把思維引向深入
———《3的倍數(shù)特征》教學(xué)實(shí)錄與設(shè)計(jì)意圖

翟運(yùn)勝（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第33 頁(yè)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握3 的倍數(shù)特征，能判斷和寫出3 的倍數(shù)，并能說(shuō)明判斷的理由。

2.使學(xué)生在經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)3 的倍數(shù)特征的過(guò)程中，培養(yǎng)觀察、比較和分析等思維能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高歸納推理的能力，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感。

3.使學(xué)生主動(dòng)參與探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的活動(dòng)，獲得探索數(shù)學(xué)結(jié)論的成功感受。體會(huì)數(shù)學(xué)的奇妙，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，樹立學(xué)習(xí)信心。

【教學(xué)過(guò)程】

一、提出猜想，引導(dǎo)質(zhì)疑

師：判斷一下，117 是不是2的倍數(shù)？是不是5 的倍數(shù)？

生：117 既不是2 倍數(shù)也不是5 的倍數(shù)。

師：117 為什么不是2 的倍數(shù)？為什么也不是5 的倍數(shù)呢？

生：個(gè)位上是0、2、4、6、8 的數(shù)是2 的倍數(shù)。個(gè)位上是0、5 的數(shù)是5 的倍數(shù)，117 的個(gè)位是7。

師：大家都是根據(jù)這個(gè)數(shù)字的個(gè)位判斷的，誰(shuí)來(lái)看著圖說(shuō)一說(shuō)，判斷一個(gè)數(shù)是不是2 或者5的倍數(shù)，只要看個(gè)位就可以了？

生：因?yàn)榘傥簧?00 一定是2 的倍數(shù)，十位上10 一定也是2的倍數(shù)，因此判斷一個(gè)數(shù)是不是2 的倍數(shù)，只要看個(gè)位。

生：因?yàn)榘傥簧?00 一定是5 的倍數(shù)，十位上10 一定也是5的倍數(shù)，因此判斷一個(gè)數(shù)是不是5 的倍數(shù)，只要看個(gè)位。

師：（出示下圖）任何一個(gè)自然數(shù)，它的十位、百位、千位所代表的數(shù)都一定是2 或者5 的倍數(shù)，因此不需要再考慮了。影響一個(gè)數(shù)是不是2 或者5 的倍數(shù)，只是個(gè)位的原因，如果個(gè)位是2 或者5 的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是2或者5 的倍數(shù)，否則不是。

師：今天我們學(xué)習(xí)3 的倍數(shù)特征，判斷一個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)，是不是也只要看個(gè)位呢？請(qǐng)大家猜一猜。

生：我猜也只要看個(gè)位就行。

師：請(qǐng)你猜一猜，如果只看個(gè)位，個(gè)位可能是哪些數(shù)就是3 的倍數(shù)呢？

生：個(gè)位上是3、6、9 的數(shù)。

生：不行，比如13 就不是3的倍數(shù)，26 也不是。如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)。（這名學(xué)生在學(xué)習(xí)之前已從其他渠道知道了3 的倍數(shù)特征）

師：你知道為什么要把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加在一起嗎？到底個(gè)位上的數(shù)字能不能決定一個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)呢？（這名學(xué)生說(shuō)不出理由）

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)先復(fù)習(xí)2、5的倍數(shù)特征，再利用數(shù)形結(jié)合的方式復(fù)習(xí)2、5 的倍數(shù)為什么只與這個(gè)數(shù)的個(gè)位有關(guān)，為之后研究3 的倍數(shù)特征提供思維路徑的引導(dǎo)，有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)?！?/p>

二、利用經(jīng)驗(yàn)、組織探究

1.圈3 的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)3 的倍數(shù)的個(gè)位沒(méi)有固定規(guī)律。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出百數(shù)表，圈出3 的倍數(shù)。

師：在百數(shù)表中，從排列上看，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：3 的倍數(shù)都在一條斜線上。

