活躍在全國(guó)各地模擬卷中的創(chuàng)新型函數(shù)

☉湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué) 王 勇

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是歷年高考“經(jīng)久不衰”的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.高考命題者為了命制好函數(shù)題而絞盡腦汁、挖苦心思，所命制的函數(shù)題超凡脫俗、新穎別致，頗具思考性和挑戰(zhàn)性.一些構(gòu)思精巧、魅力四射的創(chuàng)新型函數(shù)頻頻“閃亮登場(chǎng)”，這些創(chuàng)新型函數(shù)是考查學(xué)生的遷移能力、探究能力及核心素養(yǎng)的極好素材，具有很好的區(qū)分與選拔功能.下面從全國(guó)各地模擬卷中精選幾類創(chuàng)新型函數(shù)并結(jié)合典型例題加以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、n階整點(diǎn)函數(shù)

例1 （2018年深圳市模擬題）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)n（n∈N*）個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)f（x）為n階整點(diǎn)函數(shù).給出下列函數(shù)：

其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是（ ）.

A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④

解析：對(duì)于函數(shù)f（x）=sin2x，它的圖像（圖略）只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)（0，0），所以它是一階整點(diǎn)函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)g（x）=x3，它的圖像（圖略）經(jīng)過(guò)整點(diǎn)（0，0），（1，1），…，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)φ（x）=lnx，它的圖像（圖略）只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)（1，0），所以它是一階整點(diǎn)函數(shù).

綜上，本題應(yīng)選答案C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)新定義的一階整點(diǎn)函數(shù)的含義，對(duì)四個(gè)函數(shù)一一進(jìn)行分析，判斷它們的圖像是否恰好經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)，即可得出正確的選項(xiàng).

二、同形函數(shù)

例2（2018年衡陽(yáng)市模擬題）若兩個(gè)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形函數(shù)”.給出四個(gè)函數(shù)：f1（x）=2log2x，f2（x）=log2（x+2），f3（x）=（log2x）2，f4（x）=log2（2x），則“同形函數(shù)”是（）.

解析：f4（x）=log2（2x）=1+log2x，將函數(shù)f4（x）的圖像沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y1=log2x的圖像，再將此函數(shù)的圖像沿x軸向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y2=log2（x+2）的圖像，即函數(shù)f4（x）的圖像經(jīng)過(guò)平移后可得到函數(shù)f2（x）的圖像，故f4（x）與f2（x）是“同形函數(shù)”，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題給出“同形函數(shù)”的定義，重點(diǎn)考查函數(shù)的圖像變換（平移變換）.

三、平均值函數(shù)

例3（2018年襄陽(yáng)市模擬題）定義：如果函數(shù)y=（fx）在定義域內(nèi)給定區(qū)間［a，b］上存在x（0a

解析：因?yàn)楹瘮?shù)（fx）=-x2+mx+1是區(qū)間［-1，1］上的平均值函數(shù)，所以在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即關(guān)于x的方程x2-mx+m-1=0在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得x1=1，x2=m-1，由題意必有-1

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)“平均值函數(shù)”的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x2-mx+m-1=0在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，而此方程的兩實(shí)根容易求得，在此基礎(chǔ)上列出關(guān)于m的不等式即可求解.

四、取整函數(shù)（高斯函數(shù)）

例4（2018年宜昌市調(diào)考題）函數(shù)f（x）=［x］-x（［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如［-3.6］=-4，［2.1］=2），設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+log6x，則函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______.

解析：令g（x）=f（x）+log6x=0，得log6x=-f（x），設(shè)h（x）=-f（x）=x-［x］（x>0）表示的是正實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，則h（x）∈［0，1）.分別作出函數(shù)y=h（x），y=log6x的圖像，如圖1所示.

圖1

由圖1可知函數(shù)y=h（x）與函數(shù)y=log6x的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)有4個(gè).

點(diǎn)評(píng)：本題不僅考查了函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖像及函數(shù)的性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合思想.解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解［x］的含義（可以這樣理解：設(shè)n∈Z，若n≤x

五、囧函數(shù)

①y=（fx）的值域?yàn)镽；

②y=（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

③y=（fx）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

④y=（fx）的圖像與直線y=ax（a≠0）至少有一個(gè)交點(diǎn).

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是______.

綜上所述，本題應(yīng)填③④.

點(diǎn)評(píng)：畫出“囧函數(shù)”的圖像，充分利用“囧函數(shù)”的圖像特征來(lái)確定函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

圖2

六、密切函數(shù)

例6（2018年重慶市模擬題）設(shè)函數(shù)（fx）與g（x）是定義在同一區(qū)間［a，b］上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈［a，b］，都有|（fx）-g（x）|≤1，則稱（fx）與g（x）在［a，b］上是“密切函數(shù)”，區(qū)間［a，b］稱為“密切區(qū)間”.設(shè)函數(shù)（fx）=lnx］上是“密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.