基于陸基導(dǎo)航系統(tǒng)的航空器定位三維約束平差算法及其仿真計(jì)算

宋 韜

(中國民用航空飛行學(xué)院 空中交通管理學(xué)院， 四川 德陽 618307)

區(qū)域?qū)Ш?Area Navigation,RNAV)是一種可在導(dǎo)航設(shè)施的有效覆蓋范圍內(nèi)，或在自主導(dǎo)航設(shè)備的能力限制內(nèi)，或在兩者配合下，指引航空器沿任意規(guī)劃的飛行路徑航行的導(dǎo)航方式。[1]與僅支持向、背臺(tái)飛行的傳統(tǒng)陸基導(dǎo)航相比，它實(shí)現(xiàn)了在導(dǎo)航區(qū)域內(nèi)不受導(dǎo)航設(shè)施分布限制的自由航行，從而能夠縮短飛行距離，避免空中交通擁堵，增大空域利用效率。

目前，欲實(shí)現(xiàn)區(qū)域?qū)Ш?，可采用的?dǎo)航源主要為基于星基導(dǎo)航的GNSS/INS和基于陸基導(dǎo)航的DME/DME及VOR/DME等[2]。其中，GNSS(全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng))能夠在全球范圍提供全天候、高精度的導(dǎo)航服務(wù)，是實(shí)現(xiàn)RNAV所主要采用的導(dǎo)航源[2]。但星基導(dǎo)航在受環(huán)境干擾的情況下難以提供連續(xù)、穩(wěn)定和可靠的導(dǎo)航服務(wù)，且未安裝衛(wèi)星導(dǎo)航機(jī)載設(shè)備的航空器也無法實(shí)現(xiàn)基于GNSS的區(qū)域?qū)Ш?。綜上所述，為提高系統(tǒng)可靠性，區(qū)域?qū)Ш叫枰邆淠軡M足一定導(dǎo)航精度需求的陸基導(dǎo)航作為備份和增強(qiáng)[3]。

1 基于陸基導(dǎo)航的區(qū)域?qū)Ш浆F(xiàn)行定位方法分析

對(duì)于區(qū)域?qū)Ш?RNAV)，主要立足于實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)航空器沿任意預(yù)定航線飛行。這需要已知預(yù)定航線的航線角與航線距離。因此，區(qū)域?qū)Ш降年P(guān)鍵問題之一是利用已知觀測(cè)量實(shí)現(xiàn)航空器的高精度定位。[4]而可以用于區(qū)域?qū)Ш降年懟鶎?dǎo)航系統(tǒng)主要有DME/DME和VOR/DME兩種方式。

1.1 區(qū)域?qū)Ш降默F(xiàn)行定位方法

1.1.1 DME/DME

RNAV(DME/DME)通過中心點(diǎn)平面坐標(biāo)已知的兩個(gè)(或多個(gè))測(cè)距裝置(DME)，根據(jù)導(dǎo)航臺(tái)與航空器間的斜距近似代替水平距離作為初始觀測(cè)量，從而利用距離交會(huì)原理計(jì)算出航空器的當(dāng)前平面坐標(biāo)。[1]該方式的定位精度受DME臺(tái)與航空器間的空間幾何關(guān)系和空間距離影響較大，而利用傾斜距離(斜距)近似代替水平距離的特性也限制了定位精度的提升。

1.1.2 VOR/DME

RNAV(VOR/DME)需要利用一個(gè)坐標(biāo)已知的VOR/DME(甚高頻全向信標(biāo)/測(cè)距機(jī))導(dǎo)航臺(tái)，機(jī)載設(shè)備通過接收航空器與導(dǎo)航臺(tái)間的方位(VOR)及斜距(DME)測(cè)量值，并利用極坐標(biāo)原理進(jìn)行定位。[1]這種系統(tǒng)的定位原理簡(jiǎn)單，在覆蓋有VOR/DME臺(tái)的區(qū)域都可進(jìn)行導(dǎo)航，但這一傳統(tǒng)方式不涉及多余觀測(cè)量，無法對(duì)定位結(jié)果進(jìn)行檢核和精度增強(qiáng)，且與“DME/DME”類似，也存在以斜距測(cè)量值近似代替水平距離而使精度受限的問題。

1.2 斜距代替水平距離的測(cè)距誤差分析

受當(dāng)前陸基導(dǎo)航設(shè)備(VOR與DME)無法測(cè)量其與待測(cè)目標(biāo)間的俯仰角這一限制，傳統(tǒng)定位方法只能利用斜距近似代替水平距離進(jìn)行坐標(biāo)計(jì)算，而這會(huì)對(duì)水平距離的測(cè)量產(chǎn)生額外的系統(tǒng)誤差，從而降低定位精度。斜距代替水平距離所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差ΔD計(jì)算式為：

(1)

