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    三維不可壓Boussinesq方程組的正則性準(zhǔn)則*

    2019-03-29 11:27:02郭香香郭聰沖
    關(guān)鍵詞:渦旋正則方程組

    郭香香,郭聰沖

    (1. 暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,廣東 廣州 510632; 2. 龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,福建 龍巖 364012)

    考慮三維不可壓Boussinesq方程組:

    (1)

    其中u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示速度場(chǎng),P=P(x,t)是壓強(qiáng),θ=θ(x,t)是溫度,ν>0是動(dòng)粘度,κ>0是熱擴(kuò)散系數(shù),e3=(0,0,1)T,本文令ν=κ=1。

    注意到當(dāng)θ≡0時(shí),方程組(1)退化為不可壓Navier-Stokes(簡(jiǎn)記為N-S)方程組。三維不可壓N-S方程組光滑解的整體存在性或光滑解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的問(wèn)題是千禧年七大問(wèn)題之一。這個(gè)問(wèn)題的主要困難是理解三維不可壓流體渦旋拉伸的影響(二維不可壓N-S方程組渦旋守恒)。 為了更好的理解三維不可壓流體的渦旋拉伸作用,學(xué)者們提出了各種簡(jiǎn)化模型,其中Boussinesq方程組是常用的模型之一,它不僅與三維不可壓流體有著相似的渦旋拉伸效果,而且在大氣科學(xué)和地球物理應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用。所以該方程組被來(lái)自不同領(lǐng)域的學(xué)者們廣泛研究,并且對(duì)它的研究是有物理背景和意義的。

    N-S方程組有一系列的研究,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4]等。在討論Boussinesq方程組之前,我們先回憶一下三維N-S方程組取得的進(jìn)展。Prodi等給出了當(dāng)0≤t≤T時(shí),若Leray-Hopf弱解u∈Lq(0,T;Lp(R3))滿足

    下面具體討論Boussinesq方程組。對(duì)于二維Boussinesq方程組,ν,κ>0時(shí)的全局時(shí)間正則解已證。ν=0,κ>0或ν>0,κ=0的部分粘性整體正則性由許多學(xué)者們做了一系列的工作[9-11],Xu[12]證明了具有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散項(xiàng)的二維Boussinesq方程組解的存在性,唯一性和正則性。然而,對(duì)于三維Boussinesq方程組,ν,κ=0時(shí)奇點(diǎn)的正則性是流體力學(xué)中的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題[13-15],因此考慮三維Boussinesq方程組解的正則性是一個(gè)比較有意義的問(wèn)題。期間Fan等[16]和Ishimura等[17]分別提出了以下爆破準(zhǔn)則:

    (2)

    ▽u∈L1(0,T;L∞(R3))

    (3)

    之后,Qiu等[18]證明了三維不可壓Boussinesq方程組的Serrin準(zhǔn)則。更多關(guān)于Boussinesq方程組相關(guān)的成果請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[19-20]等。

    在闡述本文的主要結(jié)果之前,我們給出以下記號(hào):

    ▽=(?1,?2,?3),▽h=(?1,?2)

    uh=(u1,u2),ω=?1u2-?2u1

    本文的主要定理如下:

    定理1 設(shè)

    (u,θ)是方程組(1)在[0,T*)上的局部解,滿足

    其中p∈(2,∞),i=1,2,3

    則(u,θ)可連續(xù)延拓到端點(diǎn)T*。

    1 預(yù)備知識(shí)

    在本文證明的過(guò)程中,我們將對(duì)速度場(chǎng)分別作水平方向和垂直方向的分解。為此,先給出一些預(yù)備知識(shí)。

    定理2 記

    和ω=?1u2-?2u1,則

    (4)

    (5)

    定理3 (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式)設(shè)j,m是任意正整數(shù),滿足0≤j

    使得

    (6)

    (7)

    接著回顧齊次Littlewood-Paley分解的相關(guān)理論。

    P>j=I-P≤j,其中I是單位算子;

    為方便使用,簡(jiǎn)記:

    又由φ支集的性質(zhì),當(dāng)|j-j′|>1,有PjPj′=0。

    進(jìn)一步,我們給出仿積分解引理[8]。

    引理1 對(duì)任意的f,g,h∈ζ(Rn),可得

    fjg[j-3,j+3]h

    發(fā)情、配種、產(chǎn)犢時(shí)間:荷斯坦牛第一次發(fā)情時(shí)間應(yīng)小于11月齡,實(shí)際上9~10月齡發(fā)情在牛場(chǎng)已經(jīng)很普遍。第一次配種時(shí)間推薦12.5~14月齡,隨著遺傳進(jìn)展,荷斯坦牛13月齡體尺或體高即可達(dá)到配種要求;第一次產(chǎn)犢時(shí)間建議22~24月齡,平均23月齡,如果牛場(chǎng)做得足夠好,22月齡是可以實(shí)現(xiàn)的,24月齡已經(jīng)有點(diǎn)遲。

    f

    為證明主要定理,我們還需給出(u,θ)的H1估計(jì)。

    (8)

