嘗試與猜測(cè)
———《雞兔同籠》教學(xué)思考與實(shí)踐

甘衛(wèi)星

【課前思考】

一、教材本質(zhì)——“假設(shè)、驗(yàn)證法”

教材是先呈現(xiàn)“雞兔同籠”的歷史原題，再將原題改成數(shù)據(jù)較小的例題，最后引導(dǎo)學(xué)生填表解決問(wèn)題。通過(guò)自主探究、合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷列表舉例方法，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從假設(shè)驗(yàn)證到有序列表再到一次調(diào)整的過(guò)程，明確數(shù)量關(guān)系。特級(jí)教師牛獻(xiàn)禮在《溝通聯(lián)系 突出思想——“雞兔同籠”教學(xué)實(shí)踐與思考》一文中寫道：溝通多種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示其本質(zhì)上都是“假設(shè)—比較—調(diào)整”的思維方式。

二、設(shè)計(jì)本質(zhì)——“假設(shè)、調(diào)整法”

學(xué)生對(duì)此題數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解幾乎是零起點(diǎn)，不同嘗試方法本質(zhì)上是一致的，每一種方法都是“假設(shè)—比較—調(diào)換”這樣一種循環(huán)往復(fù)的思維過(guò)程，是假設(shè)法的不同表現(xiàn)形式。因此，本節(jié)課的設(shè)計(jì)以溝通逐一嘗試、跳躍嘗試、一次嘗試等不同的列舉方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透假設(shè)思想的本質(zhì)，聚焦嘗試假設(shè)法。

【教學(xué)過(guò)程】

一、揭題引入，明確基本信息

師：同學(xué)們請(qǐng)看屏幕，今天我們來(lái)研究雞兔同籠問(wèn)題，知道雞兔同籠的意思嗎？

師：雞兔同籠是一種數(shù)學(xué)問(wèn)題，早在1500年前我國(guó)數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載這樣的趣題：雞兔同籠，有9 個(gè)頭，26 條腿。雞兔各有幾只？

（板書：雞頭+兔頭=9 雞腿+兔腿=26）

師：你讀懂哪些信息？猜一猜這個(gè)籠子里可能有幾只雞？有幾只兔？

預(yù)設(shè)：2 只雞，7 只兔。

師：誰(shuí)有不同的意見？

師：在碰到新問(wèn)題時(shí)可以用猜測(cè)的方法來(lái)嘗試解決問(wèn)題。

（板書：嘗試 猜測(cè)）

師：學(xué)習(xí)有趣的推理一課時(shí)我們用什么方法進(jìn)行有序記錄？

生：表格式。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)談話，理清已知信息以及隱藏信息之間的基本數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)的假設(shè)、嘗試、驗(yàn)證奠定基礎(chǔ)?！?/p>

二、初識(shí)“假設(shè)—比較—調(diào)整”，理解“雞兔互換”的規(guī)律

1.出示問(wèn)題：雞兔同籠，有9個(gè)頭，26 條腿。雞兔各有幾只？

2.借助表格整理解題過(guò)程。

（1）學(xué)生獨(dú)立完成。

（2）學(xué)生上臺(tái)填寫發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容。

3.反饋學(xué)生作業(yè)。

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）9 1 8 34 9 2 7 32 9 3 6 30 9 4 5 28 9 5 4 26

4.對(duì)比發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：腿的條數(shù)是怎樣變化的？誰(shuí)的只數(shù)變化會(huì)使腿數(shù)減少？

小結(jié)板書：雞增加1 只，兔減少1 只，腿數(shù)就會(huì)減少2 條。

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，你對(duì)嘗試有什么認(rèn)識(shí)？

師：剛才我們用列表舉例的方法來(lái)解決雞兔同籠的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了雞兔同籠問(wèn)題的規(guī)律，只要按照這樣的方法和步驟，不管頭數(shù)和腿數(shù)是多少都能找到答案嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，尊重學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，既有獨(dú)立思考，又有合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生的自主能動(dòng)性。例題從簡(jiǎn)單入手，化難為易，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)表格的用處，在表格中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。讓學(xué)生感悟到1 只雞與1 只兔進(jìn)行交換，腳的總數(shù)量會(huì)相差2，并直觀理解“相差2”是怎么發(fā)生的。通過(guò)與實(shí)際腳數(shù)比較，逐步調(diào)整，直至調(diào)整到正確答案。這整個(gè)過(guò)程，便是“假設(shè)—比較—調(diào)整”的循環(huán)往復(fù)的過(guò)程?！?/p>

三、運(yùn)用“假設(shè)—比較—調(diào)整”，加深對(duì)嘗試法的理解

1．出示歷史名題：《孫子算經(jīng)》中有這樣一道趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？

師：我們能用剛才的方法解決這道題嗎？

2．學(xué)生獨(dú)立完成，小組交流。

3.反饋學(xué)生的方法，明確調(diào)整的方向。

（1）逐一嘗試。

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 34 1 72 35 33 2 74…… …… …… ……35 24 11 92 35 23 12 94

