串級(jí)模糊控制在多變量單級(jí)倒立擺中的應(yīng)用

王 斌，趙 慶，李巾錠

（天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津300072）

倒立擺系統(tǒng)是一種典型的多變量、 非線性、強(qiáng)耦合和快速運(yùn)動(dòng)自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，其精確控制的研究具有重要的工程背景和實(shí)際意義[1-2]。模糊控制在控制具有復(fù)雜性、信息量少和高標(biāo)準(zhǔn)性性能等要求的被控對(duì)象時(shí)具有一定優(yōu)勢(shì)，但模糊控制器的設(shè)計(jì)等方面還沒(méi)有得到很好的解決，對(duì)于多輸入變量被控對(duì)象，控制規(guī)則數(shù)會(huì)隨輸入變量的增多而成指數(shù)增加，嚴(yán)重制約著模糊控制器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用[3-4]。

單級(jí)倒立擺有4 個(gè)輸入變量，若采用常規(guī)模糊控制，模糊控制器的控制規(guī)則數(shù)量非常大，難以實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]在研究單級(jí)倒立擺解耦的基礎(chǔ)上，分別建立了串級(jí)模糊控制系統(tǒng)和串級(jí)模糊PID控制系統(tǒng)，但二者并沒(méi)有研究模糊控制器的設(shè)計(jì)。本文在研究單級(jí)倒立擺控制方程解耦的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了遺傳算法優(yōu)化串級(jí)模糊控制系統(tǒng)，進(jìn)行了單級(jí)倒立擺的串級(jí)模糊控制器自動(dòng)設(shè)計(jì)。

1 單極倒立擺系統(tǒng)建模

單級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 單極倒立擺結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Unipolar inverted pendulum structure

由式（1）可見(jiàn)，位置變量與角度變量為耦合關(guān)系，若直接對(duì)其進(jìn)行模糊控制，模糊控制器有4 個(gè)輸入變量，若每個(gè)輸入變量定義5 個(gè)模糊子集，則需要625 個(gè)控制規(guī)則，模糊控制難以運(yùn)行。本文為了降低模糊控制的難度，對(duì)式（1）首先進(jìn)行解耦，將統(tǒng)一耦合的倒立擺狀態(tài)方程解耦為2 個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)方程，分別為角度狀態(tài)方程和位移狀態(tài)方程：

由此，可對(duì)2 個(gè)狀態(tài)狀態(tài)方程直接進(jìn)行控制。

2 遺傳優(yōu)化模糊控制系統(tǒng)

2.1 串級(jí)模糊控制系統(tǒng)

與常用的Mamdani 型模糊推理模型相比較，TS 模糊控制推理模型更便于定量分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算，本文采用T-S 模糊控制模型，如圖2 所示。

圖2 雙閉環(huán)串級(jí)模糊控制系統(tǒng)Fig.2 Double closed loop cascade fuzzy control system

由上圖所示，串級(jí)模糊由2 個(gè)模糊控制器組成，其中內(nèi)環(huán)模糊控制器控制單級(jí)倒立擺的角度，外環(huán)模糊控制器控制單級(jí)倒立擺的位移，即運(yùn)用2個(gè)模糊控制器分別控制單級(jí)倒立擺的角度和位移。

兩個(gè)模糊控制器都為二維模糊控制器，設(shè)計(jì)輸入變量都定義5 個(gè)模糊子集，每個(gè)模糊子集的隸屬度都為三角形隸屬度：

模糊控制器的規(guī)則為配置的反饋極點(diǎn)決定：

其中u（t）=KIx（t），即此時(shí)需要的反饋量，K 為此時(shí)的反饋控制增益矩陣，由設(shè)置的極點(diǎn)進(jìn)行極點(diǎn)配置求得。

2.2 模糊控制參數(shù)優(yōu)化

運(yùn)用并行分布補(bǔ)償法設(shè)計(jì)T-S 模糊控制系統(tǒng)就是將模糊控制器分解為多個(gè)線性控制器，將T-S 模糊控制器的每條規(guī)則作為一個(gè)線性控制器處理。并行分布補(bǔ)償法可分為試湊法和直接法，運(yùn)用試湊法進(jìn)行模糊控制器的設(shè)計(jì)，隨機(jī)設(shè)計(jì)每個(gè)線性控制器，將它們聚合在一起，即隨機(jī)設(shè)計(jì)T-S 模糊控制器的控制規(guī)則，若隨機(jī)設(shè)置的T-S 模糊控制系統(tǒng)符合控制要求，則作為設(shè)計(jì)的T-S 模糊控制系統(tǒng)，否則重新設(shè)計(jì)。為了實(shí)現(xiàn)T-S 模糊控制器的自動(dòng)設(shè)計(jì)，采用遺傳算法與試湊法相結(jié)合的方法設(shè)計(jì)T-S 模糊控制系統(tǒng)。即將每個(gè)試湊法設(shè)計(jì)的T-S 模糊控制器轉(zhuǎn)化為遺傳算法的染色體，并運(yùn)用遺傳算法對(duì)其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

采用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)串級(jí)模糊控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。遺傳算法的輸入和輸出隸屬度都已設(shè)計(jì)，優(yōu)化模糊控制器的控制規(guī)則。由上文可知，模糊控制器采用極點(diǎn)配置法進(jìn)行設(shè)計(jì)，故優(yōu)化需要的極點(diǎn)。遺傳算法流程如圖3 所示。其中遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)、染色體編碼及自適應(yīng)遺傳操作需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)置。

