旋轉(zhuǎn)圓筒受均布?jí)毫Φ膽?yīng)力解分析

郭海偉，陳占清

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)深部巖土國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221116)

王一麥，邵海磊

(鄭州四維特種材料有限責(zé)任公司，河南 鄭州 450001)

旋轉(zhuǎn)圓筒結(jié)構(gòu)件被廣泛應(yīng)用于醫(yī)藥、化工、水利水電、國(guó)防等工程領(lǐng)域[1,2]，其筒壁多承受內(nèi)、外壓力及自身轉(zhuǎn)動(dòng)所附加的離心力效果，尤其在高轉(zhuǎn)速過(guò)程下，圓筒結(jié)構(gòu)件所產(chǎn)生的離心力會(huì)引起較大的徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力。應(yīng)力的大小、分布以及圓筒的結(jié)構(gòu)，將影響圓筒旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的強(qiáng)度和使用壽命，因此，研究與分析這種結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變化情況，對(duì)保證其強(qiáng)度和使用壽命及優(yōu)化設(shè)計(jì)模型有著重要的意義。

關(guān)于圓筒軸對(duì)稱載荷分布模型的應(yīng)力研究，最早是Lame針對(duì)平面問(wèn)題，運(yùn)用彈性力學(xué)理論，提出了內(nèi)外均布?jí)毫ψ饔孟碌亩S理論解，其結(jié)果表明，環(huán)向與徑向應(yīng)力沿筒軸向發(fā)生均勻的伸長(zhǎng)或收縮，即垂直于筒軸的截面保持為平面[3～5]；1927年伽遼金應(yīng)用Lame解推導(dǎo)了圓形隧道在均布內(nèi)壓作用下襯砌應(yīng)力的計(jì)算公式[6,7]；1992年劉東常等以Lame解為基礎(chǔ)，運(yùn)用疊加方法，求解了環(huán)在彎曲應(yīng)力和徑向力作用下的應(yīng)力[8]。然而，平面問(wèn)題的理論解并不能很好地表述三維模型的應(yīng)力分布情況，如Z軸方向的應(yīng)力分布情況,因此，出現(xiàn)了針對(duì)圓筒結(jié)構(gòu)的空間問(wèn)題的研究。羅祖道在1979 年建立了單層有限長(zhǎng)空心圓柱體在空間軸對(duì)稱荷載作用下的變形分析方法[9]；林小松等1990年利用冪級(jí)數(shù)以及分離變量的方法得到了柱面在線性變化壓力作用下厚壁筒的解析解[10];1997～1999年他又將康托洛維奇變分法和高級(jí)康托洛維奇變分法用于空間軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，導(dǎo)出了荷載為變量z的任意函數(shù)時(shí)的有限長(zhǎng)厚壁圓筒三維軸對(duì)稱問(wèn)題的康氏變分計(jì)算公式[11]；侯宇等在1991年利用H變換和Stocke變換求得彈性力學(xué)中有限長(zhǎng)圓柱體的軸對(duì)稱問(wèn)題的一般解析解[12]。然而，有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒模型在內(nèi)外壓力作用下的三維強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題，尚未得到理論的解析解。為此，筆者在柱坐標(biāo)下建立了圓筒三維模型，依據(jù)彈性力學(xué)的三維微分方程，運(yùn)用疊加原理，推導(dǎo)了內(nèi)外均壓作用的轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒三維模型的空間三維應(yīng)力解析解。

1 圓筒三維模型的應(yīng)力解

設(shè)筒壁受內(nèi)壓p1、外壓p2作用，并以角速度ω繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)(Z軸表示圓筒的中心軸向位置)，在柱坐標(biāo)系下建立圓筒的力學(xué)模型，如圖1所示。其中，材料的密度為ρ，泊松比為μ，a為圓筒的內(nèi)半徑，b是圓筒的外半徑。

基于小變形理論，采用通解加特解的方法給出應(yīng)力分量表達(dá)式，并依據(jù)邊界條件求解待定未知量。假設(shè)試探應(yīng)力函數(shù)[13]為：

φ(r,z)=A1(8z5-15zr4)+A2(8z5-40z3r2+15zr4)+A3(8z4-3r4)

+A4(2z4-3r2z2)+A5zlnr+A6z3+A7r2z+A8zr2lnr

+A9z3lnr+A10r2lnr+A11z2lnr

(1)

式中:φ(r,z)表示試探應(yīng)力函數(shù)；A1～A11為待定系數(shù)；r為圓筒上任一點(diǎn)到z軸的垂直距離，r∈a,b。

試探應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程[14]，即：

(2)

將式(1)代入應(yīng)力分量公式：

(3)

可得柱坐標(biāo)系下圓筒三維模型的應(yīng)力分量通解表達(dá)式：

+2(2μ-1)A7+2(2μ-1)lnr+(4μ-3)A8+6μlnrA9

(4)

+2 2μ-1A7+2 2μ-1lnr+ 4μ-1A8+6μlnrA9

(5)

σz= 3 160 1-μA1-160A2z2+-240 2-μA1+240A2r2

+192 1-μA3-24μA4z+6 1-μA6+4 2-μA7

+4 2-μlnr+1A8+6 1-μlnrA9

(6)

