探秘牛頓植樹問題

王 娜

“每行植三株，九株栽十行；種法有多樣，請(qǐng)你試試看．”據(jù)說這是牛頓曾經(jīng)提出并思考過的“九樹十行”問題．

同學(xué)們，動(dòng)動(dòng)手，相信你也能給出答案：作一個(gè)對(duì)稱的圖形，三橫一豎、六根斜線（如圖1所示），輕松解決了這個(gè)“九樹十行”的植樹難題．

圖1

按實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，每行3棵，要栽10行，不是需要30棵樹嗎？現(xiàn)在只有9棵，那有些樹肯定應(yīng)栽在幾行的交點(diǎn)上．我們?yōu)楹螘?huì)想到畫出這樣的對(duì)稱圖形？是否有據(jù)可依？

我先給同學(xué)們普及一下帕普斯定理．

帕普斯定理可以敘述成下面的形式：

如圖2，設(shè)六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)交替分布在兩條直線a和b上，那么它的三雙“對(duì)邊”所在直線的交點(diǎn)X，Y，Z在一直線上．

圖2

問題初看有點(diǎn)復(fù)雜，為了讓同學(xué)們充分理解定理，我們把問題具體劃分為幾個(gè)步驟進(jìn)行，同學(xué)們可以自己嘗試畫出這張圖形．

三點(diǎn)A，E，C在直線a上，三點(diǎn)D，B，F(xiàn)在直線b上．順次連結(jié)線段AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，得到一條封閉折線ABCDEF，此封閉折線也就是一般意義下的多邊形．看六邊形的名稱ABCDEF，就能知道它的哪兩條邊是對(duì)邊．例如，在六邊形名稱ABCDEF中，字母B和C相鄰，說明BC是它的一條邊，那么EF就是BC的對(duì)邊．利用“六邊形”和“對(duì)邊”這兩個(gè)簡(jiǎn)單術(shù)語(yǔ)，就能概括圖2中9個(gè)點(diǎn)和9條直線之間的復(fù)雜關(guān)系．

（注：帕普斯定理的證明可參考《新概念幾何》（張景中，2002））

可以看到，圖2中有9個(gè)點(diǎn)，9條線，每個(gè)點(diǎn)上有3條線通過，每條線上又有3個(gè)點(diǎn)，由此可直接得到“九樹九行”．為了解答現(xiàn)實(shí)版的“九樹十行”問題，需要在上面“九樹九行”的基礎(chǔ)上，增加一條新的直線，成為第十條．

圖3

應(yīng)該怎樣安排，才能出現(xiàn)第十條直線呢？

我們回顧文章開頭所述問題及圖1，顯然，運(yùn)用特殊化的數(shù)學(xué)思想，讓圖形具備對(duì)稱性以后，就完美地出現(xiàn)了第10條直線BE（如圖3所示）．

繼續(xù)開動(dòng)腦筋，如何在一般圖形中得到第10條線呢？

如圖4所示，可采用下面的辦法：

圖4

任意作兩條直線a和b；

在a上任意取三點(diǎn)A，C，E；

在b上任意取兩點(diǎn)B，D；

連結(jié)直線AB，BC，CD，DE，AD，記AB與DE的交點(diǎn)為X，BC與AD的交點(diǎn)為Y；

連結(jié)直線EY，交直線b于點(diǎn)F；

連結(jié)直線FA，交CD于點(diǎn)Z，那么根據(jù)帕普斯定理，三點(diǎn)X，Y，Z在一直線上．

這就是解答“九樹十行”問題的一般方法．由于兩直線a和b的相關(guān)位置可以任意變化，六邊形頂點(diǎn)在a和b上的排列順序和距離也可大幅度調(diào)節(jié)，所以能畫出千變?nèi)f化的解答圖形．同學(xué)們可以自己嘗試操作一下．