偏心誤差對新型行星齒輪傳動系統(tǒng)均載特性的影響

朱增寶,徐 瑞,劉 春,程龍超

(安徽理工大學機械工程學院，安徽 淮南 232001)

微小型行星傳動廣泛應用于機器人傳動系統(tǒng)與其它微型精密機械中，微小型行星傳動主要存在傳動精度低、承載性能差、載荷分配不均的問題，使得行星傳動的優(yōu)勢在微小型精密機械傳動中得不到全面的體現(xiàn)。鑒于此，提出微小型行星輪雙排并聯(lián)多模數(shù)傳動系統(tǒng)，該系統(tǒng)由分流級與匯流級行星輪系組合構成的復合行星輪系，將原有分流級、匯流級單排平面均布的行星輪轉(zhuǎn)變成雙排空間均布；成倍增加嚙合輪齒，嚙合齒輪進行誤差補償，提高傳動精度；針對微小型行星傳動系統(tǒng)中太陽輪輪齒齒數(shù)較少，承載能力差的問題，采用多模數(shù)設計方法，增大有關太陽輪的壓力角，有效地增大太陽輪的承載性能[1]。

誤差直接影響齒輪傳動系統(tǒng)載荷分配的均勻性。考慮制造誤差與安裝誤差，文獻[2-3]分析行星輪系的均載特性，提出了使用動態(tài)均載系數(shù)衡量行星傳動系統(tǒng)的均載性能，并對該行星系統(tǒng)均載性能進行試驗驗證；文獻[4]針對齒廓形誤差和偏心誤差對行星輪系的均載特性做了詳盡的分析；文獻[5-8]采用實驗的方法分析了行星架與齒輪的制造誤差對行星傳動系統(tǒng)的靜態(tài)均載特性的影響；文獻[9-10]用平面有限元接觸模型和三維GASM模型研究行星架與齒輪安裝誤差對系統(tǒng)均載特性的影響；文獻[11]用靜力學的方法，研究了傳動系統(tǒng)的均載性能；文獻[12]分析了誤差對封閉行星齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性的影響；文獻[13-14]研究了誤差對復合行星輪系的均載影響，并建立虛擬樣機進行仿真分析；文獻[15]通過建立非線性扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型，分析了誤差及誤差相位對單個或多個構件的動態(tài)均載特性的影響；文獻[16]從齒輪副動態(tài)嚙合力著手，研究了齒輪偏心誤差對行星傳動系統(tǒng)的均載特性分析。文獻[17]研究了行星齒輪的制造誤差、動力學特性。文獻[18]通過動力學方法研究了均載系數(shù)與載荷的關系，得出均載系數(shù)與齒輪傳動中零件的誤差直接相關。盡管國內(nèi)外學者專家做了大量有關行星傳動輪系均載特性的研究，但在建立傳動系統(tǒng)力學模型時大都采用集中質(zhì)量法，將齒輪簡化為一個質(zhì)量點，齒輪間的嚙合作用則用剛度和阻尼代替，基于集中參數(shù)法研究得出結果與試驗結果差距較大，這種研究方法對于研究齒輪傳動系統(tǒng)均載特性的合理性有待商榷。本文考慮了偏心誤差對齒輪彈性形變的影響，參考前蘇聯(lián)的行星齒輪傳動設計方面的權威設計文獻《行星齒輪傳動手冊》[19]212-228中的彈性力學分析法，推導出偏心誤差對微小型行星輪雙排并聯(lián)多模數(shù)傳動系統(tǒng)的載荷分配系數(shù)公式，對該行星傳動系統(tǒng)的均載性能作出分析。研究工作對微小型行星傳動系統(tǒng)各關鍵部件的加工制造精度等級的選擇提供了理論依據(jù)。

1 傳動系統(tǒng)模型

微小型行星輪雙排并聯(lián)多模數(shù)行星傳動系統(tǒng)原理圖如圖1所示，由太陽輪Zs、行星架H、固定內(nèi)齒圈Zr、分流級左側(cè)行星輪Zpli、分流級右側(cè)行星輪Zpri(i=1，2，3)、匯流級左側(cè)行星輪Zmlj、匯流級右側(cè)行星輪Zmrj(j=1，2，3)、輸出內(nèi)齒圈Ze和輸出軸L組成。

