全面透視問題 構(gòu)造轉(zhuǎn)化突破

于 祥

(江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué) 225000)

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用較為廣泛的一種方法，構(gòu)造即采用某種方式將抽象的問題直觀化、形象化，然后按照一般方法求解的一種思維方法，可以用于函數(shù)、幾何、數(shù)列、不等式等問題的求解.依據(jù)該方法的思想內(nèi)容，在求解時首先需要根據(jù)題干的信息和條件構(gòu)造出相應(yīng)的內(nèi)容，建立起數(shù)學(xué)關(guān)系，達到問題簡化的目的.下面將舉例探析構(gòu)造法的解題應(yīng)用.

一、構(gòu)造函數(shù)方程

數(shù)學(xué)的函數(shù)與方程之間有著緊密的聯(lián)系，在求解一些函數(shù)、方程或不等式問題時，若題干的問題與條件之間的關(guān)系不明確或難以直接獲得解題思路，此時就可以考慮采用構(gòu)造函數(shù)方程的方法.在構(gòu)造函數(shù)方程時，首先需要分析題干中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，在此基礎(chǔ)上合理構(gòu)建函數(shù)或方程式，然后統(tǒng)籌分析問題，突破求解.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，如果f(x)和f′(x)滿足如下關(guān)系：2f(x)+f′(x)=x，并且f(3)=0，則對于不等式f(3)>f(2x-1)，其解集為____.

點評上述題干給出了函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的關(guān)系式，然后通過構(gòu)造新的函數(shù)來求解函數(shù)f(x)的解析式，通過分析單調(diào)性進而獲得了不等式的解集.需要注意的是所構(gòu)造的新函數(shù)與題干條件的關(guān)系式有著緊密的聯(lián)系，是基于其結(jié)構(gòu)特征所構(gòu)造的，因此利用構(gòu)造法求解問題時要注意對題干信息的分析與結(jié)構(gòu)提取.

二、構(gòu)造圖形模型

數(shù)形結(jié)合法是高中數(shù)學(xué)常用的方法之一，該方法最為顯著的特點是可以借助圖形的直觀性來分析抽象的數(shù)學(xué)問題，因此對于某些較為復(fù)雜的問題可以采用構(gòu)造圖形或幾何模型的方法.構(gòu)造圖形模型實際上是用直觀的圖形來呈現(xiàn)題設(shè)數(shù)量關(guān)系的一種過程，在構(gòu)建過程中不僅可以深度理解題干條件，還可以借助圖形來挖掘問題隱含的條件，從而為后續(xù)的解題突破提供可能.

例2 已知直線l1的解析式為4x-3y+6=0，l2的解析式為x=-1，現(xiàn)拋物線y2=4x上有一動點P，設(shè)點P到直線l1的距離為d1，到直線l2的距離為d2，則距離之和d1+d2的最小值為____.

點評分析上述解題過程可知，正是直觀圖形的介入從而獲得了拋物線準線的信息，對問題進行了轉(zhuǎn)化，并有效利用直線最短原理達到了破題的目的.構(gòu)建圖形模型不僅可以有效提升解題效率，同時繪圖的過程也是對條件深度理解和思維歷練的過程.

三、構(gòu)造特殊數(shù)列

數(shù)列是研究數(shù)學(xué)規(guī)律的重要工具，在求解某些代數(shù)問題時可以嘗試采用構(gòu)造數(shù)列的方法，利用數(shù)列的性質(zhì)來深度研究問題.考慮到問題研究的便利性，在構(gòu)造數(shù)列時盡可能構(gòu)造一些特征鮮明的數(shù)列，如等差數(shù)列和等比數(shù)列，巧妙地利用數(shù)列的特征關(guān)系來對問題進行轉(zhuǎn)化.

點評上述證明過程利用常見的等比數(shù)列求和來代換其中的代數(shù)式，然后借用數(shù)列的性質(zhì)來求證問題，顯然解題效果更為良好.因此在求解某些代數(shù)問題時可以合理利用特殊數(shù)列的通式或求和公式對問題條件進行轉(zhuǎn)化，降低解題難度.

綜上可知，利用構(gòu)造思想，構(gòu)造相應(yīng)的模型是破開難題壁壘、拓展解題思路的一種有效途徑.構(gòu)造法實質(zhì)上是基于知識聯(lián)系構(gòu)建的解題模型，無論是構(gòu)造函數(shù)、圖形還是數(shù)列等，都需要對知識模塊的聯(lián)系有著充分的理解.因此在平時應(yīng)注重知識聯(lián)系性的學(xué)習(xí)，構(gòu)建完整的知識體系.