參數(shù)方程解決圓錐曲線問題的應(yīng)用

摘 要：本文應(yīng)用參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中的定值、定量、最值等問題。圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。圓錐曲線方程的解析方法，代數(shù)方法在平面曲線中發(fā)揮著強(qiáng)大的作用，解決這一類問題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。在本文中對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中遇到的定值、定量、最值等問題的應(yīng)用進(jìn)行研究分析。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定值；定量；最值

一、 定值問題

【例1】 （2016·北京卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值。

解：（1）解由題意知a=2，b=1，c=a2-b2=3。橢圓離心率e=ca=32。

（2）證明：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2cosθ，sinθ）θ∈π，3π2，由B點(diǎn)坐標(biāo)（0，1）得直線PB方程為：y-1=sinθ-12cosθ（x-0），令y=0，得xN=2cosθ1-sinθ，從而|AN|=2-xN=2-2cosθ1-sinθ，

由A點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）得直線PA方程為y-0=sinθ2cosθ-2（x-2），令x=0，得yM=sinθ1-cosθ，

從而|BM|=1-yM=1-sinθ1-cosθ，所以S四邊形ABNM=12|AN|·|BM|=122-2cosθ1-sinθ·1-sinθ1-cosθ=1-sinθ1-cosθ-cosθ1-sinθ+sinθcosθ（1-cosθ）（1-sinθ）=2-2sinθ-2cosθ+2sinθcosθ1-sinθ-cosθ+sinθcosθ=2。

即四邊形ABNM的面積為定值2。

評注：本題考查橢圓方程的求解和橢圓與直線相交的面積等值問題，應(yīng)用直線與曲線相交的代數(shù)方法可以解決，也可以應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程解決。

二、 定量相等

【例2】 如圖所示，已知AB、CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩條相交于點(diǎn)P的弦，AB、CD與x軸的夾角互補(bǔ)，求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|。

證明：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則直線AB的參數(shù)方程為

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t為參數(shù)）

代入x2a2+y2b2=1（a>b>0）并整理，得到

（b2cos2α+a2sin2α）t2+（2b2x0cosα+2a2y0sinα）t+b2x20+a2y20-a2b2=0（1）

已知直線AB與橢圓有兩個交點(diǎn)，方程（1）有兩個根。設(shè)這兩個根分別為t1，t2，則

|PA|·|PB|=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α（2）

直線CD與AB的傾斜角互補(bǔ)，則直線的傾斜角為π-a，則

|PC|·|PD|=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2（π-α）+a2sin2（π-α）=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α=|PA|·|PB|

|PA|·|PB|=|PC|·|PD|

評注：本題考查圓錐曲線與直線相交問題，應(yīng)用直線與曲線相交的代數(shù)方法可以解決，但是計算量比較大，而我們應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，解決了本題中的等值問題，充分體現(xiàn)了參數(shù)方程解決等值問題的優(yōu)點(diǎn)和好處。

三、 最值問題

【例3】 （2016·四川卷）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動點(diǎn)P，M滿足|AP|=1，PM=MC，求|BM|2的最大值。

解：已知∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.以D為原點(diǎn)，直線DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

|AP|=1，得（x-2）2+y2=1，圓的參數(shù)方程為x=2+cosθy=sinθ（θ為參數(shù)）。則P（2+cosθ，sinθ）。又PM=MC，∴Mcosθ+12，sinθ+32，∴BM=cosθ+32，sinθ+332，

∴|BM|2=（cosθ+3）2+（sinθ+33）24=37+12sinθ+π64，當(dāng)sinθ+π6=1時，（|BM|2）max=494。

評注：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，要求解向量模的平方的最大值，用圓的參數(shù)方程表示圓上的點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的最值得出向量模的平方的最大值。因此本題用參數(shù)方程簡化了計算，并且充分體現(xiàn)了參數(shù)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。由上可知，應(yīng)用參數(shù)方程可以快速地解決有些圓錐曲線問題，這讓我們在面對有些束手無策的圓錐曲線題目能從容應(yīng)對。

作者簡介：

郭慧玲，甘肅省武威市，武威市第六中學(xué)。