包容式節(jié)點桁架多目標分層優(yōu)化設計

張 氫， 霍佳雨， 孫文斌， 秦仙蓉， 孫遠韜

(同濟大學 機械與能源工程學院， 上海 201804)

桁架結(jié)構(gòu)因其自重輕、抗風性能強、制造成本低等優(yōu)點廣泛應用于起重運輸機械、海洋工程等領(lǐng)域[1].Yao等[2]針對桁架結(jié)構(gòu)布局、形狀和尺寸多級分層優(yōu)化問題提出了并行子空間協(xié)同優(yōu)化策略，在每次迭代優(yōu)化中，子空間的優(yōu)化求解相互獨立，每次迭代結(jié)束時，基于每個子空間的優(yōu)化結(jié)果，綜合協(xié)同調(diào)整設計變量.針對桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中形狀參數(shù)和尺寸參數(shù)混合優(yōu)化問題，F(xiàn)lager等[3]提出了一種新的兩級嵌套分層優(yōu)化策略.內(nèi)層是尺寸優(yōu)化，采用全約束優(yōu)化算法，外層是形狀優(yōu)化，采用SEQOPT算法，兩層嵌套迭代優(yōu)化.劉濤等[4]將桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題分解成拓撲優(yōu)化和尺寸、形狀優(yōu)化兩個子問題分層求解，尺寸、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化交替進行迭代.王毅等[5]將結(jié)構(gòu)布局設計問題按設計變量類型分為布局、形狀和尺寸三個并行的子空間，設計變量在各自的子空間內(nèi)單獨優(yōu)化.上述方法中只是按照形狀、尺寸的方法對優(yōu)化過程進行分類，對于設計變量較多的大規(guī)模優(yōu)化問題，計算時間長，求解效率低.張氫等[6]由結(jié)構(gòu)設計一般過程出發(fā)，將機械結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題分為整體層和局部層，提出了一種整體層-局部層的優(yōu)化模型，在整體層對機械系統(tǒng)的整體方案進行優(yōu)化設計，局部層是在整體層設計變量作為已知條件基礎上進行結(jié)構(gòu)的詳細設計.

包容式節(jié)點桁架[7-8]優(yōu)化問題，同時涉及到尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化，優(yōu)化設計變量多，優(yōu)化設計變量間耦合約束條件復雜，傳統(tǒng)的設計方法所有變量都處理為獨立、平等層次，這樣隨著優(yōu)化問題規(guī)模增大，計算量越來越大，效率越來越低.探索如何在同時滿足強度和質(zhì)量等要求的條件下，設計出合理的桁架結(jié)構(gòu)具有重大的工程意義.

本文提出一種基于子空間和耦合約束的分層協(xié)同優(yōu)化策略，應用整體-局部的優(yōu)化思想對優(yōu)化問題進行分層，局部層進一步分為截面層和曲面拓撲形狀優(yōu)化層，將復雜的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成三個比較簡單的子優(yōu)化問題，其中多個優(yōu)化設計變量分散在整體層、截面層和曲面拓撲形狀優(yōu)化層三個優(yōu)化子空間，在整體層對整個桁架結(jié)構(gòu)整體尺寸進行優(yōu)化，截面層和曲面拓撲優(yōu)化層進一步細化，優(yōu)化桁架結(jié)構(gòu)的細節(jié)，層與層之間相互約束和傳遞數(shù)據(jù)，循環(huán)往復，計算效率高，收斂速度快.