師：從1 雞34 兔（或1 兔34雞）開始，逐一檢驗(yàn)排除，“地毯式搜索”直至找到正確結(jié)果為止。

（2）跳躍的嘗試（出示兩張）。

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 34 1 70 35 33 2 74 35 31 4 78 35 29 6 82 35 27 8 86 35 23 12 94 35 22 13 96

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 1 34 138 35 5 30 130 35 10 25 120 35 15 20 110 35 23 12 94 35 25 12 90

（學(xué)生解釋自己的嘗試過(guò)程）

師：從1 雞34 兔（或1 兔34雞）開始，跳過(guò)幾個(gè)嘗試；或直接折半（從17 雞18 兔）開始試；或者經(jīng)過(guò)幾輪嘗試直接跳到正確的結(jié)果。

（比較兩張表格，重點(diǎn)說(shuō)明第一次假設(shè)好后，通過(guò)比較，該往哪個(gè)方向調(diào)整）

（3）一次的嘗試。

（學(xué)生解釋自己嘗試的過(guò)程）

師：腿多了2 只，應(yīng)該如何調(diào)整？

生：將1 只兔換成1 只雞，腿就少2 條，一共多了44 條腿，那就要交換22 只。

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 1 34 138 35 23 12 94

生：將1 只兔換成1 只雞，腿就少2 條，一共多了4 條腿，那就要交換2 只。

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 25 10 90 35 23 12 94

生：將1 只雞換成1 只兔，腿就多2 條，一共少了8 條腿，那就要交換4 只。

頭數(shù) 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 27 8 86 35 23 12 94

【設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)，比較各種列表解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，分析異同，找出優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生找到解決雞兔同籠問(wèn)題的基本方法。重點(diǎn)放在假設(shè)好以后再進(jìn)行比較、再如何調(diào)整的教學(xué)上，從任意假設(shè)，一只一只進(jìn)行調(diào)整，到后來(lái)跳躍式調(diào)整，再到后面一次性調(diào)整到位，從思維低層次水平逐步到高層次水平，循序漸進(jìn)，逐步理解如何假設(shè)、如何調(diào)整。通過(guò)列表“假設(shè)—比較—調(diào)整”，讓學(xué)生經(jīng)歷假設(shè)的全過(guò)程，發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律為進(jìn)一步抽象成算式表征提供感性的經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

四、多層次練習(xí)，鞏固嘗試法

1．快速反應(yīng)。

（1）一個(gè)籠子里有雞和兔共35 只，它們的腳一共有130 只，雞和兔各有幾只？

（2）一個(gè)籠子里有雞和兔共35 只，它們的腳一共有80 只，雞和兔各有幾只？

2．過(guò)關(guān)練習(xí)。

有龜和鶴共40 只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112 條。龜和鶴各有多少只？

（1）理解題意。

（2）請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立解決。

（3）重點(diǎn)說(shuō)清怎么想的，說(shuō)清楚假設(shè)的整個(gè)過(guò)程。

（4）介紹：日本的“龜鶴算”問(wèn)題就是從我國(guó)的“雞兔同籠”問(wèn)題演變來(lái)的。

3．拓展提升。

師：我們一直都在研究籠里的雞和兔，它們可被我們逼急了，去了趟花果山，學(xué)會(huì)了十二般變化，藏在下面三個(gè)場(chǎng)景中，你們還能找到它們嗎？

春游：要參加春游，媽媽給了我20 張人民幣，告訴我一共是175元，其中只有5 元和10 元的兩種，你知道5 元和10 元各多少?gòu)垎幔?/p>

投籃：一名籃球運(yùn)動(dòng)員在一場(chǎng)比賽中一共投中9 個(gè)球，有2分球，也有3 分球，這名運(yùn)動(dòng)員一共得了21 分，他投中2 分球和3分球各多少個(gè)？

下棋：學(xué)校有象棋、跳棋，共26 副，恰好供120 個(gè)學(xué)生同時(shí)活動(dòng)，象棋2 人下一副，跳棋6 人一副，那么象棋和跳棋各幾副？

4.小結(jié)。

師：這里的雞不僅僅是雞，兔也不僅僅是兔，“雞兔同籠”只是這類問(wèn)題的一個(gè)統(tǒng)稱。生活中有許多類似“雞兔同籠”的問(wèn)題，也能用今天學(xué)習(xí)的方法去解決。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)層次的練習(xí)，旨在鞏固學(xué)生對(duì)本課核心方法“假設(shè)—比較—調(diào)整”的理解和掌握。鞏固解決雞兔同籠問(wèn)題的解題方法——列表法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。讓學(xué)生明白解決的方法都是假設(shè)法，并提煉出簡(jiǎn)單的問(wèn)題模型。把模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問(wèn)題情境中，促進(jìn)模型的進(jìn)一步內(nèi)化。】