式(1)中，S為斜距；θ與H分別為導(dǎo)航臺(tái)與待測(cè)點(diǎn)間的俯仰角度；D為水平距離。從式(1)可知，當(dāng)其他條件不變時(shí)，斜距代替水平距離所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差隨著高差H的增加，俯仰角θ的增大或水平距離D的減小而增大。在4種不同水平距離和高差的情況下，由斜距代替水平距離產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差如表1所示。

表1 斜距代替水平距離的系統(tǒng)誤差統(tǒng)計(jì)表

2 三維約束平差算法模型

綜上所述，現(xiàn)行基于陸基導(dǎo)航系統(tǒng)的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ痪戎饕艿饺狈Χ嘤嘤^測(cè)值的約束及用斜距近似代替水平距離等問題的制約。

如果直接利用多個(gè)陸基導(dǎo)航臺(tái)(VOR/DME)的斜距和方位角觀測(cè)量，基于“最小二乘”原則進(jìn)行三維約束平差求解，則能夠避免由于斜距替代水平距離產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差對(duì)定位精度的影響，且能通過多余觀測(cè)值減小定位過程中的偶然誤差[5]。下面介紹基于斜距和方向觀測(cè)值的三維嚴(yán)密約束平差算法推導(dǎo)。

2.1 概略坐標(biāo)值計(jì)算

圖1、圖2分別為基于陸基導(dǎo)航的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ辉硗敢晥D和平面圖。如圖1、2所示，A、B分別為兩個(gè)VOR/DME陸基導(dǎo)航臺(tái)，其中心點(diǎn)的平面坐標(biāo)及高程已知，分別為：A(XA,YA,HA)和B(XB,YB,HB)。P點(diǎn)為航空器所在的待定未知點(diǎn)。通過位于A、B兩點(diǎn)的陸基導(dǎo)航設(shè)備測(cè)距機(jī)(DME)，可測(cè)得未知點(diǎn)P與導(dǎo)航臺(tái)A、B間的傾斜距離(即斜距)：SAP和SBP(圖1)，而通過甚高頻全向信標(biāo)系統(tǒng)(VOR)可測(cè)得位于A、B兩點(diǎn)處的飛機(jī)磁方位角：αAP和αBP(圖2)。

在根據(jù)陸基導(dǎo)航臺(tái)的距離和方位觀測(cè)值進(jìn)行嚴(yán)密平差前，需要利用必要觀測(cè)量(兩個(gè)導(dǎo)航臺(tái)的飛機(jī)磁方位角和飛機(jī)距一個(gè)導(dǎo)航臺(tái)的斜距)，求解待定點(diǎn)P的概略三維坐標(biāo)(XP0,YP0,HP0)。

圖1 基于陸基導(dǎo)航的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ辉硎疽鈭D(透視圖)

圖2 基于陸基導(dǎo)航的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ辉硎疽鈭D(平面圖)

如圖2，根據(jù)位于A、B兩點(diǎn)的航空器磁方位角測(cè)量值：αAP和αBP，可得關(guān)系式為：

(2)

從而，P點(diǎn)的概略坐標(biāo)計(jì)算式為：

(3)

2.2 斜距和方向測(cè)量值的誤差方程

圖3為區(qū)域?qū)Ш饺S約束平差平面示意圖。導(dǎo)航臺(tái)i代表在對(duì)未知點(diǎn)P進(jìn)行概略坐標(biāo)計(jì)算后，可實(shí)施多余觀測(cè)的VOR/DME導(dǎo)航臺(tái)。

圖3 區(qū)域?qū)Ш饺S約束平差示意圖

(4)

式(4)中，(XP,YP,HP)為待求點(diǎn)的坐標(biāo)平差值，它與坐標(biāo)值改正數(shù)(dxP,dyP,dHP)的關(guān)系為：

(5)

將式(5)代入式(4)，并將該方程組根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)線性化后，可以得到根據(jù)斜距與方向觀測(cè)值列出的誤差方程：

(6)

根據(jù)式(6)，可構(gòu)建平差誤差方程：

V=Bdx-l

(7)

式(7)中，為觀測(cè)值改正數(shù)向量[vSiP,vαiP]T；dx為坐標(biāo)改正數(shù)向量[dxP,dyP,dHP]T；和分別為系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)向量。

利用最小二乘原理(使VTPV最小)，可得坐標(biāo)改正數(shù)計(jì)算式：

dx=(BTPB)-1BTPl

(8)

式(8)中，P為測(cè)量值的權(quán)陣，可利用測(cè)量值的大小進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)定權(quán)。從而得到待定點(diǎn)的三維坐標(biāo)平差值(XP,YP,HP)。

2.3 測(cè)量精度評(píng)定

平差計(jì)算后的單位權(quán)中誤差的估值計(jì)算式為[7]：

(9)

式(9)中，n為測(cè)量值總個(gè)數(shù)，t為必要測(cè)量數(shù)(根據(jù)本文2.1可知，t=3)。則未知點(diǎn)坐標(biāo)中誤差的計(jì)算如下[7]：