    證明由標(biāo)準(zhǔn)的能量不等式,有

    先估計(jì)I1項(xiàng)。因?yàn)?/p>

    對(duì)K1,K2項(xiàng),使用H?lder不等式和插值不等式。當(dāng)2

    (9)

    |K1|+|K2|≤

    (10)

    (11)

    然后,I2項(xiàng)的界可簡(jiǎn)單估計(jì)為

    |I2|≤C‖▽u‖L2‖▽?duì)取琇2≤

    (12)

    最后,估計(jì)I3項(xiàng)。由于

    其中I31項(xiàng)可類(lèi)似K1,K2項(xiàng)處理。下面計(jì)算I32項(xiàng)。由最值原理和方程組(1)的第二個(gè)方程以及第三個(gè)方程,可得:‖θ‖L∞(0,T;L∞)≤C。對(duì)I32項(xiàng)分部積分,有

    |I32|≤C‖θ‖L∞·

    (‖▽u‖L2‖Δθ‖L2+‖Δu‖L2‖▽?duì)取琇2)

    (13)

    綜上得Ii(i=1,2,3)的界,并利用Gronwall不等式,定理得證。

    2 主要結(jié)果

    為更好的證明本文的主要定理,在此之前,我們先證明兩個(gè)非常重要的定理。

    2.1 水平方向項(xiàng)的估計(jì)

    定理5 設(shè)ω=?1u2-?2u1,1

    2

    (14)

    對(duì)方程(5)作標(biāo)準(zhǔn)的Lr估計(jì),有

    (15)

    先估計(jì)D1項(xiàng)。由H?lder不等式和插值不等式,當(dāng)2

    (16)

    然后估計(jì)D2項(xiàng)。注意到式(4),我們有

    對(duì)于D21項(xiàng),當(dāng)2

    (17)

    和當(dāng)4≤p<∞時(shí),有

    (18)

    接著,估計(jì)D22項(xiàng)。 當(dāng)2

    (19)

    和當(dāng)4≤p<∞時(shí),有

    (20)

    由式(17) -(20),可得D2項(xiàng)的界。

    2.2 垂直方向項(xiàng)的估計(jì)

    由定理4和定理5啟發(fā)可得,我們?nèi)匀恍枰烙?jì)‖|▽h|-δ▽u3‖L2和‖|▽h|-δ▽?duì)取琇2的界。

    (21)

    證明對(duì)方程組(1)的第一個(gè)方程的垂直方向和第二個(gè)方程分別乘以|▽h|-2δ?ku3和|▽h|-2δ?kθ,并作標(biāo)準(zhǔn)的L2估計(jì),可得

    通過(guò)觀察,可知E1,E3項(xiàng)和E2,E6項(xiàng)以及E4,E5項(xiàng)的結(jié)構(gòu)類(lèi)似。為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便,我們主要估計(jì)E2,E3和E4項(xiàng)。

    首先,估計(jì)E2項(xiàng)。將速度場(chǎng)u分別沿水平方向和垂直方向分解,可得

    ▽h|-2δ?ku3dx

    ▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx

    (22)

    對(duì)于

    ▽h|-1ω·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx

    ▽h|-1ω·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx=

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    當(dāng)2

    (27)

    和項(xiàng)(25)的估計(jì)

    (28)

    剩下的項(xiàng)(24),項(xiàng)(26)的界可類(lèi)似式(27), 式(28)處理。

    對(duì)

    ▽h|-1?3u3·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx

    作水平方向的Littlewood-Paley分解,同上可得

    ▽h|-1?3u3·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx≤

    (29)

    由式(22)-(29),可得E2項(xiàng)的界。

    ▽h|-1?3u3·▽h)θ·

    (30)

    C‖▽?duì)亍琇r‖θ‖L∞‖|▽h|-δ?kθ‖L2

    (31)

    接下來(lái),估計(jì)E3項(xiàng)。 由于?3?kΔ-1θ=R3(θ),其中R3是三維Riesz算子,對(duì)E3分部積分,有

    |E3|≤C‖|▽h|-δ?kθ‖L2‖|▽h|-δ?ku3‖L2≤

    (32)

    類(lèi)似地,E1項(xiàng)可同E3項(xiàng)一樣估計(jì),此處略。

    (33)

    ▽h|▽h|-2δ?ku3dx=-

    當(dāng)2

    (34)

    (35)

    由式(33)-(35),可得E4項(xiàng)的界。

    (36)

    綜上將E1項(xiàng)至E6項(xiàng)的界加起來(lái),使用Young不等式,該定理得證。

    2.3 定理1的證明

    證明將定理5的不等式(14)和定理6的不等式(21)相加,利用Gronwall不等式,可得

    主要定理得證。

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