郭香香,郭聰沖
(1. 暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,廣東 廣州 510632; 2. 龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,福建 龍巖 364012)
考慮三維不可壓Boussinesq方程組:
(1)
其中u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示速度場(chǎng),P=P(x,t)是壓強(qiáng),θ=θ(x,t)是溫度,ν>0是動(dòng)粘度,κ>0是熱擴(kuò)散系數(shù),e3=(0,0,1)T,本文令ν=κ=1。
注意到當(dāng)θ≡0時(shí),方程組(1)退化為不可壓Navier-Stokes(簡(jiǎn)記為N-S)方程組。三維不可壓N-S方程組光滑解的整體存在性或光滑解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的問(wèn)題是千禧年七大問(wèn)題之一。這個(gè)問(wèn)題的主要困難是理解三維不可壓流體渦旋拉伸的影響(二維不可壓N-S方程組渦旋守恒)。 為了更好的理解三維不可壓流體的渦旋拉伸作用,學(xué)者們提出了各種簡(jiǎn)化模型,其中Boussinesq方程組是常用的模型之一,它不僅與三維不可壓流體有著相似的渦旋拉伸效果,而且在大氣科學(xué)和地球物理應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用。所以該方程組被來(lái)自不同領(lǐng)域的學(xué)者們廣泛研究,并且對(duì)它的研究是有物理背景和意義的。
N-S方程組有一系列的研究,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4]等。在討論Boussinesq方程組之前,我們先回憶一下三維N-S方程組取得的進(jìn)展。Prodi等給出了當(dāng)0≤t≤T時(shí),若Leray-Hopf弱解u∈Lq(0,T;Lp(R3))滿足
下面具體討論Boussinesq方程組。對(duì)于二維Boussinesq方程組,ν,κ>0時(shí)的全局時(shí)間正則解已證。ν=0,κ>0或ν>0,κ=0的部分粘性整體正則性由許多學(xué)者們做了一系列的工作[9-11],Xu[12]證明了具有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散項(xiàng)的二維Boussinesq方程組解的存在性,唯一性和正則性。然而,對(duì)于三維Boussinesq方程組,ν,κ=0時(shí)奇點(diǎn)的正則性是流體力學(xué)中的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題[13-15],因此考慮三維Boussinesq方程組解的正則性是一個(gè)比較有意義的問(wèn)題。期間Fan等[16]和Ishimura等[17]分別提出了以下爆破準(zhǔn)則:
(2)
▽u∈L1(0,T;L∞(R3))
(3)
之后,Qiu等[18]證明了三維不可壓Boussinesq方程組的Serrin準(zhǔn)則。更多關(guān)于Boussinesq方程組相關(guān)的成果請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[19-20]等。
在闡述本文的主要結(jié)果之前,我們給出以下記號(hào):
▽=(?1,?2,?3),▽h=(?1,?2)
和
uh=(u1,u2),ω=?1u2-?2u1
本文的主要定理如下:
定理1 設(shè)
(u,θ)是方程組(1)在[0,T*)上的局部解,滿足
且
其中p∈(2,∞),i=1,2,3
則(u,θ)可連續(xù)延拓到端點(diǎn)T*。
在本文證明的過(guò)程中,我們將對(duì)速度場(chǎng)分別作水平方向和垂直方向的分解。為此,先給出一些預(yù)備知識(shí)。
定理2 記
和ω=?1u2-?2u1,則
(4)
(5)
定理3 (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式)設(shè)j,m是任意正整數(shù),滿足0≤j 使得 (6) (7) 接著回顧齊次Littlewood-Paley分解的相關(guān)理論。 P>j=I-P≤j,其中I是單位算子; 為方便使用,簡(jiǎn)記: 又由φ支集的性質(zhì),當(dāng)|j-j′|>1,有PjPj′=0。 進(jìn)一步,我們給出仿積分解引理[8]。 引理1 對(duì)任意的f,g,h∈ζ(Rn),可得 fjg[j-3,j+3]h 發(fā)情、配種、產(chǎn)犢時(shí)間:荷斯坦牛第一次發(fā)情時(shí)間應(yīng)小于11月齡,實(shí)際上9~10月齡發(fā)情在牛場(chǎng)已經(jīng)很普遍。