1 包容式節(jié)點桁架優(yōu)化的問題描述

1.1 包容式節(jié)點桁架介紹

包容式節(jié)點是一種使用帶有凸起形狀的鼓包板(下文中稱之為包容板)加強的節(jié)點.包容板包覆貼合在主弦桿上通過焊接與主弦桿連接.腹桿連接在包容板上，腹桿可以直接貼合在包容板上與包容板焊接連接，也可以插入包容板內(nèi)部然后與包容板焊接連接.包容板采用板料鍛壓成型，易批量化生產(chǎn)，成本低，是一種全新的加強型節(jié)點.在傳統(tǒng)的桁架結(jié)構(gòu)中，腹桿直接焊接在主弦桿表面上，連接部分會產(chǎn)生嚴重的應力集中現(xiàn)象，容易發(fā)生開裂.如圖1所示，在包容式節(jié)點桁架中，則是用一塊包容板間接地將腹桿和主弦桿連接在一起.首先包容板貼合并焊接在主弦桿上，然后腹桿插入包容板內(nèi)或者貼合在包容板上然后與包容板焊接.經(jīng)過試驗測試，包容式節(jié)點上的應力集中僅為傳統(tǒng)相貫式節(jié)點的30%，很好地降低了應力集中的問題.包容式節(jié)點具有力流平順，抗疲勞能力強，不易開裂，連接強度高等優(yōu)點，這對于工程結(jié)構(gòu)有重要意義.

圖1 包容式節(jié)點桁架三維模型 Fig.1 Three-dimensional model of truss girder structure with bulge formed joint

1.2 包容式節(jié)點桁架尺寸優(yōu)化模型

包容式節(jié)點桁架結(jié)構(gòu)是一種空間桁架結(jié)構(gòu)，其

截面為等腰三角形.由主弦桿、腹桿和包容式節(jié)點組成，其中主弦桿和腹桿都焊接在包容式節(jié)點上.

包容式節(jié)點桁架的主體結(jié)構(gòu)模型有兩類變量：整體層尺寸變量和截面層尺寸變量.整體層尺寸優(yōu)化變量包括桁架總長度L、桁架截面高度H、桁架截面寬度B和節(jié)點間距DL.截面層尺寸變量包括主弦桿外徑D1、主弦桿壁厚t1、腹桿外徑D2和腹桿壁厚t2.

定義整體層尺寸變量xg和截面層尺寸變量xse如下：

(1)

如圖2所示，桁架式主梁因其自重輕、抗風能力強、造價低等優(yōu)點，滿足了龍門式起重機輕量化的要求.桁架式主梁整體結(jié)構(gòu)的應力強度和主梁自重對集裝箱龍門起重機的性能有著重要的影響.故以桁架整體結(jié)構(gòu)的應力強度和主梁自重作為整體層和截面層的優(yōu)化目標函數(shù).

圖2 應用包容式節(jié)點桁架的軌道式龍門起重機 Fig.2 Truss girder with bulge formed joint of gantry crane

1.3 包容式節(jié)點的自由曲面模型

包容式節(jié)點曲面的數(shù)學模型可以看作由13條曲線沿其公法線方向掃略形成.中間鼓包段是由9條非均勻有理樣條曲線(non-uniform rational B-splines, NURBS){C3,C4,…,C11}掃略形成，兩端分別由圓弧線{C1,C2,C12,C13}掃略形成，如圖3所示.每條曲線有13個控制點，控制點的權(quán)重和坐標決定曲線的形狀.由于包容式節(jié)點的曲面有兩個對稱軸，為了減少優(yōu)化過程的計算量和優(yōu)化設計變量的數(shù)目，選擇1/4曲面模型上的控制點z坐標和控制點權(quán)重w作為形狀優(yōu)化變量.

(2)

圖3 包容式節(jié)點實物和自由曲面模型 Fig.3 Bulge formed joint and free surface model

1.4 包容式節(jié)點曲面的光滑度

由于包容式節(jié)點采用板料鍛壓成型，曲面光滑度影響著加工模具和零件的制造難度和制造成本，光滑度較差的曲面會導致加工模具成本增高，同時鍛造出的零件良品率降低，零件生產(chǎn)成本增高，因此曲面光滑度是衡量包容式節(jié)點曲面的重要性能指標.控制點的位置用齊次坐標(x,y,z,w)表示，在x和y兩個方向分別根據(jù)相應的控制點位置擬合曲線，利用插值即可求解曲面上任一點的坐標.利用相

鄰控制點之間位置信息計算曲面的光滑度，評價曲面形狀的優(yōu)劣，如圖4所示.

圖4 包容式節(jié)點光滑度模型 Fig.4 Smoothness model of bulge formed joint

定義線段曲率分布的標準差為計算曲面的光滑度，有

(3)

1.5 包容式節(jié)點曲面的凹凸情況

實際應用的包容式節(jié)點桁架主梁結(jié)構(gòu)如圖5所示，包容式節(jié)點曲面有多種不同的形式.根據(jù)包容式節(jié)點表面的凹凸情況，可將包容式節(jié)點分為4種.