師：讓我們來(lái)觀察這些3 的倍數(shù)的個(gè)位。（引導(dǎo)學(xué)生觀察比較：81、72、63、54、45、36、27、18、9）這一列，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：觀察個(gè)位上的數(shù)，從0 到9 各種情況都有，沒(méi)有固定規(guī)律。

師：看來(lái)3 的倍數(shù)，它的個(gè)位是沒(méi)有明確的特征，只看個(gè)位是不行的。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)之初，多數(shù)學(xué)生會(huì)猜測(cè)3 的倍數(shù)與這個(gè)數(shù)的個(gè)位有關(guān)，在運(yùn)用百數(shù)表描畫出3 的倍數(shù)以后，教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察81 這一斜行，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的個(gè)位0～9 各種情況都有，從而確定了3 的倍數(shù)與個(gè)位沒(méi)有明確的關(guān)系，誘發(fā)了認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)入憤悱狀態(tài)，激起學(xué)生的探求欲望，促使學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)?！?/p>

2.從百數(shù)表中發(fā)現(xiàn)3 的倍數(shù)的規(guī)律。

師：從個(gè)位上看不出有什么規(guī)律，那么現(xiàn)在怎么辦呢？觀察這些3 的倍數(shù)（81 這一斜行上的數(shù)），讓我們一起來(lái)讀一讀：9、18、27、36、45、54、63、72、81 等這些3的倍數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：十位依次增加1，個(gè)位依次減小1。

師：你看到了其中的變化，有什么不變的東西嗎？

生：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加在一起是9。

（板書：個(gè)位與十位上的數(shù)字之和是9）

師：觀察百數(shù)表里這些數(shù)每個(gè)數(shù)的數(shù)字之和，你發(fā)現(xiàn)它們有什么特別之處嗎？生：這些數(shù)都是3 的倍數(shù)。

生：個(gè)位與十位上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)。

師：推想，如果一個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，那會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？

生：那么這個(gè)數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)加在一起應(yīng)該不是3 的倍數(shù)。

師：讓我們看看百數(shù)表，找?guī)讉€(gè)不是3 的倍數(shù)。

學(xué)生找到83、97、49 這些不是3 的倍數(shù)的數(shù)，請(qǐng)大家把它們的個(gè)位與十位上的數(shù)字加在一起。

生：83，8＋3＝11；97，9＋7＝16；49，4＋9＝13。11、16、13 不是3 的倍數(shù)。

（板書：個(gè)位與十位上的數(shù)字之和是：11、16、13，不是3 的倍數(shù)）

3.通過(guò)舉例推廣到三位數(shù)、四位數(shù)等。

師：剛才我們是舉了兩位數(shù)的例子，那么三位數(shù)呢？誰(shuí)來(lái)舉一個(gè)任意的三位數(shù)。

生：789，7＋8＋9＝24。

師：24 這個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)，我斷定789 應(yīng)當(dāng)是3 的倍數(shù)。

生：569，5＋6＋9＝20。20 不是3 的倍數(shù)，我斷定569 不是3 的倍數(shù)。

師：對(duì)789 和569 這兩個(gè)數(shù)的判斷，對(duì)不對(duì)呢？我們用計(jì)算器驗(yàn)證一下。

（組織學(xué)生用計(jì)算器來(lái)驗(yàn)證）

師：誰(shuí)再來(lái)舉個(gè)四位數(shù)？

生：5687，數(shù)字之和是26，26不是3 的倍數(shù)。

師：這個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)？

生：不是。

師：誰(shuí)來(lái)稍微地改動(dòng)一下，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)了。

生：5697，數(shù)字之和是27，是3 的倍數(shù)。

（組織學(xué)生用計(jì)算器來(lái)驗(yàn)證）

師：我們舉了一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)的例子，到目前為止，我們還沒(méi)有找到反例。大家可能得出什么樣的結(jié)論呢？