(10)

式(10)中，QXPXP、QYPYP、QHPHP為協(xié)因數(shù)陣QX中的對(duì)角線元素。根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播率，協(xié)因數(shù)陣為：QX=(BTPB)-1。

從而，可得待定點(diǎn)平差值的點(diǎn)位中誤差為：

(11)

3 仿真計(jì)算與分析

為驗(yàn)證三維約束平差算法在基于陸基導(dǎo)航系統(tǒng)的區(qū)域?qū)Ш街械目尚行?，利用微軟模擬飛行10 (Microsoft Flight Simulator X)，將一架Boeing737-800型客機(jī)置于某地空中P點(diǎn)[8-9]。如圖4所示，在該航空器周邊，選取三個(gè)VOR/DME導(dǎo)航臺(tái)：A、B、C作為測(cè)量數(shù)據(jù)來源。

圖4 仿真計(jì)算示意圖

航空器和導(dǎo)航臺(tái)在該地區(qū)高斯投影直角坐標(biāo)系[10]中的實(shí)際平面坐標(biāo)值和高程，以及通過機(jī)載設(shè)備得到的航空器相對(duì)于各導(dǎo)航臺(tái)的斜距與飛機(jī)磁方位角測(cè)量值如表2所示。

通過上述機(jī)載設(shè)備測(cè)量值，分別用三種方式對(duì)航空器所在的P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解：

方式1，通過A、B兩導(dǎo)航臺(tái)的斜距測(cè)量值,利用距離交會(huì)原理求解(DME/DME)；

方式2，通過B點(diǎn)導(dǎo)航臺(tái)的斜距與方位角測(cè)量值利用極坐標(biāo)原理求解(VOR/DME)；

方式3，通過A、B、C三個(gè)導(dǎo)航臺(tái)的斜距與方位角測(cè)量值利用三維平差算法求解(VOR/DME三維約束平差)。

3種方式所得航空器坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果及其與真實(shí)坐標(biāo)的偏差值如表3所示。

表2 仿真計(jì)算已知坐標(biāo)及測(cè)量值列表

表3 航空器坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果及其偏差值統(tǒng)計(jì)

通過三維平差算法的精度評(píng)定，P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差和點(diǎn)位中誤差如表4所示。

表4 坐標(biāo)中誤差與點(diǎn)位中誤差列表

通過對(duì)表3相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)比分析可知，在基于飛行模擬軟件進(jìn)行的仿真計(jì)算中，傳統(tǒng)求解算法所得結(jié)果的坐標(biāo)分量偏差值和平面位置偏差值均顯著大于三維平差算法的結(jié)果，且傳統(tǒng)求解算法無法得出待定點(diǎn)垂直坐標(biāo)H。而三維平差算法能夠計(jì)算出包括垂直坐標(biāo)在內(nèi)的三維坐標(biāo)值。此外，該算法亦能通過精度評(píng)定來評(píng)估待定點(diǎn)坐標(biāo)的定位精度[11](表4)，從而能客觀反應(yīng)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)語

通過對(duì)基于陸基導(dǎo)航設(shè)備的區(qū)域?qū)Ш饺S約束平差定位算法的理論推導(dǎo)和仿真計(jì)算結(jié)果比較與分析，可得出如下結(jié)論：

為實(shí)現(xiàn)航空器可沿任意規(guī)劃的飛行路徑航行的區(qū)域?qū)Ш?RNAV)，對(duì)航空器進(jìn)行較高精度定位至關(guān)重要；陸基導(dǎo)航作為星基導(dǎo)航及慣性導(dǎo)航的備份與增強(qiáng)，可以提高導(dǎo)航系統(tǒng)的連續(xù)性和可靠性。

VOR/DME導(dǎo)航臺(tái)不能測(cè)量航空器相對(duì)于電臺(tái)的俯仰角度。因此，目前基于DME/DME和VOR/DME的區(qū)域?qū)Ш?，在航空器定位過程中，通常將斜距近似代替水平距離進(jìn)行求解，定位精度受到較大局限，且不能通過精度評(píng)定對(duì)定位點(diǎn)坐標(biāo)的解算精度進(jìn)行評(píng)估。

根據(jù)仿真計(jì)算結(jié)果，將機(jī)載設(shè)備測(cè)得的斜距和方位角作為原始測(cè)量值，并考慮斜距與水平距離的幾何關(guān)系，依據(jù)最小二乘原理進(jìn)行三維約束平差求解，能夠顯著減小定位點(diǎn)的各坐標(biāo)分量偏差及位置偏差，并能滿足區(qū)域?qū)Ш絉NAV1的定位技術(shù)要求[12]，并能通過精度評(píng)定(坐標(biāo)中誤差及點(diǎn)位中誤差)對(duì)解算坐標(biāo)的定位精度進(jìn)行評(píng)估。