圖5 包容式節(jié)點桁架結(jié)構(gòu)模型 Fig.5 The model of truss girder structure with bulge formed joint

第1種包容式節(jié)點曲面只有一個鼓包，所有的腹桿都焊接在同一個鼓包上，如圖6所示.這種形式的包容式節(jié)點比較容易成型，模具的形狀簡單.

圖6 第1種包容式節(jié)點實物和自由曲面模型 Fig.6 The firset bulge formed joint and free surface model

第2種包容式節(jié)點曲面上有4個鼓包，整個包容式節(jié)點曲面分為兩側(cè)大鼓包，曲面上每側(cè)大鼓包上呈現(xiàn)“凸凹凸”的形狀，如圖7所示.此種包容式節(jié)點曲面每個鼓包上焊接1根腹桿，能焊接4根腹桿.

圖7 第2種包容式節(jié)點實物和自由曲面模型 Fig.7 The second bulge formed joint and free surface model

第3種包容式節(jié)點曲面上有兩個比較大的鼓包，每個大的鼓包上焊接2根腹桿，能夠焊接4根腹桿，如圖8所示.

第4種包容式節(jié)點曲面上有2個大的鼓包，每個鼓包上能夠焊接兩根腹桿，不同于上一種形式的包容式節(jié)點曲面，如圖9所示.這種包容式節(jié)點曲面單側(cè)鼓包變化比較平緩，鼓包表面曲率變化小.

這4種不同形式的包容式節(jié)點制造難易程度不同，但都有其不同的應用場合.

圖8 第3種包容式節(jié)點實物和自由曲面模型 Fig.8 The third bulge formed joint and free surface model

圖9 第4種包容式節(jié)點實物和自由曲面模型 Fig.9 The fourth bulge formed joint and free surface model

2 單層混合優(yōu)化策略

2.1 優(yōu)化數(shù)學模型

包容式節(jié)點桁架優(yōu)化的設計變量可分為4類：整體層尺寸變量xg、截面層尺寸變量xse、包容式節(jié)點長度變量xsh1和形狀變量xsh2.選擇包容式節(jié)點桁架主梁的質(zhì)量WG(xg,xse,xsh1,xsh2)和應力強度σ(xg,xse,xsh1,xsh2)作為優(yōu)化的目標函數(shù)，并考慮頻率約束條件、剛度約束條件、疲勞壽命約束條件、幾何約束條件和光滑度約束條件，利用快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ進行優(yōu)化.優(yōu)化數(shù)學模型如下:

s.t.

xg,l≤xg≤xg,u;xse,l≤xse≤xse,u;

xsh1,l≤xsh1≤xsh1,u

xsh2,l≤xsh2≤xsh2,u;λl≤λ(xg,xsh1,xsh2,xse)≤

λu

0<δ≤δ*

(4)

2.2 快速非支配排序遺傳算法NSGAⅡ

快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ的基本過程描述如下：

(1) 初始化種群，在約束范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生2N個種群個體.

(2) 確定支配等級并計算擁擠距離，對整個種群進行快速非支配排序.

(3) 通過錦標賽選擇法從當前種群中選擇父代種群，對父代種群進行雜交變異來衍生子代種群.

(4) 將父代種群和衍生的子代種群重新組合為一個新種群，對新種群進行快速非支配排序，根據(jù)每個個體的等級和擁擠距離選擇新種群中一半的個體作為下一次迭代的父代種群，不斷循環(huán)迭代優(yōu)化.

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

多數(shù)情況下，多目標優(yōu)化在可行域內(nèi)是不存在絕對最優(yōu)解，只能得到多目標優(yōu)化問題的一組均衡的非劣解的解集，即帕累托最優(yōu)集，最后根據(jù)實際情況從一組帕累托最優(yōu)集中選出一個或幾個解作為最終解，單層混合優(yōu)化帕累托邊界見圖10.

