基于ABAQUS的水工混凝土細(xì)觀分析周期性邊界條件自動施加

黃葉飛 徐 磊 劉 杰 荊帥召 周昌巧 金永苗

(1.中冶華天南京工程技術(shù)有限公司,南京 210019;2.河海大學(xué) 水利水電工程學(xué)院,南京 210098;3.重慶市水利電力建筑勘測設(shè)計研究院,重慶 400020)

隨著數(shù)值分析方法的發(fā)展和計算機技術(shù)的進步,在混凝土結(jié)構(gòu)分析中開展宏細(xì)觀相結(jié)合的多尺度結(jié)構(gòu)分析方法已成為當(dāng)前的研究熱點之一.

相對于基于給定的混凝土材料宏觀本構(gòu)模型并在單一宏觀尺度上開展混凝土結(jié)構(gòu)分析,在多尺度分析中混凝土材料的宏觀力學(xué)行為是直接基于細(xì)觀分析結(jié)果給出的,理論上具有更高的精度.在多尺度分析中為實現(xiàn)宏觀尺度與細(xì)觀尺度間的連接,通常需要為宏觀尺度上的任一材料點賦予一個細(xì)觀尺度上的代表性體積單元(RVE),繼而通過降尺度技術(shù)將宏觀應(yīng)變轉(zhuǎn)化為細(xì)觀RVE的邊界條件,并開展細(xì)觀分析得到RVE的細(xì)觀力學(xué)響應(yīng),在此基礎(chǔ)上,通過升尺度技術(shù)(計算均勻化),將細(xì)觀尺度上的計算結(jié)果轉(zhuǎn)化為宏觀尺度計算所需的本構(gòu)行為[1-2].

如前所述,將宏觀應(yīng)變轉(zhuǎn)化為細(xì)觀RVE的邊界條件是實現(xiàn)尺度連接的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一.目前,常用的細(xì)觀RVE邊界條件主要有均勻應(yīng)變(Dirichlet)邊界條件、均勻應(yīng)力(Neuman)邊界條件以及周期性邊界條件.研究表明[3],隨著RVE尺寸的增大,Dirichlet和Neuman邊界條件下的結(jié)果會分別從上限和下限逼近周期性邊界條件下的結(jié)果.對于固定尺寸的RVE,相比其他兩種邊界條件,周期性邊界條件得到的材料宏觀有效性能更加精準(zhǔn).因而,在混凝土結(jié)構(gòu)的多尺度分析中,周期性邊界條件是較為理想的選擇.

現(xiàn)階段,周期性邊界條件的施加方法多采用手動人工操作的方法.對于水工混凝土而言,由于其骨料尺寸相對較大,相應(yīng)的RVE尺寸也較大,這意味著其邊界結(jié)點數(shù)量眾多,當(dāng)采用常規(guī)的手動方法對RVE施加周期性邊界條件時,需要將相對邊界上的節(jié)點一一匹配,逐點施加邊界約束.在混凝土細(xì)觀數(shù)值分析過程中,該方法存在操作繁瑣,工作量巨大的弊端.而且在當(dāng)前的研究工作中,對此問題仍然缺乏有效的解決方案.鑒于此,本文以周期性邊界條件理論為基礎(chǔ),并結(jié)合有限元計算軟件ABAQUS平臺,提出了周期性邊界條件自動施加的方法,給出了具體的實施流程,開發(fā)了基于ABAQUS的混凝土細(xì)觀分析周期性邊界條件自動施加程序.最后,通過算例分析驗證了該方法的可行性.

1 周期性邊界條件

在多尺度分析方法中,假設(shè)混凝土結(jié)構(gòu)在宏觀尺度上的任一積分點X都有相應(yīng)的RVE與之關(guān)聯(lián),其中RVE的區(qū)域是V,邊界是?V,如圖1所示.

