高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題技巧研究

◎李佳一

一、數(shù)列知識(shí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)教材中是獨(dú)立的一章，占據(jù)較多的課時(shí)。在數(shù)列之后的章節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)中，我們也經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到數(shù)列知識(shí)，許多數(shù)學(xué)試題中的解題思路也都是基于數(shù)列出發(fā)進(jìn)行解題思考。因此，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中熟練掌握數(shù)列試題的解題技巧，能夠?yàn)槲覀兒笃跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、數(shù)列試題解題技巧分析

1 掌握數(shù)列的基本概念和性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)數(shù)列基本概念的掌握主要是對(duì)通項(xiàng)公式的運(yùn)用。一般遇到考察數(shù)列基本概念的試題我們首先想到的是運(yùn)用通項(xiàng)公式、求和公式來(lái)進(jìn)行解答。比如運(yùn)用通項(xiàng)公式進(jìn)行解題，例如求等差數(shù)列8，5，2...的第20項(xiàng)為多少，我們通過(guò)已知的條件能夠得到這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a1＝8，d＝-3，n＝20，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an＝a1+（n-1）d，可以計(jì)算出最后的結(jié)果a20＝8+（20-1）×（-3）＝-49。再比如運(yùn)用求和公式進(jìn)行解題，已知｛an｝為等差數(shù)列，求前n項(xiàng)的和。解答這道題的方法就是直接運(yùn)用求和公式Sn＝na1+n（n-1）d/2。首先計(jì)算出等差數(shù)列的首項(xiàng)以及公差的值，然后將它們帶入公式，即可得出Sn的值。

在數(shù)列題的解答過(guò)程中，有許多解題方法需要結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行解題。這就要求我們牢固掌握數(shù)列的性質(zhì)，區(qū)分不同數(shù)列之間的不同性質(zhì)，利用數(shù)列的特性進(jìn)行相關(guān)試題的解答。例如等比數(shù)列的中項(xiàng)公式是等比數(shù)列的特殊性質(zhì)，利用中項(xiàng)公式我們可以解答一些相關(guān)習(xí)題。比如已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，且 an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，求 a3+a5的值。本題的解答方法就是利用中項(xiàng)公式進(jìn)行解答。首先因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，我們可以將后面的式子依據(jù)中項(xiàng)公式轉(zhuǎn)換為，所以（a3+a5）2＝25，由此可以得到最終答案 a3+a5＝5。在數(shù)列知識(shí)中等差數(shù)列和等比數(shù)列都有其特殊的性質(zhì)，在解題的過(guò)程中靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)能夠有效的提升解題的效率和解題質(zhì)量。

綜上我們可以看出，在解決數(shù)列試題時(shí)，掌握最基本的概念和數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列試題解題技巧的一種。在我們平常的學(xué)習(xí)中，靈活運(yùn)用數(shù)列的概念和性質(zhì)等來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵，需要對(duì)數(shù)列的基本概念和性質(zhì)熟練掌握。

2 數(shù)列前n項(xiàng)和的各種解題技巧

通過(guò)試題的類(lèi)型我們可以了解到，在數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)中數(shù)列的求和問(wèn)題是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是考試中著重考察的知識(shí)點(diǎn)。數(shù)列常用的的求和方法可以列出錯(cuò)位相減法、分組求和法以及合并求和法三種。

首先，錯(cuò)位相減法適用的范圍是等比數(shù)列和等差數(shù)列相乘的形式。比如An＝Bn×Cn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列。分別列出Sn，將所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比后，錯(cuò)一位兩式相減即可求和。因此，在數(shù)列試題的求和題中，我們可以先觀(guān)察所求數(shù)列的形式，當(dāng)題目中的數(shù)列為“等差×等比”型，我們的解題思路就是運(yùn)用錯(cuò)位相減法。例如：求和1×3+3×32+...+（2n-1）×3n.。從題干中我們可以得到直觀(guān)的信息：1，3...（2n-1）為等差數(shù)列，3，32...3n為等比數(shù)列，題型呈現(xiàn)“等差×等比”形式，所以運(yùn)用錯(cuò)位相減法對(duì)此題進(jìn)行求和。首先列出Sn＝1×3+3×32+...+（2n-3）×3n-1+（2n-1）×3n，Sn整體乘以公差3可以得到3Sn＝1×32+3×33+...+（2n-3）×3n+（2n-1）×3n+1，此時(shí)我們可以看出兩式相錯(cuò)一位，通過(guò)兩式相減我們可以求出Sn＝3-（1-n）×3n+1。在錯(cuò)位相減法的應(yīng)用中，我們要想靈活運(yùn)用錯(cuò)位相減法必須掌握等比數(shù)列以及等差數(shù)列的推導(dǎo)過(guò)程以及相關(guān)數(shù)列的應(yīng)用。

其次，在數(shù)列的求和試題中，我們會(huì)遇到既不是等差數(shù)列，也不是等比的數(shù)列的數(shù)列求和問(wèn)題。針對(duì)這一類(lèi)型的數(shù)列求和我們需要運(yùn)用分組求和的方法。分組求和法將數(shù)列的項(xiàng)分為幾個(gè)部分，這基本分通常是等差數(shù)列和等比數(shù)列的組合，針對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題我們需要對(duì)不同的數(shù)列進(jìn)行分別求和，再合并求和，這就是分組求和法的解題思路。例如：求和1/2+3/4+7/8+...+2n-1/2n?？梢詫⑼?xiàng)變?yōu)?1-2-n，這樣就可以理解為每一項(xiàng)都是1-X（X為通項(xiàng)）的公式，通項(xiàng)-2-n為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和，最后進(jìn)行合并求和即可。運(yùn)用分組求和法要求我們了解數(shù)列的基本概念以及能夠熟練地運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和方法

最后，合并求和法則是針對(duì)一些特殊的復(fù)雜數(shù)列進(jìn)行求和的方法。合并求合法首先要整合數(shù)列中的某些項(xiàng)，才能更直觀(guān)的發(fā)現(xiàn)解題的技巧。合并求和法的關(guān)鍵在于找到數(shù)列中的特殊項(xiàng)進(jìn)行合并和消減后，將余下的各項(xiàng)相加可以得出所求的前n項(xiàng)和。

因此，我們?cè)跀?shù)列章節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先要掌握數(shù)列的基本概念和數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并且能都熟練運(yùn)用相關(guān)的公式。其次，總結(jié)歸納不同的數(shù)列類(lèi)型和它們相對(duì)應(yīng)的解題技巧，在解題的過(guò)程中“對(duì)癥下藥”，從而提高自身的解題效率和解題正確率。