圖3 遺傳算法流程Fig.3 Genetic algorithm flow chart

（1）初始種群生成

染色體編碼方式的優(yōu)劣對(duì)遺傳算法的運(yùn)行有重要的影響，本文運(yùn)用極點(diǎn)配置與并行分配補(bǔ)償法（PDC）結(jié)合的方法產(chǎn)生初始染色體。即將整個(gè)T-S模糊控制系統(tǒng)分為多個(gè)局部線性控制器，并分別運(yùn)用極點(diǎn)配置法確定各局部線性控制器的反饋參數(shù)。雙閉環(huán)串級(jí)模糊控制器共有50 條控制規(guī)則，每條規(guī)則代表1 個(gè)狀態(tài)方程，可運(yùn)用極點(diǎn)配置法將每個(gè)狀態(tài)方程的極點(diǎn)設(shè)定為所需要的。每組極點(diǎn)為共軛極點(diǎn)，具有負(fù)實(shí)部，以這組共軛極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值和虛部的模表示。采用十進(jìn)制編碼，每條染色體有100 個(gè)數(shù)組成。根據(jù)上述編碼方法及設(shè)定的種群中個(gè)體數(shù)量，進(jìn)行初始種群生成。

（2）適應(yīng)度函數(shù)的建立

遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)是遺傳進(jìn)化的依據(jù)，其確定直接影響著控制模型的優(yōu)化效果。單級(jí)倒立擺的控制需要具有快速性和穩(wěn)定性，通過(guò)多次仿真試探，適應(yīng)度僅函數(shù)以單級(jí)倒立擺的小車位移和擺桿角度及為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，確定適應(yīng)度函數(shù)中的各項(xiàng)參數(shù)。改進(jìn)遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)如下式：

式中：T 代表采樣周期；N 代表采樣次數(shù)，仿真時(shí)間為N*T；j 為采樣次數(shù)；x1（j）和x3（j）分別為第j 次采樣時(shí)單級(jí)倒立擺輸出的位移和角位移。

（3）自適應(yīng)遺傳操作

首先是選擇操作中采用最優(yōu)保存策略，保留上一代中的最優(yōu)個(gè)體，直接進(jìn)入下一代，代替下一代的最差個(gè)體。同時(shí)，為了解決遺傳算法的早熟問(wèn)題，提高遺傳算法的魯棒性，本文采用了自適應(yīng)遺傳算法，自適應(yīng)交叉率和變異率隨著個(gè)體的適應(yīng)度在種群平均適應(yīng)度和最大適應(yīng)度之間進(jìn)行調(diào)整，并設(shè)計(jì)了自適應(yīng)交叉率和變異率：

3 實(shí)驗(yàn)仿真分析

根據(jù)上文設(shè)計(jì)的模糊控制系統(tǒng)，在Matlab 環(huán)境下進(jìn)行雙閉環(huán)串級(jí)模糊控制器的設(shè)計(jì)與仿真。取倒立擺的擺桿的初始擺角位移和角度分別為0.2 rad 和0 rad/s，取位移和速度分別為0.1 m 和0.1 m/s。小車的質(zhì)量和擺桿的質(zhì)量分別為2 kg 和0.02 kg，擺桿長(zhǎng)為0.5 m，小車的摩擦系統(tǒng)為0.1 N/m/s。將上述參數(shù)代入控制系統(tǒng)中，運(yùn)用設(shè)計(jì)方法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)定遺傳算法的初始種群有100 個(gè)個(gè)體，進(jìn)化終止代數(shù)為100 代，遺傳算法的優(yōu)化過(guò)程如圖4 所示。

圖4 遺傳算法優(yōu)化過(guò)程Fig.4 Genetic algorithm optimization process diagram

由上圖可知，改進(jìn)遺傳優(yōu)化過(guò)程在前30 代收斂很快，過(guò)了30 代，基本趨近穩(wěn)定，說(shuō)明改進(jìn)遺傳算法有良好的優(yōu)化效果。

將優(yōu)化的控制器參數(shù)及單級(jí)倒立擺參數(shù)代入雙閉環(huán)模糊控制模型中，對(duì)其進(jìn)行仿真。同時(shí)運(yùn)用同一遺傳算法優(yōu)化雙閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，將其優(yōu)化控制結(jié)果與串級(jí)模糊控制結(jié)果相比較，倒立擺的位移控制和角度控制結(jié)果圖如圖5 和圖6 所示。

由圖5 和圖6 中的雙閉環(huán)串級(jí)模糊控制系統(tǒng)和常規(guī)雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制結(jié)果對(duì)比可知，相比于常規(guī)雙閉環(huán)控制器，雙閉環(huán)串級(jí)模糊控制系統(tǒng)減小了系統(tǒng)的超高量，縮小了系統(tǒng)的輸出振蕩，縮短了穩(wěn)定時(shí)間，具有更好的動(dòng)態(tài)性能。

圖5 小車位移控制對(duì)比圖Fig.5 Cart displacement control comparison diagram

圖6 擺桿角位移控制對(duì)比圖Fig.6 Pendulum angle displacement control comparison diagram

4 結(jié)語(yǔ)

單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的精確控制具有重要的工程背景和實(shí)際意義，對(duì)其變量解耦以降低控制模型的復(fù)雜度和難度是一個(gè)重要的研究方向。本文以單級(jí)倒立擺控制模型的變量解耦為基礎(chǔ)，成為實(shí)現(xiàn)了單級(jí)倒立擺的雙閉環(huán)串級(jí)模糊控制，將有利于模糊控制在多變量控制模型中應(yīng)用發(fā)展。