三架固定翼無人機(jī)協(xié)同編隊(duì)飛行避障策略*

張佳龍，閆建國，張 普，呂茂隆

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院， 陜西 西安 710129； 2. 空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院， 陜西 西安 710051)

多無人機(jī)編隊(duì)技術(shù)，已成為目前智能控制研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)專題之一[1]，尤其在航跡規(guī)劃[2-4]、多無人機(jī)編隊(duì)協(xié)同控制[5-7]以及避障等方面的研究，取得了一些成果，且部分應(yīng)用于工程實(shí)踐，但大部分僅限理論研究。

多無人機(jī)避障主要有兩種算法——規(guī)則算法和優(yōu)化算法。規(guī)則算法的基礎(chǔ)理論是試場法[8-11]；優(yōu)化算法是采用模型預(yù)測控制(Model Predictive Control, MPC)[12]。無人機(jī)編隊(duì)控制主要應(yīng)用分布式控制方法[13-16]，能夠?qū)崿F(xiàn)多層次避障。而多智能體協(xié)同控制，同樣采用分布式控制方法來解決[17-19]，這可以簡化問題的研究程度。例如，無人機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)模型分別在水平面簡化成四階系統(tǒng)，在垂直方向簡化成二階系統(tǒng)[20]。很多研究者致力于將算法應(yīng)用于實(shí)際無人機(jī)編隊(duì)中，例如Goss等思考三維空間的避障問題，提出一種幾何學(xué)避障錐方法，設(shè)計(jì)導(dǎo)引控制律[21]。

以上文獻(xiàn)中，盡管在避障過程提出較多的算法，也實(shí)現(xiàn)了避障的目的，但所提出的算法為單一的算法。本文采用以人工勢場方法為機(jī)理提出的一種新算法，即幾何方法(任意兩架無人機(jī)之間的相對距離以及無人機(jī)與障礙物之間的距離大于安全距離)，同時(shí)將所提避障算法和基于人工勢場的控制方法同時(shí)應(yīng)用到編隊(duì)中，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的避障目的。本文利用圖論理論，建立三機(jī)編隊(duì)模型并進(jìn)行簡化處理，主要突出控制算法在無人機(jī)協(xié)同編隊(duì)避障控制方面的優(yōu)勢(研究的三架無人機(jī)可以滿足最小剛性，同時(shí)以三架無人機(jī)的研究推廣到多架無人機(jī))[22]。本文基于人工勢場的理論，提出一致性控制策略，并將其應(yīng)用于多無人機(jī)編隊(duì)避障，能夠有效解決無人機(jī)之間和無人機(jī)編隊(duì)與障礙物的碰撞。

1 問題描述

多無人機(jī)協(xié)同編隊(duì)執(zhí)行空戰(zhàn)任務(wù)，當(dāng)遇到前方敵機(jī)實(shí)施精確打擊時(shí)，除了避免無人機(jī)之間發(fā)生碰撞，還要避開障礙物(敵機(jī))。這一部分主要是建立三機(jī)編隊(duì)模型和定義控制目標(biāo)。

假設(shè)有N(N=3)架無人機(jī)，即N-1架僚機(jī)和1架長機(jī)組成的多無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)。該編隊(duì)系統(tǒng)之間的通信是單向的，即僚機(jī)之間的通信以及僚機(jī)與長機(jī)之間的通信共同構(gòu)成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為了簡化無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型，有以下四點(diǎn)假設(shè)：①長機(jī)發(fā)出指令到僚機(jī)接受指令并做出相應(yīng)機(jī)動過程時(shí)間較短，可以忽略；②無人機(jī)編隊(duì)飛行速度較慢，忽略外界的氣動力矩，例如阻力力矩和作用機(jī)體翼展表面的渦旋效應(yīng)；③無人機(jī)編隊(duì)保持隊(duì)形飛行時(shí)，每架無人機(jī)視為剛體，以質(zhì)點(diǎn)處理；④在無人機(jī)協(xié)同編隊(duì)飛行過程中，忽略環(huán)境中側(cè)風(fēng)的影響。三架無人機(jī)組成的編隊(duì)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1所示。

圖1 無人機(jī)編隊(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)潢P(guān)系圖Fig.1 UAV formation system of the network topology

