基于廣義最小最大凹懲罰項(xiàng)的ISAR稀疏成像方法*

楊 力，魏中浩，張冰塵，盧曉軍

(1 中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所 中國(guó)科學(xué)院空間信息處理與應(yīng)用系統(tǒng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100190； 2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049； 3 中國(guó)國(guó)際工程咨詢公司， 北京 100048)

逆合成孔徑雷達(dá)(inverse synthetic aperture radar，ISAR)成像技術(shù)通過(guò)距離向脈沖壓縮和方位向目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形成合成孔徑，將目標(biāo)場(chǎng)景的散射特性映射為方位-距離平面[1-2]。隨著壓縮感知(compressed sensing，CS)[3-4]理論的提出和完善，稀疏重構(gòu)方法在雷達(dá)成像中得到越來(lái)越多的應(yīng)用[5]。與匹配濾波方法相比，稀疏重構(gòu)方法可以通過(guò)較少的測(cè)量數(shù)據(jù)恢復(fù)目標(biāo)場(chǎng)景。在稀疏重構(gòu)模型中，L1范數(shù)最小化方法是一種常見(jiàn)的選擇[6]，但是L1懲罰項(xiàng)為重構(gòu)結(jié)果帶來(lái)了一定的誤差，尤其是對(duì)目標(biāo)的后向散射截面積有一定程度的低估[7]。對(duì)于上述問(wèn)題，可以利用非凸優(yōu)化懲罰項(xiàng)進(jìn)行稀疏重構(gòu)，避免對(duì)目標(biāo)后向散射截面積的低估。但是基于非凸優(yōu)化懲罰項(xiàng)的重構(gòu)模型往往為非凸函數(shù)，容易收斂到局部極小值[8]。廣義最小最大凹優(yōu)化[9](generalized minimax concave, GMC)懲罰項(xiàng)是一種非凸懲罰項(xiàng)，但是基于GMC懲罰項(xiàng)的最小二乘損失函數(shù)是凸優(yōu)化函數(shù)，所以基于GMC的重構(gòu)模型既有非凸優(yōu)化重構(gòu)的高精度的特點(diǎn)，又避免了迭代收斂到局部最小值。

本文將基于GMC的重構(gòu)模型引入ISAR成像當(dāng)中，然后用前向-后向算法[10]求解該模型。與基于L1范數(shù)最小化方法的重構(gòu)結(jié)果相比，該方法避免了對(duì)ISAR中目標(biāo)后向散射截面積的低估，有更高的幅度重構(gòu)精度。仿真和實(shí)際數(shù)據(jù)處理結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 基于壓縮感知的ISAR成像模型

ISAR成像轉(zhuǎn)臺(tái)模型如圖1所示。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號(hào)為

(1)

圖1 目標(biāo)轉(zhuǎn)臺(tái)模型示意圖Fig.1 ISAR model

(2)

式中：λ表示信號(hào)波長(zhǎng)，c為光速，σp為散射點(diǎn)p的反射系數(shù)。通常情況下ISAR目標(biāo)由多個(gè)散射中心組成，假設(shè)散射中心數(shù)為P，公式(2)可進(jìn)一步寫(xiě)為

(3)

(4)

式中：fp表示第p個(gè)散射中心的多普勒頻率，Ta為方位向積累時(shí)間。對(duì)慢時(shí)間tm和多普勒頻率fd離散化，可得tm=[1∶M]·Δtm，fd=[1∶M]·Δfd，M為方位向采樣點(diǎn)數(shù)。建立傅里葉矩陣FM為

(5)

=Fσ+n，

(6)

式中:σ表示后向散射系數(shù)向量，n表示加性噪聲向量。

ISAR圖像是目標(biāo)在距離-多普勒2維平面的分布，ISAR目標(biāo)尺寸有限，在較小的觀測(cè)角度內(nèi)，ISAR圖像可以認(rèn)為由散射點(diǎn)組成，并且強(qiáng)散射點(diǎn)僅占整個(gè)成像平面非常少的像素單元，這說(shuō)明ISAR圖像有很強(qiáng)的稀疏性。式(6)即為基于稀疏處理的ISAR成像模型。進(jìn)一步要獲得ISAR的成像結(jié)果，實(shí)際上就是對(duì)式(6)進(jìn)行求解。上式是典型的壓縮感知模型，采用稀疏重構(gòu)算法即可得到后向散射系數(shù)σ，將σ重新排成二維矩陣即是目標(biāo)的ISAR成像結(jié)果。