生：個(gè)位、十位、百位、千位上數(shù)字的和是3 的倍數(shù)，也就是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生充分觀察百數(shù)表中3 的倍數(shù)，歸納出3的倍數(shù)特征，然后分別舉三位數(shù)、四位數(shù)的例子來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，促進(jìn)學(xué)生觀察能力與歸納能力的提高，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

4.證明規(guī)律，深化新知。

師：對(duì)比3 的倍數(shù)的特征與2、5 的倍數(shù)特征，你們有什么問(wèn)題嗎？

生：為什么3 的倍數(shù)不能只看個(gè)位，要看數(shù)位上的數(shù)字之和是否是3 的倍數(shù)呢？

師：為什么3 的倍數(shù)特征要看各個(gè)位上的數(shù)字之和？誰(shuí)來(lái)看圖說(shuō)一說(shuō)，判斷45 是不是3 的倍數(shù)，要看它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和呢？小組討論一下。

學(xué)生小組討論后匯報(bào)：十位上的每一個(gè)10 除以3 以后余1，共余4，再加上個(gè)位上的5 一共是9，9 是3 的倍數(shù)，因此45 是3的倍數(shù)。

師：誰(shuí)來(lái)看圖說(shuō)一說(shuō)，判斷123 是不是3 的倍數(shù)，只看個(gè)位行不行呢？要用1＋2＋3=6，6 是3 的倍數(shù)，才能說(shuō)明這個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)嗎？小組討論一下。

學(xué)生小組討論后匯報(bào)：百位上的100 除以3 以后余1，十位上的20 除以3 以后余2，再加上個(gè)位的3，一共是6，6 是3 的倍數(shù)，因此123 是3 的倍數(shù)。

師：判斷123 這個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)，這里1 指100，但是當(dāng)用1 去加的時(shí)候，還指的是1 嗎？指的是什么呢？

生：指的是去掉99 以后剩下來(lái)的數(shù)。

師：用十位上的2 加的時(shí)候，這個(gè)2 指的是什么呢？

生：這個(gè)2 指的20 除以3 以后余下的2。

師：這就是為什么判斷3 的倍數(shù)要看各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和的原因。

【設(shè)計(jì)意圖：3 的倍數(shù)為什么有這樣的規(guī)律是本節(jié)課深度學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，延續(xù)2、5 倍數(shù)特征的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的方式思考問(wèn)題，學(xué)生基本能結(jié)合方格圖說(shuō)明為什么要用各數(shù)位上的數(shù)字加在一起，從數(shù)學(xué)證明的角度來(lái)看似乎不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但這就是兒童數(shù)學(xué)與抽象數(shù)學(xué)之間的區(qū)別，學(xué)生能通過(guò)形象的方式觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，達(dá)到“非嚴(yán)謹(jǐn)”的直觀理解?！?/p>

三、鞏固規(guī)律，拓展延伸

1.及時(shí)鞏固，劣實(shí)基礎(chǔ)。

（做“練一練”第1 題與第2題）

師：在29、45、51、67、86、96中，哪些是3 的倍數(shù)呢？

（組織學(xué)生把3 的倍數(shù)圈出來(lái)）

2.你能很快說(shuō)出哪幾題的得數(shù)沒(méi)有余數(shù)嗎？

48÷3 56÷3 342÷3 567÷3 802÷3

提問(wèn)：除數(shù)是3，得數(shù)沒(méi)有余數(shù)是什么意思？

引導(dǎo)學(xué)生得出3 的倍數(shù)，除以3 沒(méi)有余數(shù)；不是3 的倍數(shù)，除以3 就有余數(shù)。

3.同學(xué)們報(bào)名疊羅漢表演，現(xiàn)已有73 人報(bào)名參加了，如果三人一組，這73 人能不能都參加表演？至少再有幾人報(bào)名，就都可以參加表演了？

4.從0、5、6、7 中選出三個(gè)數(shù)字，組成是3 的倍數(shù)的三位數(shù)，你能組成多少個(gè)？在這些數(shù)中哪些是2、3 的倍數(shù)？哪些是3、5 的倍數(shù)？哪些是2、3、5 的倍數(shù)？

