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    廣義自回歸條件異方差模型加速模擬定價(jià)理論

    2019-04-04 03:43:00馬俊美卓金武
    關(guān)鍵詞:觀測(cè)點(diǎn)期權(quán)常數(shù)

    馬俊美, 卓金武, 張 建, 陳 淥

    (1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 200433; 2.上海市金融信息技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200433; 3.應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(莆田學(xué)院),福建 莆田 351100;4.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理與工程學(xué)院,上海 200433)

    波動(dòng)率是金融資產(chǎn)最重要的特征之一,特別是在定價(jià)中起決定因素.波動(dòng)率通常定義為標(biāo)的資產(chǎn)投資回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差,通常用來(lái)度量標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)或者不確定性.經(jīng)典的Black-Scholes模型假設(shè)波動(dòng)率是常數(shù),這與實(shí)際金融市場(chǎng)得到的數(shù)據(jù)不一致.金融實(shí)證研究表明:波動(dòng)率最顯著的一個(gè)特點(diǎn)就是具有“微笑”或者偏斜的曲線[1].此外,除了具有“微笑”曲線外,人們還發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率具有集聚性與時(shí)變性,分布呈尖峰厚尾性,還具有杠桿效應(yīng)、日歷效益效應(yīng)等特性[2].針對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)率的這些特性,研究者們提出了一系列隨機(jī)波動(dòng)率模型來(lái)改進(jìn)Black-Scholes模型,期望更好地刻畫(huà)隨機(jī)波動(dòng)率特征.估量波動(dòng)性的模型在過(guò)去的半個(gè)世紀(jì)里成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和實(shí)證金融學(xué)中較為活躍的研究領(lǐng)域之一.概括起來(lái)主流的隨機(jī)波動(dòng)率模型主要有兩類,一類是連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率模型(SV模型),一類是離散時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率模型(GARCH模型).這兩類模型被認(rèn)為是最集中反映全球金融數(shù)據(jù)時(shí)間序列方差波動(dòng)特點(diǎn)的模型,也是研究現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).在金融實(shí)務(wù)操作中,交易都是離散進(jìn)行的,GARCH模型描述離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)情形,更能反映實(shí)務(wù)中股票價(jià)格運(yùn)行的實(shí)際情況.

    GARCH模型是將波動(dòng)率視為過(guò)去信息集的函數(shù),是Bollerslev[3]在Engle[4]在ARCH模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.GARCH模型考慮了擾動(dòng)項(xiàng)的滯后值和擾動(dòng)項(xiàng)條件方差的滯后值,克服了ARCH模型無(wú)法反映波動(dòng)率的持續(xù)性以及不能保證參數(shù)非負(fù)的缺點(diǎn),被廣泛用于描述金融市場(chǎng)上資產(chǎn)收益的波動(dòng)變化.1987年,Bollerslev在考慮分布有偏和放寬假設(shè)的前提下,使用t分布代替正態(tài)分布描述時(shí)間序列的偏度和峰度問(wèn)題,建立了AGARCH模型[4].基于這些研究,考慮到該模型的應(yīng)用性和擴(kuò)展性,此后20多年,許多學(xué)者針對(duì)不同問(wèn)題構(gòu)建出多種變形模型,構(gòu)成GARCH族模型,使條件異方差結(jié)構(gòu)得到完善的詮釋.例如,Robert等為解決高風(fēng)險(xiǎn)高收益問(wèn)題,將風(fēng)險(xiǎn)加入收益方程,建立了MGARCH模型[5].針對(duì)沖擊非對(duì)稱效應(yīng),Nelson提出了指數(shù)模型EGARCH[6], Zakoian提出了門限模型TGARCH[7].大量實(shí)證證明GARCH模型對(duì)金融時(shí)間序列有較好的描述,它充分體現(xiàn)了金融數(shù)據(jù)的特征,這些GARCH族模型的應(yīng)用與實(shí)證領(lǐng)域雙向作用,使得模型在分析波動(dòng)性和表征宏觀、金融高頻數(shù)據(jù)等方面體現(xiàn)出巨大的價(jià)值和意義.

