數(shù)學(xué)解題規(guī)避分類討論的幾種思路

王健發(fā)

(廣東省惠州市華羅庚中學(xué) 516000)

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，不僅要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本知識與方法，同時對思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性提出了很高的要求. 活躍在各類考試的舞臺上，綜合性強(qiáng)，學(xué)生普遍感到棘手. 學(xué)生由于對分類原則考慮不全導(dǎo)致顧此失彼. 本文結(jié)合高中所學(xué)知識介紹幾種規(guī)避分類討論優(yōu)化解題的思路，期望對大家有所幫助.

一、靈活運(yùn)用公式

例1 解不等式|x+log2x|

解由|a+b|≤|a|+|b|，知當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立，從而x·log2x<0.又x>0，所以log2x<0.故解集為x∈(0,1).

例2 設(shè)a>0,a≠0,0|loga(x+1)|.

證明因?yàn)?0，lg(1-x2)<0.

又因?yàn)閨loga(1-x)|-|loga(x+1)|

所以|loga(1-x)|>|loga(x+1)|.

例1和例2 都含有絕對值和對數(shù)，一般而言需要討論絕對值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)以及對數(shù)中底數(shù)a>1或0

二、變換主元

例3 若p∈R,且當(dāng)|log2p|<2時，不等式px+1>2x-p恒成立，試求x的取值范圍.

本題若用常規(guī)方法，以x為主元，則需分類討論，而以p為主元，可避免討論.

三、公式重組

例4 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 若S3+S6=2S9，求公比的實(shí)數(shù)值.

解由Sn=Sm+qmSn-m(n>m)，得S6=S3+q3S3，S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3.

因?yàn)镾3+S6=2S9，所以2S3+q3S3=2(S3+q3S3+q6S3)，即2q6S3+q3S3=0.

例5 等比數(shù)列前n項(xiàng)和為2，其后2n項(xiàng)的和為12，求再其后3n項(xiàng)的和.

解由已知得Sn=2，S3n-Sn=12，所以S3n=Sn+12=14.

又因?yàn)镾3n=Sn+qnS2n=Sn+qn(Sn+qnSn)，所以14=2+2qn+2q2n，解得qn=2或qn=-3.

又S6n-S3n=(S3n+q3nS3n)-S3n=q3nS3n=14q3n，所以S6n-S3n=14·23=112或S6n-S3n=14·(-3)3=-378.

例4和例5涉及到等比數(shù)列和的問題，通常要對公比q分q=1和q≠1兩種情形討論. 但是，不論公比q是否為1，我們將等比數(shù)列和的公式進(jìn)行重組之后，總有Sn=Sm+qmSn-m(n>m). 用此公式解決有關(guān)等比數(shù)的前n項(xiàng)和的問題，?？杀苊夥诸愑懻?

四、否定思想

本題若從正面求解需分兩種情況討論：(1)兩點(diǎn)都在橢圓外，(2)兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi). 若用命題的否定思想則不需要討論，計(jì)算簡潔. 對于題目中出現(xiàn)“至少”、“至多”、“無”等關(guān)聯(lián)詞，可通過命題的否定思想進(jìn)行求解.

五、分離函數(shù)

例7 當(dāng)-10恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解原命題等價(jià)于不等式x2-2x+3>2a(x+2)在-1

當(dāng)直線繞著點(diǎn)(-2,0)順時針旋轉(zhuǎn)時也滿足題設(shè)條件.

例8 已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(2)當(dāng)x>0時,f(x)≥0恒成立, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)當(dāng)x>0時,f(x)≥0恒成立等價(jià)于ax2≤ex-1-x在區(qū)間(0,+∞)恒成立.

令y1=ax2,y2=ex-1-x, 即當(dāng)x>0時, 函數(shù)y2=ex-1-x的圖象恒在函數(shù)y1=ax2圖象的上方.

因?yàn)楫?dāng)x>0時,y2′=ex-1>0, 所以函數(shù)y2=ex-1-x在(0,+∞)單調(diào)遞增.

例7是求二次函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+3-4a在(-1,1)上的最小值，需分三種情況進(jìn)行討論，例8需要畫出f(x)=ex-1-x-ax2的圖象，經(jīng)分類討論之后確定a的取值范圍，過程不但比較復(fù)雜，而且容易出錯. 但例7通過分離出一次函數(shù)求解，例8通過分離二次函數(shù)求解使得問題輕松求解.

充分運(yùn)用分類討論的思想方法解題，是解題的一個重要策略，也是訓(xùn)練邏輯思維能力的重要手段，提高整體把握問題意識的能力. 但在有些情況下，其過程較為繁瑣，因此也容易造成解題中的失誤. 故我們在掌握這一方法的同時，要靈活變通，克服思維定勢帶來的負(fù)遷移，學(xué)會簡化或避免分類討論，以達(dá)到方法上的優(yōu)勢互補(bǔ).