圖10 單層混合優(yōu)化帕累托邊界 Fig.10 Pareto border of integral monolayer optimization

優(yōu)化總用時16 428 s，優(yōu)化結(jié)果見表1，優(yōu)化后的桁架總質(zhì)量相比優(yōu)化前減少12%，小車跨中位置時的最大應力強度相比優(yōu)化前減少20.9%，說明優(yōu)化模型有一定的參考意義.

單層混合優(yōu)化存在優(yōu)化變量過多、優(yōu)化問題規(guī)模太大、計算量大、計算過程不收斂等問題.變量間耦合約束條件太復雜，容易出現(xiàn)過約束和欠約束等極端情況.

表1 單層混合策略優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Result of integral monolayer optimization

3 基于子空間和耦合約束的分層協(xié)同優(yōu)化策略

3.1 三級分層協(xié)同優(yōu)化策略

采用基于子空間和耦合約束的分層協(xié)同優(yōu)化策略對包容式節(jié)點桁架進行三級分層協(xié)同優(yōu)化，如圖11所示，將設計空間分為三個子空間，分別是整體層、截面層和曲面形狀優(yōu)化層.三級分層協(xié)同優(yōu)化的流程如下：

(1) 在約束區(qū)間內(nèi)初始化種群.

(2) 以整體層尺寸變量xg為設計變量，以桁架結(jié)構(gòu)的應力強度為目標函數(shù)，利用NSGA-Ⅱ算法進行優(yōu)化，并將優(yōu)化后的整體層尺寸變量xg和桁架結(jié)構(gòu)總質(zhì)量傳遞給截面層優(yōu)化.

(3) 以截面層尺寸變量xse為設計變量，以桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為目標函數(shù)，利用NSGA-Ⅱ算法進行優(yōu)化，判斷優(yōu)化后的結(jié)果是否滿足條件，如果滿足，儲存結(jié)果，并將優(yōu)化后的整體層尺寸變量xg和截面層尺寸變量xse傳遞給形狀優(yōu)化層，轉(zhuǎn)入(4)；如果不滿足，將優(yōu)化后的截面層尺寸變量xse和桁架結(jié)構(gòu)總質(zhì)量傳遞給整體層，轉(zhuǎn)入(2).

(4) 以形狀優(yōu)化變量為設計變量，以應力強度和曲面光滑度為目標函數(shù)，利用NSGA-Ⅱ算法循環(huán)迭代進行優(yōu)化.

上一層的優(yōu)化結(jié)果作為輸入量傳遞給下一層，下一層對上一層提供耦合約束.整體層和截面層的主要優(yōu)化目標函數(shù)是質(zhì)量和應力強度，第三層曲面形狀對質(zhì)量的影響忽略不計，故前兩層建立簡單的桁架有限元模型，很大程度上減小了優(yōu)化計算的計算量.

3.2 靈敏度分析

將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為三個子優(yōu)化問題，依據(jù)靈敏度分析確定各個子優(yōu)化問題的目標函數(shù)，通過有限差分法計算目標函數(shù)的靈敏度.

(5)

圖11 三級分層協(xié)同優(yōu)化策略Fig.11 Three level hierarchical cooperative optimization strategy

3.3 優(yōu)化數(shù)學模型

3.3.1整體層優(yōu)化

將多目標優(yōu)化問題分解成3個簡單的子優(yōu)化問題，第1層為整體層優(yōu)化，采用包容式節(jié)點桁架的應

力強度作為目標函數(shù)，并考慮頻率約束條件、剛度約束條件和疲勞壽命約束條件.優(yōu)化數(shù)學模型如下：

s.t.

xg,l≤xg≤xg,u;λl≤λ(xg,xse,k)≤λu

WG,op

(6)

式中：下標l、u分別為相應設計變量的上界和下界；xse,k為當前截面層尺寸變量；WG,op為當前整體層優(yōu)化桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；WG,k-1為上一次整體層優(yōu)化桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；WG,op

3.3.2截面層優(yōu)化

采用包容式節(jié)點桁架的質(zhì)量作為目標函數(shù)，并考慮頻率約束條件、剛度約束條件、疲勞壽命約束條件和當前整體尺寸對截面尺寸的耦合約束.優(yōu)化數(shù)學模型如下：

s.t.