    GARCH模型描述的是離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)情形,在進(jìn)行產(chǎn)品定價(jià)研究時(shí),不能象連續(xù)時(shí)間經(jīng)濟(jì)情形那樣,可以建立期權(quán)價(jià)格滿足的偏微分方程,所以,Monte Carlo模擬方法被普遍用來(lái)解決GARCH模型下金融產(chǎn)品的計(jì)算問(wèn)題.Duan等[8]在1995年第一次提出了一個(gè)在GARCH模型框架下歐式期權(quán)定價(jià)的完整理論,運(yùn)用均衡定價(jià)原理證明了當(dāng)投資者的效用函數(shù)滿足一定的條件時(shí),就存在一個(gè)滿足局部風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)關(guān)系的概率測(cè)度Q,用傳統(tǒng)的Monte Carlo模擬算法計(jì)算了GARCH模型歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[8-9];邵斌和丁娟研究了GARCH模型下美式亞式期權(quán)價(jià)值的Monte Carlo模擬算法,在Longstaff等的美式期權(quán)定價(jià)的最小二乘算法的基礎(chǔ)上,開(kāi)發(fā)了GARCH模型下美式亞式期權(quán)定價(jià)的最小二乘模擬算法[10].

    波動(dòng)率衍生產(chǎn)品是一類基于波動(dòng)率遠(yuǎn)期水平的特殊金融衍生品,主要代表是方差互換.波動(dòng)率衍生產(chǎn)品是在1998年經(jīng)濟(jì)危機(jī)之后順時(shí)而出的產(chǎn)品,它代表了一種新的交易思路——交易波動(dòng)率,是現(xiàn)今金融工程的熱門方向,也是研究的前沿,它的出現(xiàn)為國(guó)際資本市場(chǎng)的拓展和融資技術(shù)的創(chuàng)新帶來(lái)了巨大的變化,衍生出了方差和波動(dòng)率互換市場(chǎng).1998年,市場(chǎng)開(kāi)始出現(xiàn)股票指數(shù)波動(dòng)率互換和波動(dòng)率變動(dòng)互換的交易;同年,德國(guó)出現(xiàn)了波動(dòng)率指數(shù)期貨的交易;2001年,基于Nasdaq-100期權(quán)的納斯達(dá)克波動(dòng)率指數(shù)(VXN)波動(dòng)率指數(shù)被開(kāi)發(fā)出來(lái);2003年,基于SP500期權(quán)的新VIX波動(dòng)率指數(shù)被開(kāi)發(fā)出來(lái);2004年,VIX波動(dòng)率指數(shù)期貨與波動(dòng)率指數(shù)變動(dòng)期貨開(kāi)始交易;2008年,VIX波動(dòng)率指數(shù)期權(quán)開(kāi)始交易.交易波動(dòng)率除了將不同市場(chǎng)連接起來(lái),同時(shí)對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)也存在重大的意義,這代表了一種新的研究方向.國(guó)內(nèi),目前關(guān)于波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的關(guān)注度也越來(lái)越高,上海期貨所和上海紐約大學(xué)就波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的運(yùn)用與交易策略已展開(kāi)多次高層論壇,上海紐約大學(xué)專門成立波動(dòng)研究所(V-Lab),通過(guò)對(duì)各類金融資產(chǎn)的波動(dòng)性、相關(guān)度及其他風(fēng)險(xiǎn)維度的實(shí)時(shí)度量、建模和預(yù)測(cè),為學(xué)界、業(yè)界及監(jiān)管和決策部門提供實(shí)時(shí)的市場(chǎng)動(dòng)態(tài)資訊及分析,為日后波動(dòng)率產(chǎn)品的推行做準(zhǔn)備.所以,關(guān)于波動(dòng)率及波動(dòng)率產(chǎn)品的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.

    方差互換是一種合約,且是期限較長(zhǎng)的.買方取得的利潤(rùn)取決于實(shí)際資產(chǎn)指數(shù)波動(dòng)率減去敲定波動(dòng)率,以上各項(xiàng)均應(yīng)該在與簽訂方的合約中有限制,包括限定期限等.在合約到期時(shí)簽訂方的償付額為名義本金與此差值的乘積,即

    P=M·(σ2-K2)

    式中:M是名義本金;σ2是事實(shí)資產(chǎn)指數(shù)的方差;K2是方差互換中的敲定方差.

