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    圓錐曲線離心率 幾何坐標思定義

    2019-04-04 03:42:56陸勇平
    數理化解題研究 2019年10期
    關鍵詞:余弦定理雙曲線中點

    陸勇平

    (福建省泉州外國語學校 362000)

    一、涉及焦點及曲線上的點問題,幾何坐標思定義(想方程)

    解法1 如圖所示,設橢圓的另一個焦點為F1,連結AF1.

    ∵△AOF2為正三角形, 設|F1F2|=2c>0,

    ∴|OF1|=|OF2|=|OA|,

    由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=2a,

    解法2 設|F1F2|=2c>0,

    又∵b2=a2-c2,

    ∴c4-8a2c2+4a4=0.

    同除以a4可得e4-8e2+4=0,

    點評解法1利用圓錐曲線的定義求解,同時滲透平面幾何知識是求圓錐曲線的離心率的常用方法,應優(yōu)先考慮該方法.解法2利用點在曲線上得到a,c的齊次方程,再同時除以a4,轉化為關于離心率e的方程,從而求出e,這種方法是求解離心率的本質,但計算量較大.

    二、涉及到兩焦點或到長軸兩端點張角問題,熟記定論并用幾何法巧解

    ∴3c4+4a2c2-4a2≥0,即3e4+4e2-4≥0,

    解法2 同解法1可證當點P位于短軸端點時,∠APB最大.

    ∴a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),

    解法1 設|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),

    由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos120°=m2+n2+mn即4c2=(m+n)2-mn,∴4c2=4a2-mn,

    解法2 設|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),

    由余弦定理及橢圓定義可得

    當且僅當m=n時等號成立,此時cos∠F1PF2取最小值, ∠F1PF2最大,點P在短軸端點.

    ∴c2≥3b2即c2≥3(a2-c2),

    三、涉及中位線問題時,巧用幾何法結合定義

    解法1 如圖, 設F1為雙曲線的右焦點,P為雙曲線第一象限上的點.

    ∵M為線段PF2的中點,O為F1F2中點,且|OF2|=|F2M|=c,|PF2|=|F1F2|=2c.

    由雙曲線的定義可知|PF1|=|PF2|+2a=2a+2c.

    OM為△PF1F2的中位線,∴OM∥PF1,

    點評解法1利用等腰三角形(或余弦定理)確定三角形各邊的關系,再巧妙利用雙曲線的定義構建a,c的關系,這是離心率求值的常用方法.解法2設出點P的坐標后代入雙曲線方程,構建a,c的關系去求離心率的值,這種方程思想在解題中經常用到,但計算量較大.解法3結合雙曲線的定義,巧妙地利用正弦定理把各邊的比轉化為各角的正弦值的比,這種方法更加簡捷.

    四、涉及圓錐曲線中的向量問題,巧設坐標思定義

    解法1 如圖,取PF2中點M,連接OM.

    又∵O,M分別是F1F2,PF2的中點,∴OM∥PF2,∴PF1⊥PF2,∴△PF1F2為直角三角形.

    設|PF1|=4k,|PF1|=3k(k>0),

    ∴|F1F2|=5k.

    ∴△PF1F2為直角三角形,PF1⊥PF2.

    接下來同解法1可得e=5.

    評點解法1利用向量的線性運算得出△PF1F2為直角三角形,再結合雙曲線的定義,巧妙地利用正弦定理把各邊的比轉化為各角的正弦值的比,這種方法簡捷、靈活.解法2利用向量的線性運算,把向量用相同的基表示,得出△PF1F2為直角三角形.

    又∵點P在橢圓上

    又∵P為橢圓上一點,∴b2≤3c2≤a2.

    解法1將數量積用坐標表示后轉化為圓的方程的形式,巧用圓與橢圓交點結論求解,把向量問題轉化為不等式問題,對學生綜合分析問題的能力要求較高.解法2利用向量的線性運算把向量用相同的基表示,得出橢圓上點到原點的距離,再利用距離的有界得出不等式,這是處理離心率范圍問題的常用方法.解法3將數量積用坐標表示后轉化為有關橫坐標x0的關系式,并利用x0的有界性求解,對學生的綜合分析能力和運算能力要求都較高.

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