基于教材提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的變式教學(xué)*

☉甘肅省渭源縣第一中學(xué) 何偉軍

教材中的許多例題都有著豐富的內(nèi)涵，都是經(jīng)過教材編寫專家精心挑選的，因此絕大多數(shù)教材例題、練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題（簡稱教材“四題”）都具有可變性和可研究性，為此我們開展對教材“四題”的變式研究，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”（簡稱“四基”）.基于教材，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境；基于“最近發(fā)展區(qū)”，拓展學(xué)生的認(rèn)知，在落實(shí)“情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思”的過程中助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

源題（人教A版必修2第127頁）如圖1，已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求出它們交點(diǎn)的坐標(biāo).

（解答詳見課本第127頁內(nèi)容，此處略）

圖1

一、條件不變，改變設(shè)問方式

通過改變設(shè)問方式，實(shí)現(xiàn)變式，以檢測學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的掌握程度，幫助學(xué)生獲得必要的“四基”，從而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).

變式1：求直線l：3x+y-6=0被圓C：x2+y2-2y-4=0截得的弦長.

路徑1：由例題易求得直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，0），B（1，3），再利用兩點(diǎn)之間的距離公式得

評注：這種基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的解法信手拈來，思路自然流暢，學(xué)生易懂，屬于典型的通性通法.

路徑2：采用“設(shè)而不求”的方式.將直線方程代入圓C的方程中得x2-3x+2=0，設(shè)兩交點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=3，x1x2=2.

評注：“設(shè)而不求”是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)常用的技巧，我們無需具體求出直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，只需應(yīng)用弦長公式、湊配整體代入即可求解.

評注：利用圓半徑、弦心距、弦長之半構(gòu)成直角三角形求解，這也是解決有關(guān)直線與圓問題的通法.

變式2：設(shè)直線l：3x+y-6=0和圓C：x2+y2-2y-4=0相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的垂直平分線的方程.

解析：將圓C的方程化為x2+（y-1）2=5，圓心為C（0，1），直線l：3x+y-6=0的斜率k=-3，所以弦AB的垂直平分線的斜率為，所以弦AB的垂直平分線的方程為y-1=（x-0），即x-3y+3=0.

評注：根據(jù)弦AB的垂直平分線經(jīng)過圓心，用直線的點(diǎn)斜式方程容易求解.

二、引進(jìn)參數(shù)，增設(shè)分類討論

引進(jìn)參數(shù)，適度增加試題的思維量、運(yùn)算量，問題設(shè)置要承上啟下，注重基礎(chǔ)，要具有一定的探究性.

變式3：已知直線l：y=kx+6與圓C：x2+（y-1）2=5.當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相交、相切、相離？

因?yàn)棣?（10k）2-80（1+k2）=20k2-80，所以：

（1）當(dāng)Δ＞0，即k＜-2或k＞2時(shí)，直線l與圓C相交；

（2）當(dāng)Δ=0，即k=±2時(shí)，直線l與圓C相切；

（3）當(dāng)Δ＜0，即-2＜k＜2時(shí)，直線l與圓C相離.

評注：利用代數(shù)法，即通過直線與圓的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷，歸根到底是用判別式Δ進(jìn)行分類討論來作答的，在明晰問題的基礎(chǔ)上，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是關(guān)鍵，此法也適合直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定，故其是解決此類問題的通性通法.

評注：利用幾何法，即由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.

三、互換條件與結(jié)論，培養(yǎng)逆向思維

適當(dāng)改變題目的條件與結(jié)論，比如可以將條件與結(jié)論互換，探究它們之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生解答，能有效地提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

變式4：已知圓C：x2+y2-2y-4=0，直線l過點(diǎn)M且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=，求直線l的方程.

解析：將圓C的方程化為x2+（y-1）2=5，其圓心為C（0，1），半徑r=.

評注：采用待定系數(shù)法求斜率k，而圓的弦心距（圓心O到直線l的距離）是求解關(guān)于k的方程的關(guān)鍵.

變式5：已知圓C的圓心在y軸上，且被x軸截得的弦長為4，被直線l：3x+y-6=0截得的弦長為，求圓C的方程.

故所求圓的方程為x2+（y-1）2=5.

評注：求圓的方程的基本方法就是“選形式、定參數(shù)、列方程組”，其中運(yùn)用半徑、弦心距、弦長之半構(gòu)成的直角三角形來列方程組是思維的核心，正確求解是落腳點(diǎn).