    關(guān)于波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的定價(jià)研究,前人研究思路主要有2個(gè)方面: 一個(gè)方面是在著重刻畫(huà)產(chǎn)品的性質(zhì)特征上,如文獻(xiàn)[11-12],以期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ),通過(guò)一系列標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的組合來(lái)復(fù)制相應(yīng)的互換[11-12].另一方面是在某些特殊條件下,研究產(chǎn)品價(jià)格的半解析解,如文獻(xiàn)[13-15],但求半解析解的過(guò)程亦是一復(fù)雜的數(shù)值過(guò)程.Ma等[16]使用Monte Carlo技術(shù)研究了連續(xù)型Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型下波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題.

    本文著重研究GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型下金融衍生產(chǎn)品的加速模擬定價(jià)問(wèn)題,并以方差衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題為例.

    1 Monte Carlo方法及控制變量技術(shù)

    由中心極限定理,可以得到估計(jì)值的誤差為

    假設(shè)每次仿真的過(guò)程中都存在另一個(gè)隨機(jī)變量X,形成一對(duì)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量(Xj,Vj),且Xj的期望E(X)是已知的,則對(duì)任意確定的常數(shù)b,第j次重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果為

    Vj(b)=Vj-b[Xj-E(X)]

    那么m次模擬之后,期權(quán)價(jià)格的控制變量估計(jì)值為

    Var(Vj(b))=Var(V)+b2Var(X)-

    關(guān)于控制變量技術(shù)的方差分解原理及其他幾種方差減小理論可參考文獻(xiàn)[17].

    2 GARCH模型下方差衍生產(chǎn)品的控制變量加速模擬理論

    2.1 GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型介紹

    在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下,資產(chǎn)收益率過(guò)程由式(1)給出[8]:

    (1)

    式中:α0、α1、β1和γ都是GARCH模型中的參數(shù),α0>0,α1>0,β1>0;λ是風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)率.

    h(S0,S1,…,SN)

    產(chǎn)品的收益函數(shù)記為h(S0,S1,…,SN),產(chǎn)品的發(fā)行時(shí)刻價(jià)格為

    V(S0,0)=E[e-rTh(S0,S1,…,SN)]

    方差衍生產(chǎn)品的定價(jià)屬于高維的路徑依賴型問(wèn)題,而在GARCH模型下,此類路徑依賴問(wèn)題的解析表達(dá)式很難得到,一般情況下只能用數(shù)值估計(jì)方法估計(jì),若用有限差分方法或者二叉樹(shù)方法直接求解,計(jì)算量極大,因此考慮用Monte Carlo加速模擬技術(shù)來(lái)研究此定價(jià)問(wèn)題.

    2.2 Black-Scholes框架下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的解析解

    考慮使用Black-Scholes框架下的輔助方差互換產(chǎn)品,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程服從下面的擴(kuò)散過(guò)程:

    (2)

    式中:σc為波動(dòng)率常數(shù);Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

    記此時(shí)產(chǎn)品的價(jià)格為W=W(S,t),到期日的收益函數(shù)仍為h(S0,S1,…,SN),使用概率論方法求其解析解.因?yàn)?/p>

    式中:Xi~N(0,1),i=1,2,…,N,且Xi和Yj相互獨(dú)立,所以

    W(S0,0)=E[e-rTh(S0,S1,…,SN)]=

    將收益函數(shù)h(S0,S1,…,SN)的表達(dá)式代入上式即可求出解析解為

    2.3 GARCH波動(dòng)率模型產(chǎn)品定價(jià)的控制變量加速模擬算法

    將上述Black-Scholes框架下的輔助方差互換產(chǎn)品的價(jià)格作為控制變量來(lái)求解GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型下方差互換的價(jià)格.控制變量Monte Carlo加速模擬算法如下.

    (3)

    式中:ε1,i是符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),每個(gè)間隔點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè),這樣就可以模擬出基于常數(shù)波動(dòng)率下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的一條路徑j(luò).