為了用數(shù)學(xué)化語言描述該網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的模型，使用圖論理論[23]。使用圖G=(V,A)建立N架無人機(jī)之間的信息傳遞，這里的V={v1,v2,v3, …,vN}表示有序點(diǎn)集，A∈V×V表示有序邊集。圖中的邊(vi,vj)表示無人機(jī)i能夠直接把信息傳遞給無人機(jī)j的有向路徑，即無人機(jī)j能夠直接獲取并使用無人機(jī)i的信息。有向圖G的生成樹指除根節(jié)點(diǎn)外，其他節(jié)點(diǎn)有且只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)的子圖。在有向圖中，根節(jié)點(diǎn)不能反向與父節(jié)點(diǎn)相連，可以與其他節(jié)點(diǎn)直接相連；然而在無向圖中，邊(vi,vj)表示無人機(jī)i與無人機(jī)j都能從對方獲取信息，即(vi,vj)和(vj,vi)是一樣的。

令A(yù)∈RN×N，D∈RN×N以及L∈RN×N分別為鄰接矩陣、度矩陣和拉普拉斯矩陣。在圖論中，鄰接矩陣是表示圖中各節(jié)點(diǎn)之間關(guān)系的矩陣，根據(jù)圖論知識，鄰接矩陣A=[aij]表示為：

(1)

式(1)說明，在圖形拓?fù)潢P(guān)系中，當(dāng)無人機(jī)i直接從無人機(jī)j獲取信息時(shí)aij=1，反之a(chǎn)ij=0。

度矩陣D表示為：

D=diag(deg(v1),deg(v2), …,deg(vN))

(2)

式中，deg(vi)為vi節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)的通信數(shù)總和。

拉普拉斯矩陣[24]被定義為：

(3)

由式(3)可知，矩陣L具有以下的性質(zhì)：

1)lij<0，i≠j

1n表示元素都為1的n×1維列向量，0n表示所有元素都為0的n×1維列向量。根據(jù)拉普拉斯矩陣的定義有如下等式成立：L1n=0n[25]。

2)L=D-A，如果一個(gè)圖G有或者包含一個(gè)生成樹，則拉普拉斯矩陣L的特征值由一個(gè)零特征值和非零正實(shí)數(shù)組成。

2 避障研究

2.1 基于人工勢場避障方法

基于上述三架無人機(jī)模型，此處選擇任意一架僚機(jī)(下文簡稱僚機(jī))與長機(jī)作為研究對象，其編隊(duì)飛行避障示意圖為圖2。圖中長機(jī)為圓心，r為半徑，Δh為高度，且h、r分別為在垂直方向僚機(jī)和長機(jī)的相對高度以及在水平方向兩者之間的相對距離，它們有以下關(guān)系[22]：

(4)

(5)

圖2 編隊(duì)飛行避障示意圖Fig.2 Formation fight collision avoidance diagram

其中，下標(biāo)r、l、f和a分別表示在機(jī)體坐標(biāo)系下的距離、長機(jī)、僚機(jī)以及在慣性坐標(biāo)系下的距離。

定義僚機(jī)與長機(jī)之間的人工勢場為：

(6)

其中，kh∈R是一個(gè)正實(shí)數(shù)的增益。

由式(6)可得，僚機(jī)與長機(jī)之間的平均勢場可表示為：

(7)

由式(7)可得，多無人機(jī)編隊(duì)中，每架無人機(jī)產(chǎn)生的人工勢場總和為：

(8)

針對該三機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)，人工勢場總和為：

Ut=U1+U2+U3

(9)

式中，U1=(U12+U13)/2，U2=(U21+U23)/2，U3=(U31+U32)/2。

為防止僚機(jī)與長機(jī)發(fā)生碰撞，提出人工勢場力：

fcai=-hUc，i∈{1,2,…,N}

(10)

上式?jīng)]有局部極小值，由于重疊區(qū)域內(nèi)復(fù)合場僅由斥力場組成[22]，它的矢量如式(11)所示。

fca=-

(11)

人工勢場力使得任意兩無人機(jī)在橫向和縱向距離增大，有效防止碰撞[22]。

2.2 避障控制方案設(shè)計(jì)

三機(jī)編隊(duì)飛行過程遇到的障礙物分兩類：靜止障礙物和運(yùn)動障礙物。以下分兩種情況進(jìn)行控制方案的設(shè)計(jì)。在本節(jié)中，以研究水平方向?yàn)橹鳎捎诖怪狈较蜓芯亢退椒较蜓芯款愃?，在此不再贅述。一般情況下，障礙物形狀不是規(guī)則的幾何圖形，為了便于研究，將障礙物區(qū)域用圓柱體外表面包絡(luò)住，簡化為圓柱體模型，如圖3所示。其中，包絡(luò)線與圓柱體外表面相切，r0為障礙物區(qū)域的橫截面半徑，o為障礙物中心點(diǎn)。

