關(guān)于集列極限的基本性質(zhì)

李學東

（佛山市數(shù)學學會，廣東佛山528000）

在數(shù)學分析中，數(shù)列極限的一些基本性質(zhì)揭示了數(shù)列極限存在的確定性條件以及不同數(shù)列之間項的大小關(guān)系對它們極限大小關(guān)系的影響［1］。類似地，關(guān)于集合列的極限也有相應的對應性質(zhì)，這些性質(zhì)同樣揭示了集合列的極限存在的確定性條件以及不同集合列之間項的包含關(guān)系對它們極限包含關(guān)系的影響［2］。關(guān)于集列極限的定義與運算在文獻［3］中已有論述。

為表述方便，我們約定“?”表示“包含于”，“?”表示“真包含于”。對于“?、?”作類似區(qū)分。

定理1若集列收斂，則它的集限是唯一的。

證明 設(shè)｛An｝為一收斂數(shù)列，若它收斂于兩個不同的集限A、B，即

由于A≠B，所以（A-B）∪（B-A）≠?。

不妨設(shè) B-A≠?，則?x0∈（B-A）使得 x0∈B，x0∈A。從而有 x0?（An∩A），x0∈（An∪B）。

由 x0?（An∩A）知 x0?（An∪A），所以 x0?An。

同理：對于 x0∈B，?K2＞0，當 n＞K2時，x0?‖An-B‖，即 x0?［（An∪B）-（An∩B）］。

由 x0∈（An∪B）知 x0∈（An∩B），所以 x0∈An。

取 K=max（K1，K2），則當 n＞K 時，x0?An、x0∈An同時成立。這和“元素與集合的關(guān)系”相矛盾，所以假定A≠B不成立。故A=B。亦即定理1成立。

考慮到 x∈A，可知：當 n＞K1時，x∈An。又知?n∈N，An?Bn，所以當 n＞K1時，有

取 K=max（K1，K2），則當 n＞K 時，式（1）、（2）同時成立。所以 x∈（Bn∪B）?x∈（Bn∩B）?x∈B，A?B。故定理2成立。

在定理2中，若?n∈N，An?Bn，A?B不一定成立。

在lim An=A，lim Bn=B的前提下，如果定理2中的條件?n∈N，An?Bn與結(jié)論A?B互換，則命題不再成立。

在定理2中的逆命題雖然不成立,但若再添加一些條件，則有如下定理：

定理 3 對于集列｛An｝、｛Bn｝，?n∈N，An∩Bn=An或 Bn，且。若 A?B，則?K＞0，當 n＞K 時，恒有 An?Bn。

證明 設(shè)全集為 U，已知 A?B，所以?x0∈U使得 x0∈B且 x0?A。從而?n∈N，x0?An∩A，x0∈Bn∪B。

考慮到?n∈N，x0?An∩A，所以 x0?An∪A，于是當 n＞K1時 x0?An。

考慮到?n∈N，x0∈Bn∪B，所以 x0∈Bn∩B，于是當 n＞K2時 x0∈Bn。

取 K=max（K1，K2），則當 n＞K 時有 x0?An且 x0∈Bn，又?n∈N，An∩Bn=An或 Bn，所以當 n＞K 時恒有An?Bn，證畢。

滿足條件“?n∈N，An∩Bn=An或Bn”的兩個集列｛An｝、｛Bn｝可視為同一單調(diào)集列中的兩個子集列，我們稱之為同調(diào)集列。如度量空間Rn中的同心球域簇及數(shù)軸上關(guān)于0點對稱的連續(xù)區(qū)間簇所構(gòu)成的拓撲空間中任意兩個序列都是同調(diào)集列。

關(guān)于定理3有如下兩個推論：

推論 1 對于集列｛An｝，?n∈N，An∩B=An或 B，且，若 A?B，則?K＞0，當 n＞K 時，恒有An?B。

推論 2 對于集列｛An｝，?n∈N，An∩B=An或 B，且，若 A?B，則?K＞0，當 n＞K 時，恒有An?B。

這兩個推論不難證明，在定理3中?n∈N只需令Bn=B即可。

與數(shù)列極限中的兩邊夾定理類似，在集列的集限中也有相應的定理。

定理 4 對于集列｛An｝、｛Bn｝、｛Cn｝，?K0＞0，當 n＞K0時，恒有 An?Bn?Cn，若，則有。

證明 設(shè)全集為U，?x∈U。

（1）若 x∈H，則 x∈（An∪H）（n∈N）。因為，所以?K1＞K0＞0，當 n＞K1時，x?‖An-H‖，即x?［（An∪H）-（An∩H）］。由 x∈（An∪H）知 x∈（An∩H），于是 x∈An。

考慮到：當 n＞K1時 An?Bn?Cn恒成立，所以當 n＞K1，有 x∈Bn，從而 x∈（Bn∩H）；當 n＞K1時，x?‖Bn-H‖。

（2）若 x?H，則 x?（Cn∩H）（n∈N）。因為 lim Cn=H，所以?K2＞K0＞0，當 n＞K1時，x?‖Cn-H‖，即x?［（Cn∪H）-（Cn∩H）］。由 x?（Cn∩H）知 x?（Cn∪H），于是 x?Cn。

考慮到：當 n＞K2時 An?Bn?Cn恒成立，所以當 n＞K2時，有 x?Bn，從而 x?（Bn∪H）；當 n＞K2時，x?‖Bn-H‖。

綜合（1）（2）所述：取 K=max（K0，K1，K2），則當 n＞K 時，?x∈U 總有 x?‖Bn-H‖成立。故。

證明 設(shè)全集為U。

（3）取 K=max（K1，K2），則當 n＞K 時，y0∈Bn但 y0?B，x∈（An∩A）可同時成立。此時（x，y0）∈An×Bn，但是（x，y0）?A×B，所以（x，y0）∈［（An×Bn）∪（A×B）-（An×Bn）∩（A×B）］，即 當 n＞K 時總會有（x，y0）∈‖（An×Bn）-（A×B）‖。