yù)測(cè)控制問(wèn)題.利用區(qū)間二型T-S模糊模型描述具有參數(shù)不確定性的非線性對(duì)象.采用馬爾科夫鏈描述丟包過(guò)程.通過(guò)引入二次有界技術(shù),離線設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器,并通過(guò)將無(wú)窮時(shí)域控制作用參數(shù)化為一個(gè)自由控制作用和線性反饋律,得到了在線預(yù)測(cè)控制方法.此外,本文還討論了在線更新估計(jì)誤差橢圓集合的方法.最后,通過(guò)仿真例子,驗(yàn)證了此算法的有效性和合理性.