挖掘題目內涵 提高復習效率

☉江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級中學 姜 慧

“教師講的多、學生聽的多”，在高中數(shù)學課堂教學中已經(jīng)成為一種極為普遍的現(xiàn)象，因此形成了“教師展示多、學生看的多”的局面，在普遍的教師自問自答的模式下很多學生養(yǎng)成了隨聲附和的習慣，因為教師的直接給出導致學生在教學重、難點的把握上也變得似懂非懂，學生看上去聽懂了，但自主練習時往往很少能正確解題，因此“教師教得苦、學生學得苦”的局面的形成也就不足為怪了.

怎樣令數(shù)學課堂成為教師與學生都能開懷的樂園一直是筆者的追求，本文結合一道習題教學來淺談筆者在解題教學中的一點思路.

這是在高三一輪復習中遇到的一個題目，筆者在實際教學中首先將題目進行了展示.

題目 設集合A={x|x2+2x-3＞0}，集合B={x|x2-2ax-1≤0，a＞0}.若A∩B中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為______.

筆者給予了學生充分的思考時間并進行了巡視，發(fā)現(xiàn)很多學生在思考與探索中得到了以下解題過程：

但學生對后續(xù)解題應如何進行不知所措，筆者對這一情況進行了及時的通報并啟發(fā)學生對后續(xù)解題進行思考與探索.

生1：題目要求的是a的取值范圍，這必然要根據(jù)“A∩B中恰有一個整數(shù)”這一條件來進行分析，因此應首先求出A∩B，但A∩B并不易求得，因為B中含有字母，因此可以考慮分類討論.

師：求A∩B的關鍵在什么地方？

師：你會比較其中關系嗎？

師：其他同學可否幫忙來判斷這兩者之間的大小關系呢？

師：太棒了，如此我們就能得出（如圖1）.根據(jù)條件“A∩B中恰有一個整數(shù)”可知該整數(shù)必然為2，所以解得

圖1

此時有學生躍躍欲試且表現(xiàn)出十足的把握.

師：說說看.

師：太棒了，真沒想到你居然能夠想到用分子有理化這一思路！

其他學生的情緒與斗志因為生3受到表揚而受到了鼓舞，又有學生發(fā)言了.

生4（解法2）：我的解法不一樣，我沒有對B中的不等式進行求解.

師：這個方法可行嗎？你說說看！

生4：令f（x）=x2-2ax-1（a＞0）.設其兩個零點分別為x1和x2，且x1＜0＜x2（x1x2=-1＜0）.

由A={x|x＜-3或x＞1}，若A∩B中恰有一個整數(shù)，則該整數(shù)只能是-4或2.

（1）如果該整數(shù)是-4，這與a＞0矛盾，因此該整數(shù)不可能是-4.（2）如果該整數(shù)是2，

根據(jù)（1）、（2）可知，該整數(shù)只能是2.

師：很好！不對B中的不等式求解居然也能求得實數(shù)a的取值范圍，這是不是有點令人出乎意料??？實際上，這一解法是對零點存在性定理的運用，對于大多數(shù)同學的思維來說，這是一個全新的視角，那么大家對以上兩種解法有何感想？大家覺得這兩種方法有何優(yōu)劣呢？

學生的議論聲頓時從教室的各個角落傳來.此時，被大家稱為“數(shù)學王子”的學生站了起來，這是一個經(jīng)常能夠表達獨特思想的優(yōu)秀生.

生5：我是這么想的，假如將題目中的“A∩B中恰有一個整數(shù)”這一條件改成“A∩B中恰有兩個整數(shù)”的話，運用解法2來求解實數(shù)a的取值范圍可能會復雜得多，應該要用到分類討論.此時若運用解法1來求a的取值范圍，應該會比較好，只要解不等式即可.同理，條件中整數(shù)的個數(shù)可以擴展為三個、四個…

師：這就是變式和拓展了，非常好，學習數(shù)學如果能夠展現(xiàn)出這些變式與拓展的思維就會覺得數(shù)學有意思了.

（此時，數(shù)學課代表將手舉了起來）

生6（解法3）：解法2應該是可以簡化的.在之前的解法中已經(jīng)對該整數(shù)進行了分析，只能是-4或2.

（1）假如該整數(shù)是-4，那么令（fx）=x2-2ax-1（a＞0）.

因為（fx）=x2-2ax-1（a＞0）的對稱軸為x=a＞0且左零點x1應滿足：x1∈（-5，-4］，所以右零點應滿足：x2＞4.

這樣的話，A∩B中就不僅僅只包含一個整數(shù)了，至少包含2、3、4這3個整數(shù).

因此，這種情況是不成立的.

（2）假如該整數(shù)是2，那么由于x1x2=-1＜0，因此必有正根x2落在［2，3）內，

根據(jù)（1）、（2）可知，該整數(shù)只能是2.

教師在實際教學中應對習題、例題多加研究，挖掘一些內涵豐富但求解過程不太復雜的題目，引導學生在這些題目的思考、挖掘與探索中進行全方位的研究，使學生能夠在一道題的思考與解決中獲得完整的知識體系的建構，美國著名數(shù)學教育家波利亞也曾在這方面提出過相同的觀點.當然，要令學生在解題中有所收獲，教師應首先對試題、習題、例題進行深入的研究，然后在課堂教學中對學生進行充分的激勵和引導，使學生真正成為數(shù)學學習的主人并發(fā)表不同的見解，使學生的思維之火熊熊燃起，從而與教師共同構筑快樂的數(shù)學學習樂園.F