    (2) 步驟2.運(yùn)用方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型和步驟1中模擬路徑j(luò),可求出控制變量在零時(shí)刻的價(jià)格為

    (4)

    (3) 步驟3.n等分時(shí)間段[0,T],基于GARCH模型的收益率變化過(guò)程(在于步驟1中相同的隨機(jī)序列ε1下生成),有式(5):

    (5)

    式中的波動(dòng)率σ(ti)滿足式(6):

    (6)

    式中:ε2,i取為一個(gè)與ε1,i相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量.這樣便可以模擬出基于GARCH模型下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的另一條路徑.

    (4) 步驟4.運(yùn)用方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型和步驟3中模擬的路徑推導(dǎo)出方差互換產(chǎn)品初始時(shí)刻價(jià)格為

    (5) 步驟5.計(jì)算V(b)=V-b(X-E(X)),b為一個(gè)可以估計(jì)出的常數(shù),其中E(X)由下式給出:

    (6) 步驟6.模擬m次(重復(fù)步驟1至5m次),并對(duì)每一次模擬所得的V(b)取平均得到GARCH模型下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的控制變量估計(jì)為

    (7)

    其中最優(yōu)系數(shù)b*可用樣本點(diǎn)估計(jì).

    該Monte Carlo控制變量算法的誤差減小效果關(guān)鍵在于要使控制變量與所求GARCH問(wèn)題模型具有較高的相關(guān)性ρXV.加速的效果用2種算法的誤差減小倍數(shù)R來(lái)衡量.

    數(shù)值結(jié)果表明:控制變量技術(shù)的加速效果高度依賴于模型參數(shù)σc的選取,σc選取的不同,誤差減小效果差別很大.圖1描述了R與不同的波動(dòng)率常數(shù)的關(guān)系.

    圖1 R與波動(dòng)率的關(guān)系(N=1, m=5 000)

    如何選取高效有代表性的常數(shù)波動(dòng)率σc是該控制變量算法設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題,使模擬的效果能達(dá)到最好.通過(guò)對(duì)GARCH離散標(biāo)的過(guò)程和Black- Scholes連續(xù)標(biāo)的資產(chǎn)過(guò)程的一階矩和二階矩的分析,得到下面定理.

    定理1當(dāng)波動(dòng)率常數(shù)滿足

    時(shí),過(guò)程(3)與(5)所描述的兩股票價(jià)格的前兩階矩在T時(shí)刻近似相等,其中,σ(ti,j)表示第i條路徑上tj時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率.

    若X~N(μ,σ2),則

    Var(eX)=(eσ2-1)e2μ+σ2

    所以,對(duì)于過(guò)程(3)有

    對(duì)于過(guò)程(5)有

    則有

    S0erTe-(σ*)2Te(σ*)2T=

    把滿足上面結(jié)論的σc所確定的控制變量視為“最優(yōu)控制”,對(duì)應(yīng)的控制變量估計(jì)作為GARCH模型下方差互換產(chǎn)品的價(jià)格,此時(shí)的誤差作為控制變量算法的誤差.

    3 數(shù)值計(jì)算模擬結(jié)果

    對(duì)算控制變量算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn),并驗(yàn)證定理1的最優(yōu)化結(jié)果:即在σc的一個(gè)局部區(qū)域進(jìn)行搜索,搜索出滿足最優(yōu)化問(wèn)題

    表1 N=1時(shí)的模擬結(jié)果

    由表中數(shù)據(jù)看出,Monte Carlo控制變量法對(duì)于模型的加速效果相當(dāng)明顯,加速后誤差減小倍數(shù)在126左右,大幅度減小模擬誤差;若不使用控制變量法要達(dá)到相同的誤差減小倍數(shù),模擬次數(shù)需要增加到原來(lái)的1262倍,所以大幅提高了模擬效率.而隨著模擬次數(shù)的增加,方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型的模擬誤差逐漸降低,模擬出的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格V相對(duì)穩(wěn)定(誤差小于0.001),這表明Monte Carlo模擬是有效、合理并且穩(wěn)定的.