xse,l≤xse≤xse,u;λl≤λ(xse,xg,k)≤λu

WG,op

(7)

式中：下標l、u分別為相應設計變量的上界和下界；xg,k為當前整體層尺寸變量；WG,op為當前截面層優(yōu)化桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；WG,g為整體層優(yōu)化后桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；WG,op

3.3.3曲面形狀優(yōu)化

前兩層優(yōu)化迭代一定次數(shù)收斂后，將優(yōu)化得到的整體層設計變量和截面層優(yōu)化變量作為常數(shù)傳遞給曲面形狀優(yōu)化.包容式節(jié)點形狀的改變對桁架整體質(zhì)量影響可忽略不計，但對包容式節(jié)點局部應力強度影響較大.選取包容式節(jié)點應力強度和曲面光滑度作為目標函數(shù).優(yōu)化數(shù)學模型如下：

δ(xsh1,xsh2)]T

s.t.

xsh1,l≤xsh1≤xsh1,u;xsh2,l≤xsh2≤xsh2,u

(8)

式中：下標l、u分別為相應設計變量的上界和下界；xg,op為整體層優(yōu)化后的整體層設計變量；xse,op為截面層優(yōu)化后的截面層設計變量.

3.4 優(yōu)化算法

實際優(yōu)化時，由于整體層和截面層的優(yōu)化變量數(shù)目少，相互之間耦合約束比較多，故將整體尺寸和截面尺寸放在同一個子空間進行優(yōu)化.采用NSGA-Ⅱ求解優(yōu)化問題，設置初始種群個數(shù)Np=20，遺傳代數(shù)gen=150，雜交概率ηc=0.9；變異概率ηm=0.1，雜交分布指數(shù)η1=20， 變異分布指數(shù)η2=20.

采用二進制雜交，算法如下：

其中，ci,k為子代的第k個元素；p1,k,p2,k為隨機選擇用來雜交的兩個父代；βk為一個隨機數(shù)，計算如下：

其中，u是0到1的隨機數(shù).

變異過程采用多項式變異，算法如下：

ck=pk+(pk,u-pk,l)δk

其中，ck是父代pk變異后產(chǎn)生的子代；pk,u、pk,l分別是父代pk第k個元素的上、下限；δk是一個隨機數(shù)，計算如下：

其中，rk是0到1的隨機數(shù).

3.5 優(yōu)化結(jié)果分析

優(yōu)化總用時12 635 s，優(yōu)化結(jié)果見表2，整體層和截面層優(yōu)化帕累托邊界見圖12，優(yōu)化后的桁架總質(zhì)量相比優(yōu)化前減少15.6%，小車跨中位置時的最大應力強度相比優(yōu)化前減少7.4%，優(yōu)化后的桁架減重效果較好，有一定的工程意義.如圖13所示，曲面光滑度最后收斂于δ=0.18，優(yōu)化后的包容式節(jié)點曲面形狀如圖14所示.

圖12 整體層和截面層優(yōu)化的帕累托邊界 Fig.12 Pareto border of whole layer and section layer

圖13 曲面形狀層光滑度優(yōu)化 Fig.13 Surface smoothness optimization

圖14 優(yōu)化后包容式節(jié)點自由曲面模型Fig.14 Optimization result of bulge formed joint free surface model

表2 三級分層協(xié)同優(yōu)化策略優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Result of three level hierarchical cooperative optimization

4 結(jié)論

包容式節(jié)點桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化，設計變量多，設計變量間的數(shù)量級相差很大且存在耦合約束.本文采用基于子空間和耦合約束的分層協(xié)同優(yōu)化策略對包容式節(jié)點桁架主梁進行優(yōu)化，將設計變量分在3個優(yōu)化子空間內(nèi)，層與層之間提供耦合約束和數(shù)據(jù)傳遞，最終得到可行方案.基于子空間和耦合約束的分層協(xié)同優(yōu)化策略能夠?qū)⒃O計變量進行劃分，將復雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相對容易求解的子優(yōu)化問題，能夠有效處理包含不同性態(tài)變量的優(yōu)化問題，求解效率高，解集收斂性好.