應(yīng)用巧辦法，妙解二次函數(shù)值大小比較問題

◎秦宇峰 張孟剛

比較二次函數(shù)值的大小是九年級學(xué)生頭痛的一個(gè)難題，常用的方法有：1、可以采用代入法分別計(jì)算出二次函數(shù)值的大小再比較；2、也可采用對稱性將不同點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對稱軸的同一側(cè)，再利用二次函數(shù)的增減性比較大?。贿@兩種方法計(jì)算均略顯麻煩；3、把比較函數(shù)值大小的問題轉(zhuǎn)化為比較這些點(diǎn)與對稱軸的水平距離的大小問題。

方法1有時(shí)行得通有時(shí)就行不通。

方法2比較麻煩，尤其是點(diǎn)在對稱軸的兩邊，方法3是比較巧妙的，掌握了解決此類題非常方便。

方法3的理論也并不深奧。

只要教師善于引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖象就能總結(jié)出規(guī)律：二次函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），對稱軸為 X＝m，如何比較函數(shù)值的大小呢？我們總結(jié)的巧辦法是：當(dāng)a大于0時(shí)，一個(gè)點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)（即｜x-m｜越大），這個(gè)點(diǎn)越高，對應(yīng)的y值越大，一個(gè)點(diǎn)離對稱軸越近（即｜xm｜越小），這個(gè)點(diǎn)越低，對應(yīng)的y值越小。如果兩個(gè)點(diǎn)離對稱軸的水平距離一樣（即｜x-m｜相等），那么這兩個(gè)點(diǎn)高度一樣，對應(yīng)的y值相等；反之也成立，一個(gè)點(diǎn)的y值越大，說明離對稱軸越遠(yuǎn)（即｜x-m｜越大），一個(gè)點(diǎn)的y值越小，說明離對稱軸越近（即｜x-m｜越?。?/p>

｜x-m｜表示點(diǎn)與對稱軸的水平距離。等于它的橫坐標(biāo)與對稱軸數(shù)值的差的絕對值，若知點(diǎn)在對稱軸左邊，那么m大x小，｜x-m｜＝m-x。這樣就不用帶絕對值符號了，更加方便。若知點(diǎn)在對稱軸右邊，那么x大m小，｜x-m｜＝x-m。

當(dāng)a小于0時(shí)，一個(gè)點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)（即｜x-m｜越大），這個(gè)點(diǎn)越低，對應(yīng)的y值越小，一個(gè)點(diǎn)離對稱軸越近（即｜x-m｜越小），這個(gè)點(diǎn)越高，對應(yīng)的y值越大。反之也成立，一個(gè)點(diǎn)的y值越大，說明離對稱軸越近（即｜x-m｜越大），一個(gè)點(diǎn)的y值越小，說明離對稱軸越遠(yuǎn)（即｜x-m｜越?。?/p>

類型1：根據(jù)距離大小判斷二次函數(shù)值的大小

例題1：（2015西安匯知中學(xué)模擬題改編）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是 x＝-1，圖象經(jīng)過點(diǎn) A（-3.14，y1），B（-，y2），C（0，y3），則關(guān)于 y1，y2，y3的大小關(guān)系是.

解：-1-（-3.14）＝2.14，-1-（-）＝0.414，0-（-1）＝1.

根據(jù)總結(jié)的規(guī)律“當(dāng)a＞0時(shí)，一個(gè)點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)（即｜x-m｜越大），這個(gè)點(diǎn)越高，對應(yīng)的y值越大”知y2＜y3＜y1。

例題2：、已知二次函數(shù)y＝3(x-)22+m的圖像經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（ ）

A y1＞y2＞y3B y2＞y1＞y3

C y1＞y3＞y2D y3＞y2＞y1

1、此題可以采用代入法分別計(jì)算出y1、y2、y3的大小再比較；

2、也可采用對稱性將A、B、C三點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對稱軸的同一側(cè)，再利用函數(shù)的增減性比較大小。