提問(wèn)：756 是2 的倍數(shù)，也是3 的倍數(shù)，如果改變一下數(shù)字的順序，還是2 的倍數(shù)嗎？還是3 的倍數(shù)嗎？這說(shuō)明了什么？

生：改動(dòng)數(shù)位上數(shù)字的順序不會(huì)影響它是3 的倍數(shù)。

5.在每個(gè)□里填一個(gè)數(shù)字，使組成的數(shù)是3 的倍數(shù)。你是怎樣填的呢？有幾種填法？

7□ □12 20□ 3□5

師：由72、75、78 你找到了一個(gè)什么規(guī)律呢？

生：確定第一個(gè)數(shù)字以后，只要依次增加3 就可以了。

6.優(yōu)化拓展。

師：如果判斷137 是不是3的倍數(shù)，還要用1+3+7 嗎？

生：不需要了，因?yàn)槭皇?0，已經(jīng)是3 的倍數(shù)了。

師：如果3 放在百位上呢？是317 呢？還要不要考慮呢？

師：是否一定要把所有數(shù)位上的數(shù)字加在一起呢？

生：這個(gè)3 放在十位、百位或者個(gè)位，它所代表的數(shù)一定是3的倍數(shù)，不需要把所有數(shù)位上的數(shù)字加在一起。

師：請(qǐng)大家判斷96305363967、653 是不是3 的倍數(shù)。

生：96305363967 中 只要 看數(shù)字“5 和7”就行了。

生：653 中數(shù)字6 與3 已經(jīng)是3 的倍數(shù)，只要看5 就行了。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)層次練習(xí)使學(xué)生鞏固了3 的倍數(shù)的判斷方法，再次結(jié)合方格圖引起學(xué)生思考如果一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字所代表的數(shù)已經(jīng)是3 的倍數(shù)，判斷時(shí)不需要進(jìn)行相加，優(yōu)化了3 的倍數(shù)的判斷方法，使學(xué)生更進(jìn)一步理解了3 的倍數(shù)的特征?！?/p>

四、歸納概括、梳理總結(jié)

師：這節(jié)課你有哪些收獲？這些收獲是怎樣獲得的？

（學(xué)生回答略）

【課后反思：關(guān)于“3 的倍數(shù)”，蘇教版教材是這樣編排的：先是利用百數(shù)表，學(xué)生圈出3 的倍數(shù)，然后組織學(xué)生觀察3 的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)這些3 的倍數(shù)的個(gè)位從0 到9 各種情況都有，個(gè)位上的數(shù)字沒(méi)有規(guī)律，然后利用計(jì)數(shù)器撥出3 的倍數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)位上的珠子加在一起是3 的倍數(shù)。但是這樣做沒(méi)有使百數(shù)表得到充分地利用，其實(shí)通過(guò)觀察百數(shù)表上圈出的3 的倍數(shù)，就可以非常自然地發(fā)現(xiàn)十位與個(gè)位上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)。如果再引入計(jì)數(shù)器，就顯得有些突兀，多此一舉了。充分利用百數(shù)表，組織學(xué)生觀察，學(xué)生是能夠探索出3的倍數(shù)特征的。學(xué)生在得出3 的倍數(shù)特征后會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：為什么2、5 的倍數(shù)要用個(gè)位來(lái)判斷，而3 的倍數(shù)則要用各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和來(lái)判斷。如果僅僅用例子歸納出來(lái)去說(shuō)明“本就如此”，對(duì)學(xué)生來(lái)講就失去了一次探究知識(shí)本質(zhì)的機(jī)會(huì)。如果從數(shù)的組成來(lái)講，在這節(jié)課中教師利用數(shù)形結(jié)合來(lái)說(shuō)明其中的道理，并且與2、5 的倍數(shù)特征的算理溝通聯(lián)系，有利于學(xué)生對(duì)于新知的深度把握，完成知識(shí)系統(tǒng)的構(gòu)建。】