圖1 RVE選取示意圖

在均勻化理論中,RVE上所施加的邊界條件應(yīng)滿足宏觀、細(xì)觀變形能量相等的條件,即Hill-Mandel條件.Hill-Mandel條件如下:

根據(jù)虛功原理,外力在容許位移上做的功等于應(yīng)力在容許應(yīng)變上做的功.在不考慮體力的情況下,公式為:

故可將Hill-Mandel條件改寫為:在細(xì)觀分析中,RVE邊界上的細(xì)觀位移場可分為均勻應(yīng)變場和位移波動場,即

將式(4)代入到(3)式,可得Hill-Mandel的簡化公式:

對于一個二維的RVE幾何結(jié)構(gòu),如圖2所示,V1,V2,V3,V4為RVE的4個頂點,?V+和?V-為邊界?V的正負(fù)兩個部分.在RVE的邊界上施加周期性邊界條件,要求其相對邊界上的節(jié)點分布相同,同時滿足位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)條件,即相對邊上的節(jié)點位移相同,應(yīng)力矢量大小相等,方向相反.周期性邊界條件的特征可用下式表示:

圖2 RVE的幾何結(jié)構(gòu)

可以發(fā)現(xiàn)將式(6)和式(7)代入到式(5)的Hill-Mandel定理中等式仍然成立,說明在RVE上施加周期性邊界是滿足Hill-Mandel條件的.

2 周期性邊界的自動施加

對于RVE模型而言,其邊界條件是由宏觀應(yīng)變場轉(zhuǎn)換成的細(xì)觀尺度上邊界節(jié)點的位移來決定的[4].在定義RVE邊界條件時,頂點V1在x和y方向的位移被約束,通過在其他邊界節(jié)點上施加相應(yīng)的位移約束來定義邊界條件.對于圖2所示的RVE結(jié)構(gòu),邊界節(jié)點的具體位移值如下所示:

其中,u表示細(xì)觀尺度上節(jié)點的位移,上標(biāo)V1,V2,V3,V4表示RVE 4個頂點的節(jié)點編號,從左下角開始逆時針方向排序,而LR和TB分別表示RVE左右邊界和上下邊界上的節(jié)點編號;下標(biāo)1,2表示節(jié)點的自由度;ε和γ表示宏觀的應(yīng)變分量;L x和L y分別表示RVE水平和豎直方向的尺寸.

根據(jù)式(4)和(6),可將周期性邊界條件改寫為:

在ABAQUS中,周期性邊界條件的施加,一般是通過在RVE相對邊界上的相應(yīng)節(jié)點處使用約束方程來實現(xiàn)的(可參考ABAQUS幫助文檔),約束方程的具體形式如下:

其中,A1,A2,A N是定義節(jié)點相對運動的系數(shù);P,Q,R是節(jié)點的編號;i,j,k是節(jié)點自由度,如1,2,3分別表示x,y,z方向;^u是指定的位移約束,作為邊界條件使用.

為了方便在ABAQUS定義周期性邊界條件,引入了虛擬節(jié)點這個概念[5].將式(15)改寫為:

其中表示虛擬節(jié)點Z在s方向的位移值.定義虛擬節(jié)點時,應(yīng)注意的是虛擬節(jié)點Z的編號要足夠大,不能與模型中的節(jié)點編號重復(fù),且虛擬節(jié)點的坐標(biāo)位置不能與模型的任何部分相連.

在ABAQUS的input文件中,使用命令*E-quation去定義這個約.

周期性邊界條件的自動施加是建立在混凝土細(xì)觀有限元模型的基礎(chǔ)上.首先需要將混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分,獲取所有單元節(jié)點的編號以及坐標(biāo)等信息.有限元網(wǎng)格劃分時,相對邊界上的網(wǎng)格密度應(yīng)相同.

在獲取有限元模型的數(shù)據(jù)信息后,本文基于周期性邊界條件理論以及ABAQUS的input計算文件的格式要求,編制了相應(yīng)程序用以實現(xiàn)周期性邊界條件的自動施加,圖3為相應(yīng)程序的流程圖.

圖3 程序流程圖

下面對程序中的約束方程進行詳細(xì)說明.為了在有限元分析中應(yīng)用周期性邊界條件,程序引入了3個虛擬節(jié)點Set-dummy-XX、Set-dummy-XY、Set-dummy-YY,節(jié)點編號設(shè)為100000、100001、100002,坐標(biāo)設(shè)為(-10,10)、(-10,0)、(10,0).然后使用下述命令行對邊界節(jié)點施加約束方程.

最后,定義一個加載步,在該加載步中指定虛擬節(jié)點所對應(yīng)的宏觀應(yīng)變分量.具體命令行如下:

3 算例驗證

為驗證2中所提到的周期性邊界自動施加程序的正確性,取一個300 mm×300 mm的二維水工混凝土試件進行算例分析.