輸入轉(zhuǎn)矩Ma經(jīng)輸入軸傳遞至太陽輪Zs，再分流給分流級左側(cè)行星輪Zpli與分流級右側(cè)行星輪Zpri，左右兩側(cè)行星輪在空間均布，行星架H負責支撐分流級與匯流級的行星輪，分流級行星輪經(jīng)花鍵軸將轉(zhuǎn)矩傳遞至匯流級左側(cè)行星輪Zmlj與匯流級右側(cè)行星輪Zmrj，由匯流級行星輪與輸出內(nèi)齒圈Ze嚙合，將轉(zhuǎn)矩匯流由輸出軸L輸出。

圖1 微小型行星輪雙排并聯(lián)多模數(shù)行星傳動原理圖

該傳動系統(tǒng)太陽輪尺寸較小，齒數(shù)少，承載較大，采用傳統(tǒng)設計方案設計的太陽輪易損壞，因此太陽輪與分流級行星輪的嚙合方案采用多模數(shù)方法設計，令太陽輪、分流級行星輪模數(shù)為ms、mpi，壓力角為αs、αpi，若滿足mscosαs=mpicosαpi，則太陽輪與分流級行星輪便可正確嚙合，通過改變參數(shù)使得壓力角接近28°，該壓力角下的承載能力是壓力角為20°標準齒輪的2.5倍，以此增強太陽輪的承載能力[1]215-244。

2 偏心誤差等效彈性形變公式推導

中心輪(太陽輪Zs和輸出內(nèi)齒圈Ze)同行星輪嚙合時的彈性形變主要取決于齒輪的偏心誤差、安裝誤差、齒頻誤差[19]193-211。限于篇幅，本文僅研究偏心誤差對分流級與匯流級載荷分配系數(shù)的影響，安裝誤差、齒頻誤差的影響暫不考慮。

分流級偏心誤差主要有，太陽輪的偏心誤差Es、分流級行星輪的偏心誤差Epi和行星架偏心誤差EH。偏心誤差影響各級嚙合副齒輪輪齒的彈性形變，嚙合線方向的彈性形變影響輪齒間載荷，嚙合方向的偏心誤差等效嚙合線方向的彈性形變[19]212-228， 分流級外嚙合副的彈性形變Δi是偏心誤差在該嚙合副嚙合線方向的投影疊加， 由下式表示

Δi=es+epi+eH

(1)

式中：es、epi和eH為分別太陽輪Zs、分流級左右排行星輪和行星架H的偏心誤差在分流級外嚙合線方向的投影。

圖2為分流級外嚙合副偏心誤差與嚙合方向的角度關系，以極坐標的方式表達了齒輪偏心誤差的數(shù)值與方向。Es、Epi和EH分別表示太陽輪、分流級行星輪和行星架偏離原有旋轉(zhuǎn)中心的偏移量。

圖2中βs、βpi和βH分別為太陽輪、分流級行星輪和行星架的初始相位；αsp為實際嚙合角；φi為第i(i=1，2，…，n)個分流級行星輪的位置角。

圖2 分流級偏心誤差投影到嚙合線上

將太陽輪的偏心誤差Es、分流行星輪的偏心誤差Epi、行星架偏心誤差EH在外嚙合線方向投影得到

(2)

匯流級內(nèi)嚙合副輪齒的彈性形變Δj處理方式與分流級相同，由下式表示

(3)

圖3為匯流級偏心誤差與內(nèi)嚙合線方向的角度關系，以極坐標的方式表達了齒輪偏心誤差的數(shù)值與方向。

圖3中βe、βmj分別為輸出內(nèi)齒圈、匯流級行星輪的初始相位；αem為實際嚙合角；φj為第j(j=1，2，…，m)個匯流級行星輪的位置角。

圖3 匯流級偏心誤差投影到嚙合線上

因此將匯流級偏心誤差在內(nèi)嚙合線方向投影得到

(4)