圖3 障礙物靜止時(shí)無人機(jī)避障示意圖Fig.3 Avoidance diagram of the UAV formation system with the obstacle of static state

2.2.1 障礙物是靜止的

三架無人機(jī)構(gòu)成的正三角形編隊(duì)系統(tǒng)，在水平面以相同前進(jìn)速度飛行，且他們之間的相對高度差為零，長機(jī)和靠近障礙物內(nèi)側(cè)的僚機(jī)在三角形隊(duì)形的一條邊上，它與包絡(luò)線是平行關(guān)系，而且也是長機(jī)期望的路徑。由于編隊(duì)隊(duì)形固定，確保兩條曲線之間的相對距離大于零，才能安全避障。

引理1 如果三架無人機(jī)能夠成功地避開障礙物，則滿足：

(12)

其中，ξ為r0鄰域很小的正實(shí)數(shù)，L為長機(jī)與障礙物幾何中心o的距離，df為僚機(jī)2運(yùn)動軌跡與圓柱切線之間的距離。

2.2.2 障礙物是運(yùn)動的

假定多無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)執(zhí)行一次空中打擊任務(wù)，前方敵機(jī)作為運(yùn)動目標(biāo)，即障礙物，戰(zhàn)機(jī)在精確打擊的同時(shí)，還需避開障礙物。多機(jī)編隊(duì)構(gòu)成的正三角形編隊(duì)系統(tǒng)，在三維空間以相同的前行速度按照地面指揮部設(shè)定的預(yù)期軌跡飛行，即長機(jī)的飛行軌跡。當(dāng)編隊(duì)期望的飛行軌跡和障礙物的包絡(luò)線保持動態(tài)平行關(guān)系時(shí)，才能確保無人機(jī)編隊(duì)成功避障，完成作戰(zhàn)任務(wù)，如圖4所示。

圖4 障礙物運(yùn)動時(shí)無人機(jī)避障示意圖Fig.4 Avoidance diagram of the UAV formation system with the obstacle of motional state

引理2 如果多無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)避開運(yùn)動的障礙物，則滿足：

(13)

針對多目標(biāo)(三架無人機(jī))編隊(duì)系統(tǒng)，基于“長機(jī)-僚機(jī)”控制策略提出兩種避障方案：一種為障礙物靜止，這種避障方法比較簡單，在長機(jī)控制器植入控制算法，長機(jī)與障礙物保持安全距離，僚機(jī)根據(jù)設(shè)定編隊(duì)指令追蹤長機(jī)構(gòu)成正三角形隊(duì)形飛行，可以有效避免碰撞；另一種為障礙物運(yùn)動，由于多無人機(jī)編隊(duì)和障礙物都是運(yùn)動的，這種控制方案實(shí)現(xiàn)起來比較困難，但這種避障控制方案，為一致性算法實(shí)現(xiàn)避障提供理論指導(dǎo)。

3 無人機(jī)之間的防碰撞算法研究

無人機(jī)編隊(duì)中，無人機(jī)i的控制律[26]表示為：

i∈{1,2,…,N+1}

(14)

(15)

對于所提出的無人機(jī)編隊(duì)避障控制算法，其避障能力如式(16)所示。

(16)

式中，ffromi表示在垂直方向編隊(duì)飛行的控制算法，fcai表示人工勢場避障算法。

引理3 假設(shè)多無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)是由一架長機(jī)和N(N≥2)架僚機(jī)構(gòu)成的線性化模型，且滿足假設(shè)①和②[22]?？刂扑惴?，即式(14)中γk為正的增益，且k∈{0,1}，同時(shí)式(6)中控制參數(shù)kh為正實(shí)數(shù)，均滿足每架無人機(jī)。

證明：對于每架無人機(jī)應(yīng)用控制算法：

i∈{1,2, …,N}

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

已知M矩陣，方程(17)可以簡化成矩陣的形式：

(22)

式中：IN∈RN×N表示N維單位矩陣，0N∈RN表示N維零向量。

為了驗(yàn)證方程(22)的穩(wěn)定性，求解微分方程(22)，通過解的特征，研究其穩(wěn)定性。求解方程(22)對應(yīng)的齊次微分方程的解，它的齊次微分方程表示：

(23)

此處，構(gòu)建李雅普洛夫函數(shù)V，它是由多無人機(jī)(三無人機(jī))編隊(duì)系統(tǒng)總能量構(gòu)成。

其表達(dá)式如式(24)所示。

(24)

對李雅普洛夫函數(shù)V對時(shí)間求導(dǎo)，可得式(25)。

(25)

由式(15)，可得式(26)。

(26)

綜合式(25)和式(26)，可得:

(27)