    此外,根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果,還發(fā)現(xiàn)了一些其他的結(jié)論.如圖2所示為模擬次數(shù)m=2 000時(shí)方差減小倍數(shù)隨著常數(shù)波動(dòng)率σc設(shè)定值的變化而產(chǎn)生變化的函數(shù)圖像.可以看到,函數(shù)圖像是單峰對(duì)稱分布的,當(dāng)常數(shù)波動(dòng)率約為0.142 2時(shí),誤差減小倍數(shù)最大,在對(duì)稱軸兩側(cè)快速遞減;當(dāng)常數(shù)波動(dòng)率以0.142 2為初始點(diǎn)減小或增大時(shí),方差減小倍數(shù)下降得很快,常數(shù)波動(dòng)率±0.02的變化引起誤差減小倍數(shù)下降了100左右.由此可見(jiàn),在GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型中,用控制變量法進(jìn)行Monte Carlo模擬時(shí),常數(shù)波動(dòng)率的取值對(duì)模擬加速效果影響很大,微小的變化就能使方差減小倍數(shù)發(fā)生大變,因此在模擬加速時(shí)應(yīng)提升常數(shù)波動(dòng)率取值的精度,提高控制變量法的效率,減小Monte Carlo模擬的模擬誤差.

    為更好進(jìn)行比較,表2記錄了當(dāng)觀察次數(shù)N=10時(shí)該Monte Carlo模擬控制變量法的MATLAB數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

    數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果表明:N=10時(shí)的模型變化規(guī)律與N=1時(shí)的模型變化規(guī)律基本保持一致,最優(yōu)波動(dòng)率均在0.142 2附近取到,且經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出的波動(dòng)率和最優(yōu)常數(shù)波動(dòng)率都十分接近,在可接受誤差范圍內(nèi).在N=10時(shí),模擬次數(shù)m分別為1 000和2 000時(shí),誤差減小與常數(shù)波動(dòng)率取值關(guān)系中,和N=1時(shí)的情況基本相同,呈單峰對(duì)稱分布且存在一個(gè)最優(yōu)的常數(shù)波動(dòng)率,使得誤差減小倍數(shù)達(dá)到最大,見(jiàn)圖3.

    圖2 R與波動(dòng)率的關(guān)系(N=1,m=2 000)

    mσc1σ?cVStd/10-3RR?1 0000.142 40.142 319.410.749 5107.41107.422 0000.142 40.142 219.410.373 7107.99108.045 0000.142 40.142 219.410.153 9106.90106.9210 0000.142 40.142 219.410.078 6104.33104.3415 0000.142 40.142 219.410.052 7103.69103.7020 0000.142 40.142 319.410.039 5103.40103.41

    4 進(jìn)一步的討論

    由上述可見(jiàn),使用Black-Scholes框架下的確定常數(shù)波動(dòng)率條件下的方差互換的價(jià)格作為控制變量,為GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品進(jìn)行加速模擬定價(jià),取得了很好的效果.繼續(xù)對(duì)上述算法進(jìn)行改進(jìn),考慮使用分段常數(shù)波動(dòng)率框架下的產(chǎn)品價(jià)格作為控制變量,對(duì)原GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型下的產(chǎn)品進(jìn)行加速模擬定價(jià).

    考慮式(8)模型:

    (8)

    (9)

    GARCH模型的價(jià)格變化過(guò)程為

    (10)

    式中:ti表示第i個(gè)觀測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻.

    為確保原定價(jià)問(wèn)題與模型(8)下的產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題有較高的相關(guān)性,盡量使得兩類標(biāo)的過(guò)程(9)和(10)有較高的“相似性”,同樣對(duì)兩類標(biāo)的過(guò)程的一階矩和二階矩進(jìn)行分析,使得它們?cè)谌我庥^測(cè)點(diǎn)ti上相等,得到下面的定理.

    定理2當(dāng)每一段的常數(shù)波動(dòng)率滿足

    時(shí),可以保證過(guò)程(9)和(10)在N個(gè)觀測(cè)點(diǎn){t1,t2,…,tN}的前兩階矩相等.其中σ(tj,i)表示過(guò)程(10)的第j條路徑上0~ti之間所有時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率,且

    證明現(xiàn)證明過(guò)程(9)與(10)在每一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的一階矩和二階矩相等,即期望與方差相等.