2 ISAR稀疏重構(gòu)方法

2.1 L1范數(shù)最小化方法

稀疏重構(gòu)方法有凸優(yōu)化方法[11]、非凸優(yōu)化方法[12]、貪婪算法[13]和貝葉斯算法[14]，其中較為常用的是基于L1范數(shù)的凸優(yōu)化方法。

通常使用的方法是加入正則項(xiàng)使最小二乘損失函數(shù)最小化，即

(7)

其中λ為正則化參數(shù)，當(dāng)懲罰項(xiàng)為L(zhǎng)1范數(shù)時(shí)，可以用迭代軟閾值算法(iterative shrinkage-thresholding，IST)對(duì)上式進(jìn)行求解[15-16]。迭代公式如下

x(i+1)=fλμ(xi-μFH(s-Fxi))，

(8)

其中

(9)

式中：μ為控制收斂性的參數(shù)，sign為符號(hào)函數(shù)，軟閾值函數(shù)如圖2(a)所示。

圖2 軟閾值函數(shù)和firm閾值函數(shù)Fig.2 Soft threshold function and firm threshold function

2.2 GMC懲罰項(xiàng)方法

GMC是最小最大凹(minimax concave, MC)懲罰項(xiàng)的一種推廣[9]。本文以MC懲罰項(xiàng)[17]來(lái)推導(dǎo)GMC方法避免幅值系統(tǒng)性低估的原理。在下面這個(gè)式子中，令λ>0且a∈

(10)

其中，MC懲罰項(xiàng)的φb等于

(11)

如果b2≤a2/λ，那么f就是凸函數(shù)。當(dāng)f為凸函數(shù)時(shí)，f的極小值由firm閾值函數(shù)給出

firm(y;λ1,λ2)=

(12)

其中，λ1>0，λ2>λ1為自由調(diào)節(jié)參數(shù)，當(dāng)λ2→λ1或者λ2→∞時(shí)，firm閾值函數(shù)分別接近于硬閾值或者軟閾值函數(shù)，firm函數(shù)如圖2(b)所示。在恢復(fù)較大幅值時(shí)，firm閾值函數(shù)保證了其原有值大小，所以它不會(huì)導(dǎo)致高幅值的低估[9]。

將MC懲罰項(xiàng)推廣到多元，即GMC。令B∈M×N，B為由F約束的一個(gè)參數(shù)矩陣，GMC懲罰項(xiàng)定義如下

φB(x)=‖x‖-SB(x)，

(13)

其中，

(14)

對(duì)于給定B∈M×N，GMC懲罰項(xiàng)滿足

(15)

當(dāng)且僅當(dāng)‖BHBx‖∞≤1，這個(gè)結(jié)果意味著在0附近GMC懲罰項(xiàng)近似于L1范數(shù)。

考慮設(shè)計(jì)能夠維持正則化最小二乘損失函數(shù)凸性的GMC懲罰項(xiàng)，令y∈M，F(xiàn)∈M且λ>0，定義G:N→

(16)

其中φB為GMC懲罰項(xiàng)。如果

(17)

那么G則為一個(gè)凸函數(shù)，對(duì)于給定的F，令

(18)

當(dāng)γ≤1時(shí),BHB=(γ/λ)FHF滿足式(17)，在實(shí)踐中，γ的取值通常在0.5～0.8[9]。當(dāng)B滿足式(17)時(shí)，為了能夠使用近似算法去最小化損失函數(shù)G，將G重寫(xiě)為一個(gè)鞍點(diǎn)問(wèn)題：

(19)

其中

(20)

式(20)的解由前向-后向算法獲得，前向后向問(wèn)題僅包括簡(jiǎn)單的計(jì)算步驟，其算法流程如表1所示。

表1 前向-后向算法Table 1 Forward-backward algorithm

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

下面通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文的基于GMC懲罰項(xiàng)的ISAR稀疏重構(gòu)方法重構(gòu)效果。仿真實(shí)驗(yàn)通過(guò)與傳統(tǒng)RD成像方法和IST算法的對(duì)比，驗(yàn)證基于GMC懲罰項(xiàng)方法提高幅值精度的能力。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中，從恢復(fù)性能和抗噪聲性能兩方面比較IST重構(gòu)算法和GMC重構(gòu)算法，驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性。

3.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

在仿真數(shù)據(jù)中，仿真場(chǎng)景為12個(gè)點(diǎn)目標(biāo)組成的飛機(jī)，雷達(dá)中心頻率fc=10 GHz，系統(tǒng)帶寬B=400 MHz，點(diǎn)目標(biāo)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)所得到的回波進(jìn)行20%降采樣，所得RD成像結(jié)果如圖3(a)所示。使用IST算法稀疏重構(gòu)的結(jié)果如圖3(b)所示。采用改進(jìn)L1范數(shù)方法的GMC算法成像結(jié)果如圖3(c)所示。

