“雪花”曲線漫談

張志勇

美麗的分形是大自然景物的抽象，它無(wú)比豐富的細(xì)節(jié)、絢麗多彩的結(jié)構(gòu)常令我們流連忘返，圖1中的科赫（Koch）雪花曲線給我們以美的遐想．分形在多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如物理中的湍流、化學(xué)中的高分子鏈、天文學(xué)中的星團(tuán)分布、地理學(xué)中的河流與水系、生物學(xué)中的全息現(xiàn)象……

圖1

下面我們要探究的是美麗的分形背后的數(shù)學(xué)身影．

首先，我們來(lái)了解一點(diǎn)分形的科普小知識(shí)．提及分形，首先要涉及的是其自相似性，所謂自相似性即是指局部是整體成比例縮小的性質(zhì)．通俗一點(diǎn)，就是當(dāng)用不同倍數(shù)的照相機(jī)拍攝研究對(duì)象時(shí)，無(wú)論放大倍數(shù)如何改變，看到的照片都是相似的．由此，你能想象科赫雪花曲線的自相似性嗎？

圖2

雪花曲線由瑞典數(shù)學(xué)家科赫于1904年構(gòu)造，因?yàn)榭崴蒲┗?，所以叫“雪花曲線”．其構(gòu)造規(guī)律是這樣的：從圖4-1所示的等邊三角形開(kāi)始（稱為初始元），將三角形的每條邊三等分，并在每條邊三分后的中段向外作新的等邊三角形（舍去中間的一段，保留兩側(cè)的兩段，將中間的一段改成夾角為60°的兩個(gè)等長(zhǎng)的直線段，如圖4-2），再細(xì)分便得到圖4-3……不斷重復(fù)這樣的過(guò)程，隱去不要的部分，便可得到圖1所示的雪花曲線．

圖3

圖4-1

圖4-2

圖4-3

從圖形的構(gòu)造過(guò)程不難理解雪花曲線的自相似性．其實(shí)在我們的教材《必修5》數(shù)列單元習(xí)題中，就有雪花曲線的構(gòu)造．

圖5

雪花曲線的奧妙不僅在于它的自相似性，我們作出初始三角形的外接圓（如圖5），可以發(fā)現(xiàn)雪花曲線永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)圓，也就是說(shuō)雪花曲線圍成的面積是有限的，如果再告訴你，雪花曲線的周長(zhǎng)卻是無(wú)限長(zhǎng)的，也就是說(shuō)用一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的圖形圍成一個(gè)有限的面積，是不是有點(diǎn)“難以置信”！

下面，我們用數(shù)列知識(shí)來(lái)證明這個(gè)結(jié)論．

我們?cè)O(shè)初始三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，經(jīng)過(guò)n次生長(zhǎng)后，得到的小三角形的邊長(zhǎng)為邊數(shù)En=3·4n，面積為，這樣n次生長(zhǎng)后總的周長(zhǎng)之和為而所圍成的面積之和，這樣生長(zhǎng)無(wú)限次后，邊長(zhǎng)和即周長(zhǎng)趨于無(wú)窮，而面積和則趨于定值．當(dāng)然，要說(shuō)明的是，這個(gè)令人驚異的結(jié)論，面積的有限性，要用到一丁點(diǎn)兒極限的知識(shí)，但是我們可以這樣想，在一張紙上畫(huà)雪花曲線，不管生長(zhǎng)多少次，它都不會(huì)超過(guò)一張紙的，顯然它的面積是有限的．

最后我還想告訴同學(xué)們的是，雪花曲線的神奇之處不僅如此，其身上還有很多不為人知的奧妙之處，如曲線上有許多折點(diǎn)，到處都是“尖端”；曲線雖然連續(xù)，但雪花曲線沒(méi)有切線．

透過(guò)雪花曲線，我們可以深刻感受到：分形幾何，不愧為“真正描述大自然的幾何學(xué)”．它如此貼近我們的生活，不僅有外在之美，其內(nèi)在深?yuàn)W的數(shù)學(xué)之美更需要我們用數(shù)學(xué)的眼光去積極探索，隨著我們學(xué)習(xí)的深入，或許會(huì)揭開(kāi)其中更多的神秘面紗．

圖6