3 載荷分配系數(shù)公式推導

令Ωi表示第i(i=1，2，…，n)個分流級行星輪的載荷分配系數(shù)，Ωj表示第j(j=1，2，…，m)個匯流級行星輪的載荷分配系數(shù)，其表示如(5)式

(5)

式(5)中：Pn、Pm分別為分流級、匯流級行星輪嚙合時平均法向作用力，其表示如(6)式

(6)

式(6)中：Ms、Me表示太陽輪Zs、輸出內(nèi)齒圈Ze處轉(zhuǎn)矩；(dw)s、(dw)e表示太陽輪Zs、輸出內(nèi)齒圈Ze節(jié)圓直徑；n、m為分流級、匯流級行星輪個數(shù)。

式(5)中Pni、Pmj分別為分流級第i個行星輪、匯流級第j個行星輪嚙合時法向作用力，其表示如下式

(7)

式(7)中：PΔi、PΔj分別為分流級、匯流級嚙合副輪齒彈性形變引起的法向作用力。

在傳動系統(tǒng)中，忽略齒輪輪緣柔度的影響，分流級嚙合副輪齒彈性變形Δi與法向作用力之間的關系為[19]212-228

(8)

(9)

式(8)、式(9)中，(bw)s、(bw)r分別為太陽輪Zs、固定內(nèi)齒圈Zr的嚙合齒寬；(Ct∑)s、(Ct∑)r分別為太陽輪Zs、固定內(nèi)齒圈Zr的嚙合輪齒比剛度；Cr∏為分流級行星輪軸承徑向剛度。

匯流級行星輪同輸出內(nèi)齒圈彈性變形Δj與法向作用力之間的關系與分流級類似

(10)

(11)

式(10)、式(11)中：(bw)e為輸出內(nèi)齒圈Ze嚙合齒寬；(Ct∑)e為輸出內(nèi)齒圈Ze嚙合輪齒比剛度；CrX為匯流級行星輪軸承徑向剛度。

將式(2)帶入式(1)，式(4)帶入式(3)得到分流級與匯流級的彈性形變Δi、Δj；再將得到的彈性形變Δi、Δj分別帶入式(8)與式(10)，計算出彈性形變引起的分流級、匯流級齒輪嚙合時的法向載荷PΔi、PΔj，將式(6)計算出的結果與PΔi、PΔj共同帶入式(7)，再通過式(5)得到Ωi、Ωj為

(12)

取Ωi最大值為分流級均載系數(shù)以Ωn表示，取Ωj最大值為匯流級均載系數(shù)以Ωm表示。則該行星傳動系統(tǒng)均載系數(shù)為

(13)

4 均載特性分析

本文針對某機器人用微小型行星輪雙排并聯(lián)多模數(shù)齒輪變速器進行分析研究，變速器主要參數(shù)有：輸入轉(zhuǎn)速1 215r/min；輸出轉(zhuǎn)速15r/min；輸入功率0.84kW；輸入轉(zhuǎn)矩Ms=5 100 N·mm；分流級行星輪個數(shù)n=6，太陽輪Zs=18，模數(shù)ms=0.90mm，壓力角αs=20°，嚙合齒寬(bw)s=79mm，分流級行星輪Zpli=Zpri=81，模數(shù)mpi=0.95mm，壓力角αpi=27.5°，固定內(nèi)齒圈Zr=180，模數(shù)mr=0.90mm，壓力角αr=20°，(bw)r=81mm；匯流級行星輪個數(shù)m=6，Zmlj=Zmrj=63，輸出內(nèi)齒圈Ze與行星輪模數(shù)mmj=me=0.90mm，壓力角αmj=αe=20°，齒數(shù)Ze=162，輸出內(nèi)齒圈Ze嚙合齒寬(bw)e=60mm；各齒輪的輪齒比剛度為14 000 N·mm2；分流級行星輪軸承徑向剛度Cr∏=500 000N/mm，匯流級行星輪軸承徑向剛度CrX=550 000N/mm。各齒輪與行星架的偏心誤差與初始相位如表1～表2所示。

表1 系統(tǒng)偏心誤差 μm

表2 系統(tǒng)偏心誤差初始相位 (°)