τrz= 2-240 1-μA1+240A2zr+-96 1-μA3+12μA4r

(7)

假設(shè)其特解形式為：

(8)

且滿足離心作用下平衡微分方程和相容方程，由小變形下應(yīng)力的疊加性。上述問(wèn)題的空間三維應(yīng)力解析解可表示為：

+2 2μ-1A7+2 2μ-1lnr+ 4μ-3A8

(9)

(10)

σz= 3 160 1-μA1-160A2z2+-240 2-μA1+240A2r2

+192 1-μA3-24μA4z+6 1-μA6+4 2-μA7

(11)

τrz= 2-240 1-μA1+240A2zr+-96 1-μA3+12μA4r

(12)

式(9)～(12)須滿足下述邊界條件：

把邊界條件代入式(9)～(12)，可求待定系數(shù)，從而可獲得旋轉(zhuǎn)圓筒在均布內(nèi)外壓力作用下的空間三維應(yīng)力分量解析式：

(13)

2 應(yīng)力分析

由式(13)可以看出，其徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力是由圓筒中心線繞Z軸純轉(zhuǎn)動(dòng)的應(yīng)力分量與Lame應(yīng)力分量解的線性疊加。對(duì)比上述問(wèn)題的平面二維應(yīng)力分量解：

(14)

二者具有一定的一致性。

對(duì)于徑向應(yīng)力，三維與二維的誤差為：

15)

(16)

從而可看出，在材料一定的情況下，最大誤差隨角速度的增大而增大，因此，在高轉(zhuǎn)速過(guò)程中，使用平面二維應(yīng)力解表示徑向應(yīng)力應(yīng)予以謹(jǐn)慎。

對(duì)于環(huán)向應(yīng)力，三維與二維的誤差：

(17)

且為單調(diào)減函數(shù)，在r=a時(shí)有最大環(huán)向應(yīng)力誤差：

(18)

再次說(shuō)明最大誤差隨角速度的增加而呈平方增加，平面二維應(yīng)力解在工程應(yīng)用中須謹(jǐn)慎。

3 算例分析

GQ142G高速管式分離機(jī)是一種廣泛應(yīng)用于生物制品、化工、制藥、飲料等行業(yè)的分離機(jī)械。以其轉(zhuǎn)鼓為研究對(duì)象，其主要的技術(shù)參數(shù)如表1所示。

徑向與環(huán)向的平面二維應(yīng)力和空間三維應(yīng)力分布如圖2和圖3所示。計(jì)算可知，徑向誤差最大值為4.64%，環(huán)向誤差最大值為1.09%，二者的應(yīng)力曲線分布具有一定的一致性。

表1 GQ142G高速管式分離機(jī)轉(zhuǎn)鼓主要技術(shù)參數(shù)

圖2 平面二維與空間三維徑向應(yīng)力分布 圖3 平面二維與空間三維環(huán)向應(yīng)力分布

利用材料力學(xué)第四強(qiáng)度理論：

(19)

計(jì)算得出平面與空間應(yīng)力解的最大相對(duì)誤差為0.85%，其應(yīng)力曲線分布如圖4所示。在r=a=0.06m處，有最大的應(yīng)力值。當(dāng)內(nèi)徑a=0.06m固定時(shí)，最大應(yīng)力值隨著外徑b的變化而變化，如圖5所示。從圖5中可以看出，曲線存在一個(gè)外徑b0，使得圓筒的應(yīng)力最小，即當(dāng)內(nèi)徑一定時(shí)，存在一個(gè)最優(yōu)的壁厚，使得圓筒應(yīng)力最小。該結(jié)果可以為旋轉(zhuǎn)圓筒壁厚的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

圖4 第四強(qiáng)度理論空間三維應(yīng)力與二維應(yīng)力解的比較 圖5 最大應(yīng)力隨外徑變化的分布

4 結(jié)論

1)旋轉(zhuǎn)圓筒在內(nèi)外均布?jí)毫ψ饔孟碌沫h(huán)向與徑向應(yīng)力解析式可看成是由純轉(zhuǎn)動(dòng)效果所得應(yīng)力疊加純壓力作用的應(yīng)力(Lame應(yīng)力分量表達(dá)式)，從形式上可以看出，其空間三維應(yīng)力分量解與平面二維應(yīng)力分量解具有一定的一致性。

2)經(jīng)應(yīng)力分量的誤差分析可知，其環(huán)向與徑向應(yīng)力的最大誤差只與材料的屬性及轉(zhuǎn)速有關(guān)。即當(dāng)材料一定時(shí)，其誤差的變化與轉(zhuǎn)速的平方成正比，在高轉(zhuǎn)速情況下，平面二維應(yīng)力分量的應(yīng)用須校對(duì)誤差。

3)以工程用GQ142G高速管式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓的實(shí)際數(shù)據(jù)為例，不考慮標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題，基于誤差分析方法，對(duì)空間三維應(yīng)力解析解與平面二維應(yīng)力解進(jìn)行了比較，同時(shí)也給出了其轉(zhuǎn)鼓厚度設(shè)計(jì)優(yōu)化的理論依據(jù)。