兩法解決平衡的穩(wěn)定性問題

(紹興市第一中學(xué),浙江 紹興 312000)

物體的平衡狀態(tài)可分為穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡.在高中物理競賽教學(xué)中，經(jīng)常要求求解物體的平衡位置，并對(duì)其平衡的穩(wěn)定性進(jìn)行分析討論.對(duì)于這類問題，一般可以用以下兩種方法進(jìn)行求解.

1 力矩法

處于平衡狀態(tài)的物體，若受到外界擾動(dòng)而偏離平衡位置，將產(chǎn)生合外力力矩.如果合外力力矩是一個(gè)回復(fù)力矩，即此合外力力矩有把物體拉回原平衡位置的傾向，那么物體的平衡為穩(wěn)定平衡；如果合外力力矩有把物體推離平衡位置的傾向，那么物體的平衡為不穩(wěn)定平衡；如果既沒有回復(fù)原位又沒有遠(yuǎn)離原位的傾向，那么物體的平衡為隨遇平衡.

力矩法，即先通過力矩平衡找到平衡位置；再考慮偏離平衡位置后，偏移量的方向與所受合外力力矩的方向的關(guān)系，從而來判斷物體的平衡穩(wěn)定性.

例題.如圖1所示，半徑為R的圓環(huán)繞其鉛垂直徑以不變的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng).兩質(zhì)量為m的珠子用長為L=R的輕桿相連，套在圓環(huán)上可以無摩擦地滑動(dòng).試求輕桿在圓環(huán)上的平衡位置，用環(huán)心O與桿中點(diǎn)C的連線與豎直軸的夾角θ表示，并分析平衡的穩(wěn)定性.[1]

圖1 圖2

解析：(1) 先求輕桿在圓環(huán)上的平衡位置.

取隨環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，輕桿與珠子組成的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，系統(tǒng)受到重力2mg、環(huán)對(duì)兩小球指向環(huán)心的彈力N1、N2，以及慣性離心力f1、f2，受力分析如圖2所示，其中作用在上、下端珠子的慣性力f1、f2分別為

f1=mω2Rsin(θ+30°),

f2=mω2Rsin(θ-30°).

對(duì)豎直軸,系統(tǒng)所受合外力力矩為M=MG+Mf1+Mf2，其中

代入化簡可得

平衡時(shí)有M=0,解此方程,得系統(tǒng)平衡位置.

(2) 討論平衡位置的穩(wěn)定性.

微擾令系統(tǒng)偏離平衡位置，討論偏移量dθ的正負(fù)與對(duì)應(yīng)合外力力矩M的正負(fù)關(guān)系.若偏離平衡位置時(shí)，合外力力矩M一直為0，則為隨遇平衡；若偏離平衡位置的偏移量dθ的正負(fù)與合外力力矩M的正負(fù)一致，則為不穩(wěn)定平衡；相反的，則為穩(wěn)定平衡.

表1

2 勢(shì)能函數(shù)法

下面用勢(shì)能函數(shù)法重解上述例題.

取隨環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，輕桿與珠子組成的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，通過受力分析可知，該例中系統(tǒng)的勢(shì)能包含重力2mg對(duì)應(yīng)的重力勢(shì)能Epg、慣性離心力f1和f2對(duì)應(yīng)的離心勢(shì)能Ef1及Ef2.

同理,下端的珠子的離心勢(shì)能為

其中,r1=Rsin(θ+30°),r2=Rsin(θ-30°).

從而有系統(tǒng)的勢(shì)能E(θ)=Epg+Ef1+Ef2,即

從圖中可知，勢(shì)能函數(shù)的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)平衡位置，如圖3的A點(diǎn)和B點(diǎn)，圖4的C點(diǎn)、D點(diǎn)和E點(diǎn)；勢(shì)能函數(shù)的極大值位置對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定平衡位置，如圖3的B點(diǎn)，圖4的C點(diǎn)和E點(diǎn)；勢(shì)能函數(shù)的極小值對(duì)應(yīng)穩(wěn)定平衡位置，如圖3的A點(diǎn)和圖4的D點(diǎn).

圖3 勢(shì)能函數(shù)圖

圖4 勢(shì)能函數(shù)圖

因此可以令勢(shì)能函數(shù)對(duì)廣義坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)等于零，來求得平衡位置；然后利用勢(shì)能函數(shù)對(duì)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)在平衡位置取值的正負(fù)來判斷平衡是屬于穩(wěn)定平衡還是不穩(wěn)定平衡.

結(jié)論與方法1一致.

為討論平衡位置的穩(wěn)定性,計(jì)算勢(shì)能函數(shù)對(duì)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù),有

取極小值,屬于穩(wěn)定平衡.

3 方法應(yīng)用

圖5

如圖5所示,桿長l=a+b,質(zhì)心在C點(diǎn),桿的A、B兩端分別支于互相垂直的兩個(gè)光滑斜面上而處于平衡.試求出桿的平衡位置,并分析平衡的穩(wěn)定性.