數(shù)學(xué)思想在中考數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

摘要：作為數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想是一切數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓所在，是學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解題能力的重要媒介，尤其是近年來的中考數(shù)學(xué)題高度重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想掌握情況，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想教學(xué)指導(dǎo)與應(yīng)用具有重要意義。本文先對(duì)數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行了分析，然后結(jié)合例題，重點(diǎn)對(duì)常見的數(shù)學(xué)思想及其在中考數(shù)學(xué)試題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了探討，希望能有效提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想? ?中考? ?數(shù)學(xué)? ?解題能力

在新課改實(shí)施日益深入的背景下，新課標(biāo)對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了越來越高要求，其中最為顯著的一個(gè)變化就是要促使學(xué)生從知識(shí)被動(dòng)接受向能力提升方向轉(zhuǎn)變，同時(shí)中考數(shù)學(xué)試卷中重點(diǎn)考察學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的試題也越來越多。數(shù)學(xué)思想則是一切數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓所在，也是提升學(xué)生解題能力的重要保障，所以數(shù)學(xué)教師需要高度重視數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中的滲透，深化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思想的理解和認(rèn)識(shí)，不斷提升其解題能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想及其應(yīng)用

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾在探討數(shù)與形關(guān)系的時(shí)候說：“數(shù)缺形時(shí)少直說，形少數(shù)時(shí)難入微?！敝挥袛?shù)與形相互結(jié)合，才能夠“萬事休”，這充分凸顯了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。通過數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，可以將某些繁雜、抽象的數(shù)量關(guān)系，以形象、直觀的幾何圖形來進(jìn)行直接展現(xiàn)，也可以將某些圖像的性質(zhì)等，以數(shù)量關(guān)系加以體現(xiàn)，從而可以起到化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，提高解題能力的有效性。因此，在實(shí)際的中考數(shù)學(xué)題求解中，對(duì)于幾何問題的求解，可以嘗試運(yùn)用代數(shù)方法，或者對(duì)于代數(shù)問題的求解，可以嘗試運(yùn)用幾何方法。

例1：已知某函數(shù)圖象如圖1所示，試求當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍___。

解析：由圖1可知，在y>0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)圖象應(yīng)該處于x軸的上方，這樣就可以直觀地確定出本道題的正確答案為，x<-1或1<x<2。

例2：已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），假如P位于坐標(biāo)軸上，且△APO為等腰三角形，那么可知點(diǎn)P的坐標(biāo)，肯定不是（? ? ?）。

A.（2，0）? ? ?B.（4，0）? ? ?C.（0，2）? ? ?D.（3，0）

解析：通過對(duì)該題干信息進(jìn)行閱讀，涉及到比較多的抽象參數(shù)，學(xué)生理解起來可能難度比較大，這時(shí)候如果可以靈活地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將題干文本信息轉(zhuǎn)化成圖2所示的圖形，那么可以直觀地觀察到選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)C均符合題干要求，但是選項(xiàng)D不符合相應(yīng)要求，所以該道題的正確答案為D。

例3：如圖3，將一個(gè)裝有部分水的圓柱形小玻璃杯擱置于一個(gè)空的大圓柱形玻璃杯中，現(xiàn)在通過某注水管沿著大玻璃杯的內(nèi)壁向其中進(jìn)行勻速注水，那么可以求出該小玻璃杯內(nèi)水面高度h（cm）和注水時(shí)間t（min）之間所構(gòu)成的函數(shù)圖像近似于如下哪一種（? ? ? ?）。

解析：通過對(duì)題干信息進(jìn)行詳細(xì)審讀，可知最初的小玻璃杯中在沒有注水前就已經(jīng)有一定量的水，所以其最初的高度必然大于0，所以可知本道題目中的選項(xiàng)A和選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的。在用注水管進(jìn)行持續(xù)注水的過程中，水會(huì)在最初一段時(shí)間內(nèi)先填充大玻璃杯底部，不會(huì)流入到小燒杯中，所以這段時(shí)間內(nèi)小燒杯中水的高度不會(huì)發(fā)生變化，待小玻璃杯和大玻璃杯中水面保持一致后，水就可以流向小玻璃杯，這時(shí)候其高度會(huì)逐漸增加，待浸沒小燒杯后，其水面高度h不會(huì)繼續(xù)發(fā)生變化，由此可以清楚地得出該道題的正確答案為B。

例4，如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，CD是△ABC斜邊上的高，現(xiàn)有一點(diǎn)E位置于AB上，過E點(diǎn)作一條直線，其同△ABC直角邊相較于F點(diǎn)，其中AE=x，△AEF的面積y。假定AB⊥EF，試求在AB上移動(dòng)的時(shí)候，函數(shù)y和x的函數(shù)關(guān)系？在x取值為何時(shí)，y值取得最大值？