(1) 偏心誤差對系統(tǒng)均載系數(shù)的影響

為研究偏心誤差對該傳動系統(tǒng)的行星輪均載特性的影響，通過式(12)計算出分流級與匯流級行星輪的載荷分配系數(shù)，得到各級載荷分配系數(shù)隨嚙合時間變化的曲線如圖4和圖5所示。

圖4 分流級載荷分配系數(shù)

圖5 匯流級載荷分配系數(shù)

分流級均載曲線波動較大，匯流級均載曲線較為平穩(wěn)，分流級均載系數(shù)為1.050 6，匯流級均載系數(shù)為1.028 3，匯流級均載性能優(yōu)于分流級。匯流級處于動力輸出端，轉(zhuǎn)矩遠大于輸入端，匯流級的載荷遠比分流級載荷大，載荷越大越均載[19]212-228，所以匯流級載荷分配更均勻。

(2)單個偏心誤差對分流級均載系數(shù)的影響

分析單個誤差對分流級載荷分配的影響，假設研究單個誤差的影響，同級其余兩個偏心誤差不變，得到分流級均載系數(shù)與偏心誤差Es、Epi、EH變化關系如圖6～圖8所示。

偏心誤差Es/μm圖6 偏心誤差Es對分流級均載系數(shù)影響

偏心誤差Epi/μm圖7 偏心誤差Epi對分流級均載系數(shù)影響

偏心誤差EH/μm圖8 偏心誤差EH對分流級均載系數(shù)影響

由圖6～圖8可見，偏心誤差越大，均載系數(shù)越大，原因是偏心誤差越大引起的彈性形變越大，載荷分配越不均勻[20]；對比圖6、圖7、圖8可見，行星架偏心誤差EH對分流級行星輪載荷分配有顯著的影響，因為行星架的偏心誤差，會導致安裝在行星架上的行星輪位置產(chǎn)生偏移，行星輪本身存在偏心誤差加上行星架偏心誤差產(chǎn)生的位移，導致輪齒的彈性形變更大，載荷分配更不均勻；對比圖6、圖7、圖8可見，行星輪偏心誤差的變化對均載系數(shù)的影響最小，由于雙排行星輪的行星輪個數(shù)增加一倍，嚙合齒數(shù)極具增大情況下的誤差補償效果很好，平衡了載荷，所以行星輪偏心誤差的變化對分流級均載性能影響最小。

(3) 單個偏心誤差對匯流級均載系數(shù)的影響

匯流級行星輪均載性能分析方法同分流級，匯流級行星輪均載系數(shù)隨偏心誤差Ee、Emj、EH變化關系如圖9～圖11所示。

偏心誤差Ee/μm圖9 偏心誤差Ee對匯流級均載系數(shù)影響

偏心誤差Emj/μm圖10 偏心誤差Emj對分流級均載系數(shù)影響

偏心誤差EH/μm圖11 偏心誤差EH對分流級均載系數(shù)影響

由圖9～圖11可見，匯流級偏心誤差對該級均載性能影響較分流級小，驗證了之前提出的匯流級均載性能優(yōu)于分流級的結論；行星架偏心誤差EH對匯流級均載性能影響較其它誤差大，與分流級相同，其原因是行星架作為連接分流級與匯流級的重要部件，其偏心誤差直接導致兩級行星輪嚙合位置發(fā)生偏移，導致嚙合副輪齒彈性形變變大，均載效果變差；匯流行星輪偏心誤差對匯流級均載性能影響效果同分流級，較同級其它兩個誤差的影響是最小的。

5 結論

(1) 在偏心誤差作用下，分流級均載系數(shù)為1.050 6，匯流級均載系數(shù)為1.028 3，匯流級均載系數(shù)小于分流級，匯流級均載性能優(yōu)于分流級。

(2) 行星架作為連接分流級與匯流級的重要部件，其偏心誤差對兩級的均載系數(shù)影響均比同級其他偏心誤差影響大。

(3) 雙排行星輪嚙合齒數(shù)急劇增大，誤差補償效果很好，平衡了載荷，所以行星輪偏心誤差對兩級的均載性能影響最小。