圖3 不同算法成像結(jié)果Fig.3 Imaging results using different algorithms

從圖3可以看出，使用RD、IST算法和GMC算法均可實(shí)現(xiàn)仿真場(chǎng)景成像，與RD成像結(jié)果相比，IST算法和GMC算法對(duì)旁瓣的抑制能力均優(yōu)于RD結(jié)果。為探究IST算法和GMC算法的成像精度能力，依然使用上述成像場(chǎng)景，改變回波信噪比，分別使用IST算法和GMC算法進(jìn)行成像，計(jì)算成像結(jié)果中幅值與真實(shí)值之間的誤差，為方便比較，成像結(jié)果均經(jīng)歸一化處理，其誤差曲線如圖4所示。

圖4 IST算法和GMC算法成像RMSE比較Fig.4 RMSE curves for the IST and GMC results

從誤差曲線可以看出，隨著噪聲的增大，兩種精度誤差曲線均呈上升趨勢(shì)，但是誤差估計(jì)仍然與高信噪比條件下處于同一數(shù)量級(jí)，而GMC算法在信噪比一定的條件下，其成像精度要高于IST算法，且隨著信噪比的降低，GMC算法的成像精度更穩(wěn)定。由此可見(jiàn)，GMC算法具備更高的成像誤差精度估計(jì)。

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

首先從成像能力方面驗(yàn)證GMC算法的有效性，下面使用一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為ISAR系統(tǒng)記錄的Yak-42飛機(jī)回波信號(hào)，信號(hào)帶寬為400 MHz，載頻為5.52 GHz，脈沖重復(fù)頻率為100 Hz，經(jīng)過(guò)包絡(luò)對(duì)齊和自聚焦處理后的數(shù)據(jù)大小為256×1 024，進(jìn)行20%降采樣處理?；夭〝?shù)據(jù)經(jīng)過(guò)IST算法和GMC算法處理后，成像結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看出，兩種方法均可實(shí)現(xiàn)對(duì)Yak-42飛機(jī)的稀疏成像。

圖5 兩種算法實(shí)際數(shù)據(jù)成像結(jié)果Fig.5 Imaging results of real data using the two different algorithms

為了進(jìn)一步驗(yàn)證GMC算法在成像精度方面的優(yōu)勢(shì)，下面通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)添加高斯白噪聲，使其信噪比為0，5和10 dB。在不同信噪比下對(duì)降采樣20%數(shù)據(jù)分別使用IST算法重構(gòu)和GMC算法重構(gòu)處理，得到如圖6所示圖像，圖6分別為IST重構(gòu)和GMC重構(gòu)兩種算法在不同信噪比下的成像結(jié)果。

為分析GMC算法在保持幅值精度的能力方面，選取圖6中不同信噪比條件下相同部分的切面，歸一化幅值比較如圖7所示，可以看到，在信噪比為10 dB時(shí)，兩種算法均實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)點(diǎn)的準(zhǔn)確成像，但是IST算法成像結(jié)果存在整體性幅值低估的情況，而GMC算法成像結(jié)果則不存在上述誤差，具有更低的幅值精度估計(jì)誤差。隨著信噪比的降低，IST算法成像切面出現(xiàn)幅值偏差，當(dāng)信噪比為0 dB時(shí)出現(xiàn)虛假目標(biāo)點(diǎn)，而GMC算法在低信噪比的條件下依然保持了成像結(jié)果的幅值特性，由此可見(jiàn)，GMC算法在保持成像幅值精度方面更有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

由于已有的基于L1范數(shù)最小化方法在ISAR稀疏成像中存在重建幅值精度上的偏差，因此，本文提出將基于GMC懲罰項(xiàng)的方法應(yīng)用于ISAR稀疏成像，通過(guò)對(duì)仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的比較分析，驗(yàn)證了該方法在稀疏重構(gòu)中保持目標(biāo)回波幅值的能力，且在信噪比變化較大的情況下仍具有良好的聚焦性能。與IST算法相比，本文方法在重建幅值精度上重建精度高，優(yōu)勢(shì)明顯。

圖6 兩種算法不同信噪比成像結(jié)果比較Fig.6 Imaging results at different SNR values using the two different algorithms

圖7 兩種算法不同信噪比成像切面幅值比較Fig.7 Slice images at different SNR values using the two different algorithms