利用本法做這道題：因?yàn)閍＝3，所以拋物線開口向上，由x-2＝0得x＝2，所以對稱軸是x＝2，此時(shí)拋物線上的點(diǎn)與對稱軸的距離越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，A、B、C三點(diǎn)到對稱軸是 x＝2的距離分別是、，且有即A點(diǎn)最遠(yuǎn)、C點(diǎn)最近，所以y1＞y2＞y3，使用這種方法比較函數(shù)值的大小時(shí)，你只需要比較它們到對稱軸的距離就行了。

例題：2：（2015西安鐵一中模擬題）已知拋物線y＝a（x-4）2+3的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（1，-5），B（m，y1），C（n，y2），且｜m-4｜＞｜n-4｜，則關(guān)于y1，y2的大小關(guān)系是什么？

解：把 A（1，-5）代入 y＝a（x-4）2+3中，可以求出 a＝-8/9。令

x-4＝0，可以得到對稱軸為 x＝4。條件｜m-4｜＞｜n-4｜說明點(diǎn) B離對稱軸的距離大于點(diǎn)C離對稱軸的距離。根據(jù)總結(jié)的規(guī)律“當(dāng)a小于0時(shí)，一個(gè)點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)（即｜x-m｜越大），這個(gè)點(diǎn)越低，對應(yīng)的y值越小”知 y1＜y2。

練習(xí)1：（2015·河南）已知點(diǎn) A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函數(shù)y＝（x-2）2-1的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是

練習(xí)2：（2011陜西第10題）若二次函數(shù)y＝x2-6x+c的圖像過

A（-1，y1），B（2，y2），C（3+，y3），則 y1，y2，y3的大小關(guān)系是 （）

A.y1＞y2＞y1B y1＞y3＞y2

C y2＞y1＞y3D y3＞y1＞y2

練習(xí)3： （2015大慶改編1）已知二次函數(shù) y＝4（x-2）2+c，當(dāng) x＝x1時(shí)，函數(shù)值為 y1，當(dāng) x＝x2時(shí)，函數(shù)值為 y2，若｜x-2｜＞｜x-2｜，則 y1，y2的大小關(guān)系是什么？

（2015大慶改編2）已知二次函數(shù) y＝-4（x-2）2+c，當(dāng) x＝x1時(shí)，函數(shù)值為 y1，當(dāng) x＝x2時(shí)，函數(shù)值為 y2，若｜x-2｜＞｜x-2｜，則 y1，y2的大小關(guān)系是什么？

（2015大慶）已知二次函數(shù) y＝a（x-2）2+c，當(dāng)x＝x1時(shí)，函數(shù)值為y1；當(dāng) x＝x2時(shí)，函數(shù)值為 y2，若｜x1-2｜＞｜x2-2｜，則下列表達(dá)式正確的是（ ）

A.y1+y2＞0 B.y1-y2＞0

C.a（y1-y2）＞0 D.a（y1+y2）＞0

類型2：根據(jù)二次函數(shù)值的大小判斷距離大小

例題：（2013陜西第10題）已知兩點(diǎn) A（-5，y1）、B（3，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c(a≠ )0上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y1＞y2≥y0，則x0的取值范圍是（ ）

A.x0＞-5 B.x0＞-1 C.-5＜x0＜-1 D.-2＜x0＜3

解：由y1＞y2≥y0知頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，說明拋物線的開口方向上，那么a＞0，因?yàn)辄c(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，所以對稱軸為x＝x0，由y1＞y2知點(diǎn)A離對稱軸的距離大于點(diǎn)B離對稱軸的距離，可以列出關(guān)于x0一元一次不等式：x0-（-5）＞3-x0，解之得x0＞-1。

練習(xí)：若點(diǎn) A（m+2，y1），B（2-n，y2）（m＞0，n＞0）在二次函數(shù) y＝ax2-4ax+3（a＜0）上，且 y1＞y2，則 m，n的大小關(guān)系是什么？

解：先求對稱軸為 x＝-（-4a/2a）＝2，因?yàn)?a＜0，y1＞y2，說明點(diǎn) A比點(diǎn)B距離對稱軸近，m+2-2＜2-（2-n），所以m＜n。