解析：該道題是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的一個(gè)典型題，借助幾何圖形方面的知識(shí)來求解代數(shù)函數(shù)問題，那么可以快速達(dá)到求解的目的。首先，要根據(jù)題干信息以及三角形面積求解公式，求得函數(shù)y和x之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系式為y=1/2*x*EF，然后在求解EF的長(zhǎng)度，結(jié)合AE（x）和AD之間的長(zhǎng)短關(guān)系，當(dāng)0<x<AD時(shí)，△ADC和△BEF二者呈現(xiàn)為相似的關(guān)系;當(dāng)AD≤x≤AB時(shí)，結(jié)合EF長(zhǎng)度可以求出△BEF的面積。在這兩種情況下，可以分別求出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)何時(shí)取得最大值以及最大值是多少，之后通過對(duì)比分析這兩個(gè)最大值即可找出該道題的正確答案。在該道題目求解過程中，借助幾何圖形中三角形、線段和相似等相關(guān)知識(shí)，對(duì)面積和線段之間函數(shù)關(guān)系進(jìn)行仔細(xì)思考，那么可以將二次函數(shù)方面的代數(shù)知識(shí)形象化、具體化，這樣可以顯著打破學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題的常規(guī)思維束縛，有效結(jié)合幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)來提升學(xué)生求解能力。

二、方程思想及其應(yīng)用

方程式初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)。如果初中生可以熟練地掌握和應(yīng)用方程思想，那么對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力具有重要意義。方程思想本質(zhì)上就是基于問題數(shù)量關(guān)系入手，通過科學(xué)、合理地設(shè)定未知數(shù)，有效地結(jié)合未知量和已知量之間的數(shù)量關(guān)系來構(gòu)成求解問題的方程組，這樣就可以有效地運(yùn)用方程思想來解決數(shù)學(xué)問題。在實(shí)際的中考數(shù)學(xué)題中，對(duì)于方程思想的考查，主要側(cè)重于如下兩個(gè)方面，除了通過列方程組來求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題外，還可以借助方程來對(duì)幾何問題或代數(shù)問題進(jìn)行求解。

例8：如圖7，該反比例函數(shù)圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），試求：（1）該反比例函數(shù)的解析式？（2）直線BC的解析式？

解析：該道題給出了函數(shù)圖象，并給出了其中幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，所以需要結(jié)合這些關(guān)鍵點(diǎn)滿足待求函數(shù)關(guān)系式，將B點(diǎn)代入到反比例函數(shù)中來得出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。而對(duì)于直線函數(shù)關(guān)系式的求解，則可以通過將點(diǎn)B和點(diǎn)C兩點(diǎn)代入到一次函數(shù)解析式中，借助方程組求解來求得函數(shù)解析式，借此來達(dá)到求解該道題的目的。

解：（1）假定待求反比例函數(shù)解析式為：y=k/x（k≠0），因?yàn)辄c(diǎn)A位于反比例函數(shù)圖象上，所以可知3=k/1，求得k=3，所以待求反比例函數(shù)解析式為y=3/x。

（2）假定待求直線BC的解析式為：y=ax+b（a≠0），因?yàn)辄c(diǎn)B位于反比例函數(shù)圖象上，可以通過將B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入解析式求得其橫坐標(biāo)為3，之后再將B點(diǎn)坐標(biāo)帶入到直線BC解析式中，可得1=3a+b，0=2a+b，聯(lián)立可得a=1，b=-2，所以待求直線BC的解析式為y=x-2。

三、整體思想及其應(yīng)用

在對(duì)某些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解期間，往往不是以某個(gè)部分作為著眼點(diǎn)來進(jìn)行求解，而使放大考查問題的視角，將待求解的問題看做成一個(gè)整體。通過對(duì)研究問題的整體結(jié)構(gòu)、形式或作整體處理后，可以快速、便捷地找到解題突破口，最終達(dá)到求解相應(yīng)問題，這就是所謂的整體思想。

例9：如圖8，在天平上面擱置有正方體、圓柱和球體，可以保持天平保持平衡狀態(tài)，那么由此可知同2個(gè)球體質(zhì)量等同于幾個(gè)正方體的總質(zhì)量？

解析：如果通過直接觀察，那么學(xué)生很難求得該道題的正確答案，但是如果可以先假定正方體、圓柱和球體的質(zhì)量，那么就可以更好地明確它們之間的質(zhì)量關(guān)系。比如，可以假定球體、圓柱和正方體三者的質(zhì)量分別為x、y和z，那么根據(jù)圖8所示的天平，可以列出①2x=5y和②2z=2y這兩個(gè)求解方程，之后通過①*2-②*5得到4x-10z=0，即2x=5z，所以可知2個(gè)球體質(zhì)量等同于5個(gè)正方體的個(gè)數(shù)。

除了上述常用數(shù)學(xué)思想外，函數(shù)思想、建模思想、轉(zhuǎn)化思想等也是中考數(shù)學(xué)題求解中常用的數(shù)學(xué)思想。比如，函數(shù)思想主要是用變化和聯(lián)系的觀點(diǎn)來對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行揭示或看待，具體就是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)以及圖像等相關(guān)知識(shí)去構(gòu)建解決問題的專門函數(shù)模型。比如，可以運(yùn)用函數(shù)的最大值、最小值、周期性、奇偶性以及單調(diào)性等性質(zhì)來解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓所在，其掌握情況直接關(guān)乎初中生解題能力的高低。在實(shí)際的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需要高度重視數(shù)學(xué)思想滲透，同時(shí)平時(shí)的解題教學(xué)中要注意結(jié)合具體中考數(shù)學(xué)題目，為學(xué)生講解方程思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用，確保學(xué)生可以靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想來解決數(shù)學(xué)問題。

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（作者簡(jiǎn)介：姜丹，本科，單位：黑龍江省鶴崗市私立新北方學(xué)校初中部，數(shù)學(xué)教師，班主任，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。）