四、引進(jìn)對稱，“豐富”設(shè)問

以光線反射為代表的很多實(shí)際問題，都可以轉(zhuǎn)化為對稱問題，教師巧妙設(shè)問，展示變式新途徑，抓住對稱的本質(zhì)屬性，從而促進(jìn)學(xué)生思考.

變式6：求與圓C：x2+y2-2y-4=0關(guān)于直線l：3x+y-6=0對稱的圓的方程.

解析：將圓C的方程化為x2+（y-1）2=5，圓心為C（0，1）.

所以C′（3，2）.

所以，與圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程是（x-3）2+（y-2）2=5.

評注：根據(jù)對稱的幾何性質(zhì)列出關(guān)于a，b的方程組是求解的中心環(huán)節(jié).

五、引進(jìn)直線系，變式更精彩

若引進(jìn)直線系，運(yùn)用類比、聯(lián)想等思維方法，能夠形成新命題，就可以幫助學(xué)生克服思維狹窄、短視性思維弊端，并幫助學(xué)生提升推陳出新的意識(shí).

變式7：已知直線l：（m+3）x+（1-3m）y+3m-6=0，圓C：x2+（y-1）2=5，問：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，l與C是否相交？若相交，求出相交的弦長的最小值及此時(shí)m的值；若不一定相交，則舉出一個(gè)反例.

解析：將直線l的方程整理可得（3x+y-6）+m（x-3y+3）=0.

評注：根據(jù)方程求出該直線系恒過圓內(nèi)一定點(diǎn)，理解該定點(diǎn)與圓心的連線垂直于過該點(diǎn)的弦時(shí)，其弦長最短是關(guān)鍵.用數(shù)形結(jié)合思想求解更直觀、更容易.

六、改裝題源條件，鏈接高考

在習(xí)題教學(xué)中分析數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，較好地整合、處理教材習(xí)題，揭示高考母題題源，尋找命題的內(nèi)在邏輯和思想方法，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

變式8：已知直線l：y=kx+6.（k∈R）

（1）若圓心在y軸上的圓與直線l相切于點(diǎn)P（2，2），求該圓的方程.

（2）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為l′，問：直線l′與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由.

解析：（1）如圖2，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，b），半徑為r，則所求圓C的方程為x2+（y-b）2=r2.由圓C與直線l相切于點(diǎn)P（2，2）知，2=2k+6?k=-2，即圓的切線l的方程為2x+y-6=0.

圖2

（2）因?yàn)橹本€l的方程為y=kx+6，所以直線l′的方程為y=-kx-6.

因?yàn)棣?16k2-4×24=16k2-96，所以當(dāng)k=±，即Δ=0時(shí)，直線l′與拋物線相切；當(dāng)k≠±時(shí)，直線l′與拋物線不相切.

評注：本小題經(jīng)過變形改造后和2011年福建省高考理科卷第17題極為相似，我們把知識(shí)的“生長點(diǎn)”建立在學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，通過學(xué)生自己的思考完成題目的解答，感悟“源于教材，高于教材”不是空穴來風(fēng)，變式不是無源之水，漫無目的，在解答的過程中用基礎(chǔ)知識(shí)做鋪墊，用數(shù)學(xué)思想方法做統(tǒng)領(lǐng)，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題.

七、引進(jìn)極坐標(biāo)與參數(shù)方程，形異質(zhì)同

以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，把同一曲線轉(zhuǎn)化為另一種等價(jià)方程，構(gòu)成新情境，以檢驗(yàn)學(xué)生對多個(gè)知識(shí)點(diǎn)“串聯(lián)”的本領(lǐng)，再啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生從不同視角觀察問題、分析問題和解決問題，有力地促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

變式10：已知曲線C的參數(shù)方程為

1（φ為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+ρsinθ-6=0.

（1）將曲線C1、C2的方程分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程；

（2）問：曲線C1、C2是否相交？若相交，請求出公共弦長；若不相交，請說明理由.

解析：（1）由得x2+（y-1）2=5，所以曲，線C1的普通方程為x2+（y-1）2=5. 因?yàn)?ρcosθ+ρsinθ-6=0，令ρcosθ=x，ρsinθ=y，得3x+y-6=0，所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為3x+y-6=0.

評注：此題只是將題源中的普通方程以參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程進(jìn)行外“包裝”，要求重新在新情景之中求解原問題，剝?nèi)⊥狻鞍b”后發(fā)現(xiàn)兩題形異質(zhì)同.