在本項研究中,認(rèn)為混凝土在細(xì)觀尺度上是由骨料、砂漿以及界面過渡區(qū)(ITZ)3部分構(gòu)成的.考慮到水工混凝土的實際結(jié)構(gòu),骨料的幾何形狀被定為不規(guī)則多邊形,界面過渡區(qū)則是用骨料和砂漿之間具有一定厚度的界面表示,砂漿被認(rèn)為是連續(xù)均勻材料.混凝土試件中骨料含量為50%,骨料級配采用常用的混凝土三級配曲線,其中小石∶中石∶大石的比例為3∶3∶4.根據(jù)蒙特卡洛原理以及take-and-place方法,生成混凝土試件的隨機骨料結(jié)構(gòu).詳細(xì)步驟見文獻[6].混凝土試件的隨機骨料結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 混凝土試件的幾何模型

在材料的本構(gòu)模型方面,對于骨料采用各向同性線彈性模型,對于砂漿和ITZ則采用CDP模型,而ITZ是混凝土材料中的薄弱環(huán)節(jié),其相應(yīng)材料參數(shù)均取為砂漿參數(shù)的0.75倍.

為了使混凝土細(xì)觀材料參數(shù)更加符合實際,依據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范(GB50010-2010)》[7]中給出的C20混凝土單軸受拉應(yīng)力應(yīng)變曲線,反演出砂漿和ITZ的力學(xué)參數(shù),表1給出了混凝土細(xì)觀組成的力學(xué)參數(shù).

表1 混凝土細(xì)觀組成的力學(xué)參數(shù)

根據(jù)混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu),借助于有限元軟件平臺ABAQUS,可實現(xiàn)混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格剖分,圖5為混凝土試件的有限元模型,其中骨料位置用紅色突出顯示.網(wǎng)格密度設(shè)為骨料最小粒徑的0.4倍,保證了相對邊界上節(jié)點一一對應(yīng).

圖5 混凝土試件的有限元模型

采用2中提出的自動施加周期性邊界條件的方法,對混凝土有限元模型施加3種不同的約束,包括主軸方向的拉伸和平面內(nèi)的剪切,這3種工況邊界條件下的宏觀應(yīng)變分量見表2.

表2 RVE的邊界條件

圖6～7為工況1邊界條件下的變形圖和等效應(yīng)力圖,圖8～9為工況2邊界條件下的變形圖和等效應(yīng)力圖,圖10～11為工況3邊界條件下的變形圖和等效應(yīng)力圖.

圖6 工況1變形圖

圖7 工況1等效應(yīng)力圖

圖8 工況2變形圖

圖9 工況2等效應(yīng)力圖

圖10 工況3變形圖

圖11 工況3等效應(yīng)力圖

由圖6、圖8和圖10可以發(fā)現(xiàn),在3種不同工況下,混凝土試件相對邊界都表現(xiàn)出變形形態(tài)相同,位移差相等的特點,滿足周期性邊界位移連續(xù)的要求;由圖7、圖9和圖11可以發(fā)現(xiàn),在3種不同工況下,混凝土試件的應(yīng)力分布并不均勻,但是相對邊界的對應(yīng)區(qū)域呈現(xiàn)應(yīng)力一致的特點,滿足周期性邊界應(yīng)力連續(xù)的要求.綜上,可以證明本文所提出的方法滿足周期性邊界正確施加的兩個基本特征:位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù),驗證了本文方法的正確性.

與此同時,相比手動施加周期性邊界條件方法的繁瑣耗時,由于本文采用的是自動施加,在操作上更加便捷,施加速度也具有明顯的優(yōu)勢.

4 結(jié) 語

針對水工混凝土細(xì)觀分析中周期性邊界條件施加存在操作繁瑣,耗時過長等問題,本文以周期性邊界條件理論為基礎(chǔ),結(jié)合有限元計算軟件ABAQUS,提出了周期性邊界條件自動施加方法,并通過算例對本文所提方法進行了驗證.在3種不同工況下,使用本文方法對混凝土細(xì)觀數(shù)值模型施加周期性邊界條件.結(jié)果表明,本文所提方法滿足周期性邊界條件位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)的基本要求,且操作便捷,周期性邊界條件施加速度顯著提升,在水工混凝土細(xì)觀分析中具有較好的可行性.