    因?yàn)?,若X~N(μ,σ2),則

    Var(eX)=(eσ2-1)e2μ+σ2

    在觀測(cè)點(diǎn)t1,過(guò)程(9)的前兩階矩為

    Var(S(1)(t1))=

    在觀測(cè)點(diǎn)t1,過(guò)程(10)的兩階矩為

    此時(shí)有

    S0ert1=E(S(1)(t1))

    e-(E(σ(tj,1)))2t1e(E(σ(t0,1)))2t1-1)=

    此時(shí),當(dāng)初始條件相等,且σ1,c-E(σ(tj,1))時(shí),可以保證

    同理,考慮觀測(cè)點(diǎn)t2,有

    此時(shí)有

    當(dāng)初始條件相等,為了保證在觀測(cè)點(diǎn)t2時(shí)刻前兩階矩相等,即

    則要求

    (E(σ(tj,2)))2t2-(E(σ(tj,1)))2t1

    依此類推,繼續(xù)考慮N個(gè)觀測(cè)點(diǎn),當(dāng)滿足

    則可以保證在N個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的前兩階矩相等.證畢.

    再次利用與前文相同的初始條件進(jìn)行數(shù)值模擬,并與常數(shù)波動(dòng)率情形進(jìn)行對(duì)比,另外模擬參數(shù)α1=0.005.

    在表3中,σc表示分段最優(yōu)常數(shù)波動(dòng)率(考慮了分N=2段和N=3段的情況),Rc表示分段最優(yōu)常數(shù)波動(dòng)率下誤差減小倍數(shù)(相對(duì)于原始的Monte Carlo方法).當(dāng)m=1 000時(shí),分N=2段的話,求出的兩段最優(yōu)波動(dòng)率常數(shù)為:0.142 4和0.142 2,此時(shí)控制變量的誤差減小倍數(shù)為126.68;同樣的,當(dāng)m=1 000時(shí),分N=3段的話,求出的三段最優(yōu)波動(dòng)率常數(shù)為:0.142 5,0.142 2和0.142 2,此時(shí)控制變量的誤差減小倍數(shù)為127.27.從表3的結(jié)果比較中可以看出,分段波動(dòng)率常數(shù)情形下的誤差減小倍數(shù)相比常數(shù)波動(dòng)率情形有一定的改進(jìn),但改進(jìn)的幅度并不是很大.分析其主要原因?yàn)椋簭腉ARCH模型產(chǎn)生的波動(dòng)率序列的自相關(guān)函數(shù)逐漸趨于零,當(dāng)分段考慮不同的波動(dòng)率時(shí),隨著波動(dòng)率序列的增多,每一段都相當(dāng)于一個(gè)獨(dú)立的滿足過(guò)程,即每一段的序列期望值趨于相等,所以針對(duì)GARCH模型考慮分段常數(shù)波動(dòng)率時(shí),相比單個(gè)常數(shù)波動(dòng)率情形時(shí)效果差別不是很大.

    表3常數(shù)波動(dòng)率與分段常數(shù)波動(dòng)率對(duì)比(α1=0.005)

    Tab.3Constantvolatilityvs.piecewiseconstantvolatilityvariancereductioncomparison(α1=0.005)

    mσ?cR?c最優(yōu)波動(dòng)功率常數(shù)Ric1 0000.142 3120.045 0000.142 3127.4510 0000.142 3128.280.142 40.142 20.142 50.142 20.142 20.142 40.142 20.142 50.142 20.142 20.142 40.142 20.142 50.142 20.142 2126.68127.27129.46133.13129.63132.20

    5 結(jié)論

    數(shù)值分析的結(jié)果也表明:利用常數(shù)波動(dòng)率下產(chǎn)品價(jià)格符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)衍生品的價(jià)格作為控制變量,對(duì)GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品定價(jià)是有成效的,推導(dǎo)出的公式也是合理且符合實(shí)際的.并且發(fā)現(xiàn):控制變量模型中常數(shù)波動(dòng)率對(duì)方差減小的影響具有鮮明的數(shù)學(xué)特點(diǎn),方差減小隨常數(shù)波動(dòng)率變化的圖像呈單峰對(duì)稱分布.這也為其他模型下對(duì)Monte Carlo控制變量法在期權(quán)定價(jià)中的運(yùn)用提供了思路.最后,對(duì)常數(shù)波動(dòng)率的情形進(jìn)行了改進(jìn),用分段波動(dòng)率常數(shù)的Black-Scholes模型去近似原GARCH模型,并給出了最優(yōu)分段常數(shù)波動(dòng)率的選取方法.

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