第一次配種時(shí)間推薦12.5~14月齡,隨著遺傳進(jìn)展,荷斯坦牛13月齡體尺或體高即可達(dá)到配種要求;第一次產(chǎn)犢時(shí)間建議22~24月齡,平均23月齡,如果牛場(chǎng)做得足夠好,22月齡是可以實(shí)現(xiàn)的,24月齡已經(jīng)有點(diǎn)遲。 f 為證明主要定理,我們還需給出(u,θ)的H1估計(jì)。 (8) 證明由標(biāo)準(zhǔn)的能量不等式,有 先估計(jì)I1項(xiàng)。因?yàn)?/p> 對(duì)K1,K2項(xiàng),使用H?lder不等式和插值不等式。當(dāng)2 (9) |K1|+|K2|≤ (10) (11) 然后,I2項(xiàng)的界可簡(jiǎn)單估計(jì)為 |I2|≤C‖▽u‖L2‖▽?duì)取琇2≤ (12) 最后,估計(jì)I3項(xiàng)。由于 其中I31項(xiàng)可類(lèi)似K1,K2項(xiàng)處理。下面計(jì)算I32項(xiàng)。由最值原理和方程組(1)的第二個(gè)方程以及第三個(gè)方程,可得:‖θ‖L∞(0,T;L∞)≤C。對(duì)I32項(xiàng)分部積分,有 |I32|≤C‖θ‖L∞· (‖▽u‖L2‖Δθ‖L2+‖Δu‖L2‖▽?duì)取琇2) (13) 綜上得Ii(i=1,2,3)的界,并利用Gronwall不等式,定理得證。 為更好的證明本文的主要定理,在此之前,我們先證明兩個(gè)非常重要的定理。 定理5 設(shè)ω=?1u2-?2u1,1 2 (14) 或 對(duì)方程(5)作標(biāo)準(zhǔn)的Lr估計(jì),有 (15) 先估計(jì)D1項(xiàng)。由H?lder不等式和插值不等式,當(dāng)2 (16) 然后估計(jì)D2項(xiàng)。注意到式(4),我們有 對(duì)于D21項(xiàng),當(dāng)2 (17) 和當(dāng)4≤p<∞時(shí),有 (18) 接著,估計(jì)D22項(xiàng)。 當(dāng)2 (19) 和當(dāng)4≤p<∞時(shí),有 (20) 由式(17) -(20),可得D2項(xiàng)的界。 由定理4和定理5啟發(fā)可得,我們?nèi)匀恍枰烙?jì)‖|▽h|-δ▽u3‖L2和‖|▽h|-δ▽?duì)取琇2的界。 (21) 證明對(duì)方程組(1)的第一個(gè)方程的垂直方向和第二個(gè)方程分別乘以|▽h|-2δ?ku3和|▽h|-2δ?kθ,并作標(biāo)準(zhǔn)的L2估計(jì),可得 通過(guò)觀察,可知E1,E3項(xiàng)和E2,E6項(xiàng)以及E4,E5項(xiàng)的結(jié)構(gòu)類(lèi)似。為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便,我們主要估計(jì)E2,E3和E4項(xiàng)。 首先,估計(jì)E2項(xiàng)。將速度場(chǎng)u分別沿水平方向和垂直方向分解,可得 ▽h|-2δ?ku3dx 和 ▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx (22) 對(duì)于 ▽h|-1ω·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx ▽h|-1ω·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx= (23) (24) (25) (26) 當(dāng)2 (27) 和項(xiàng)(25)的估計(jì) (28) 剩下的項(xiàng)(24),項(xiàng)(26)的界可類(lèi)似式(27), 式(28)處理。 對(duì) ▽h|-1?3u3·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx 作水平方向的Littlewood-Paley分解,同上可得 ▽h|-1?3u3·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx≤ (29) 由式(22)-(29),可得E2項(xiàng)的界。 ▽h|-1?3u3·▽h)θ· (30) C‖▽?duì)亍琇r‖θ‖L∞‖|▽h|-δ?kθ‖L2 (31) 接下來(lái),估計(jì)E3項(xiàng)。 由于?3?kΔ-1θ=R3(θ),其中R3是三維Riesz算子,對(duì)E3分部積分,有 |E3|≤C‖|▽h|-δ?kθ‖L2‖|▽h|-δ?ku3‖L2≤ (32) 類(lèi)似地,E1項(xiàng)可同E3項(xiàng)一樣估計(jì),此處略。 (33) ▽h|▽h|-2δ?ku3dx=- 當(dāng)2 (34) 和 (35) 由式(33)-(35),可得E4項(xiàng)的界。 (36) 綜上將E1項(xiàng)至E6項(xiàng)的界加起來(lái),使用Young不等式,該定理得證。 證明將定理5的不等式(14)和定理6的不等式(21)相加,利用Gronwall不等式,可得 主要定理得證。2 主要結(jié)果
2.1 水平方向項(xiàng)的估計(jì)
2.2 垂直方向項(xiàng)的估計(jì)
2.3 定理1的證明