當(dāng)兩架無人機(jī)之間的安全區(qū)域沒有重疊情形時(shí)，微分方程(22)的特解可以表示：

(28)

綜上所述，微分方程(28)的通解等于它對應(yīng)的齊次方程的通解加上本身的特解。因此，當(dāng)控制增益γk(k∈{0,1})和人工勢場表達(dá)式中的kh選擇合適的正值時(shí)，方程(28)漸進(jìn)收斂于[22]：

(29)

這是來自長機(jī)指令的收斂結(jié)果，根據(jù)式(21)任意一行元素，可證明在縱向每架無人機(jī)具有的避障能力將會使其收斂于期望的預(yù)定軌跡，構(gòu)成正三角形編隊(duì)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1 初始條件設(shè)置

長機(jī)相對于地面以恒定高度600 m飛行，兩架僚機(jī)與長機(jī)之間保持確定的相對高度1.2 m，相對穩(wěn)定高度差為零，長機(jī)提供給僚機(jī)的期望相對高度dhi=0 m，?i∈{1,2}。其余初值分別為Vr=56 m/s，M=90 kg，q=10°/s，r=10°/s，γ0=1.5，γ1=3，kh=5.5， ΔH=3 m， ΔR=3.5 m[22]，ΔH=1.2 m，ΔL=1.2 m，ΔLR=20 m。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于仿真的初始條件和假設(shè)，三架無人機(jī)編隊(duì)避障仿真如圖5和圖6所示。其中，圖(a)與圖(b)分別代表未加入避障算法和加入避障算法的仿真圖。

(a) 未加入避障算法時(shí)間響應(yīng)(a) Time response without collision avoidance algorithm

(b) 加入避障算法時(shí)間響應(yīng)(b) Time response with collision avoidance algorithm圖5 無人機(jī)編隊(duì)與障礙物之間的相對避障距離Fig.5 Relative the collision avoidance distance of between the UAV formation system and the obstacle

(a) 未加入避障算法時(shí)間響應(yīng)(a) Time response without collision avoidance algorithm

(b) 加入避障算法時(shí)間響應(yīng)(b) Time response with collision avoidance algorithm圖6 無人機(jī)編隊(duì)垂直方向相對距離Fig.6 Vertical relative distance of the UAV formation system

由圖5可知：在圖5(a)中，無人機(jī)編隊(duì)與障礙物之間設(shè)定的預(yù)期相對安全距離為1.2 m，障礙物在前，無人機(jī)編隊(duì)在其后，隨著仿真的進(jìn)行，它們之間的相對避障距離小于預(yù)設(shè)值，曲線呈現(xiàn)一種振蕩收斂趨勢，最終它們之間的相對避障距離收斂于零，此時(shí)是最容易發(fā)生碰撞。在圖5(b)中，加入避障控制算法后，無人機(jī)編隊(duì)與障礙之間的安全距離增加到2.3 m，且它們之間的相對避障安全距離保持1.2 m不變，同時(shí)無人機(jī)仍保持編隊(duì)隊(duì)形不變，障礙物保持恒定的前進(jìn)方向和速度。加入避障控制算法，能夠有效避免碰撞，實(shí)現(xiàn)避障的目的。

由圖6可知：在圖6(a)中，在垂直方向，障礙物與無人機(jī)編隊(duì)的安全距離為1.1 m，保持不變；障礙物和無人機(jī)編隊(duì)曲線呈現(xiàn)一種振蕩衰減趨勢，最終收斂于零。假設(shè)在水平方向，無人機(jī)編隊(duì)和障礙物之間的避障區(qū)域有重疊，一旦在垂直方向相對距離為零，極易發(fā)生碰撞，圖6(b)加入避障控制算法，有效防止碰撞發(fā)生。根據(jù)式(29)，當(dāng)仿真時(shí)間足夠長，垂直方向的距離收斂于穩(wěn)定的“正常值”，即在圖6(b)中，無人機(jī)編隊(duì)與障礙物和所設(shè)定的安全距離之間保持不等的恒定距離，有效避免碰撞。

5 總結(jié)

本文基于人工勢場方法，提出一種無人機(jī)編隊(duì)避障控制策略，通過將加入控制算法和未加入控制算法進(jìn)行對比，驗(yàn)證了所提控制策略的有效性。但是本研究工作僅是無人機(jī)編隊(duì)避障及航跡規(guī)劃技術(shù)研究的一小部分，在實(shí)際工程中，還應(yīng)考慮協(xié)同控制律設(shè)計(jì)、渦旋效應(yīng)和任務(wù)分配等，這是下一步研究工作的重點(diǎn)。