基于高階模糊函數(shù)的進(jìn)動(dòng)目標(biāo)平動(dòng)補(bǔ)償

許旭光，馮存前,2，蘇于童，張文強(qiáng)

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051；2.信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，陜西 西安 710077；3.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710049)

0 引言

彈道導(dǎo)彈作為現(xiàn)代高科技戰(zhàn)爭(zhēng)條件下的主要攻擊武器之一，具有強(qiáng)大的戰(zhàn)略威懾能力和戰(zhàn)役戰(zhàn)術(shù)打擊能力[1]。與此同時(shí)，對(duì)彈道導(dǎo)彈的識(shí)別與分類技術(shù)也得到迅速發(fā)展。當(dāng)前，可供彈道導(dǎo)彈識(shí)別的特征包括微動(dòng)特征、極化特征、一維距離像以及二維ISAR像等[2-3]。其中，微動(dòng)作為彈道目標(biāo)在中段特有的運(yùn)動(dòng)方式，能夠精確描述彈道目標(biāo)物理特征和運(yùn)動(dòng)特征，對(duì)于彈道目標(biāo)的特征提取和分類有重要的意義。然而，除了進(jìn)行各種形式的微動(dòng)之外，彈道目標(biāo)在中段本身還具有高速平動(dòng)。高速平動(dòng)會(huì)導(dǎo)致微多普勒發(fā)生模糊或折疊，影響微動(dòng)特征的提取[4]。

目前對(duì)于中段彈道目標(biāo)平動(dòng)補(bǔ)償方面的研究已經(jīng)取得一定成果。文獻(xiàn)[5]針對(duì)高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)提出一種基于EMD(經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解)的平動(dòng)補(bǔ)償算法，該算法利用平動(dòng)多普勒和微多普勒之間的頻率差異實(shí)現(xiàn)平動(dòng)分量和微動(dòng)分量的分離，而EMD算法存在端點(diǎn)效應(yīng)、包絡(luò)插值誤差等缺點(diǎn)，會(huì)影響平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)。文獻(xiàn)[6]針對(duì)寬帶雷達(dá)回波，采用簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)，該算法將平動(dòng)等效為勻速運(yùn)動(dòng)，所建立平動(dòng)模型過(guò)于簡(jiǎn)單，補(bǔ)償精度不夠高。文獻(xiàn)[7]針對(duì)多普勒曲線極值點(diǎn)中僅包含平動(dòng)信息這一特點(diǎn)，提取多普勒曲線極值點(diǎn)并進(jìn)行最小二乘估計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)，該算法僅在單散射點(diǎn)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的補(bǔ)償，在多散射點(diǎn)條件下則存在算法復(fù)雜，估計(jì)精度不足的問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]針對(duì)平動(dòng)對(duì)進(jìn)動(dòng)目標(biāo)微多普勒帶來(lái)的影響，采用基于最小熵值的平動(dòng)補(bǔ)償算法對(duì)加速度進(jìn)行補(bǔ)償，進(jìn)而消除加速度對(duì)微多普勒的影響。該算法僅考慮加速度對(duì)時(shí)頻曲線的影響，對(duì)于速度對(duì)微多普勒的影響考慮不足。

針對(duì)上述平動(dòng)補(bǔ)償方法存在的補(bǔ)償精度不足、算法復(fù)雜的問(wèn)題，本文提出一種基于高階模糊函數(shù)的彈道目標(biāo)平動(dòng)參數(shù)估計(jì)方法。

1 復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型

1.1 微動(dòng)回波模型

建立錐體彈道目標(biāo)進(jìn)動(dòng)模型如圖1所示。設(shè)進(jìn)動(dòng)軸為z′軸，將平底錐形錐彈道目標(biāo)彈體對(duì)稱軸與進(jìn)動(dòng)軸交點(diǎn)O′作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立參考坐標(biāo)系O′x′y′z′，雷達(dá)視線LOS在參考坐標(biāo)系中的方位角和俯仰角分別為α和β，ψ為雷達(dá)視線與彈體對(duì)稱軸夾角，ξ為彈體對(duì)稱軸與z′軸夾角，A為錐頂散射中心，B，C為兩個(gè)滑動(dòng)散射中心，O′′為圓錐彈頭底面圓心，設(shè)底面圓半徑為r，O′A長(zhǎng)度為h1，O′O′′長(zhǎng)度為h2?？紤]到平底錐型彈道目標(biāo)為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱目標(biāo)，自旋對(duì)目標(biāo)微距離影響不會(huì)在回波中體現(xiàn)出來(lái)，因此，僅考慮錐旋對(duì)目標(biāo)的影響，設(shè)錐旋頻率為ωc。

圖1 進(jìn)動(dòng)目標(biāo)滑動(dòng)散射模型Fig.1 The sliding scattering model of precession target

根據(jù)文獻(xiàn)[9]可以得出各散射點(diǎn)的微距離表示為：

(1)

式(1)中，

(2)

若雷達(dá)發(fā)射單頻信號(hào)，微動(dòng)分量對(duì)應(yīng)的基頻回波為：

(3)

式(3)中，f0為雷達(dá)發(fā)射電磁波頻率。

1.2 復(fù)合運(yùn)動(dòng)回波模型

當(dāng)考慮高速平動(dòng)對(duì)目標(biāo)回波的影響時(shí)，目標(biāo)的距離函數(shù)可以修正為：

r(t)=rm(t)+rtr(t)

(4)

式(4)中，平動(dòng)引起的距離變化可以表示為

(5)

式(5)中，r0為初始時(shí)刻目標(biāo)到雷達(dá)的距離，P為平動(dòng)引起的距離變化的等效多項(xiàng)式的階數(shù)。

若考慮平動(dòng)，目標(biāo)回波由式(3)修正為：

(6)

2 基于高階模糊函數(shù)的平動(dòng)補(bǔ)償原理

2.1 高階模糊函數(shù)理論

加州大學(xué)的Shimon Peleg提出高階模糊函數(shù)(High-order Ambiguity Function, HAF),并將其應(yīng)用到多項(xiàng)式相位信號(hào)(Polynomial Phase Signal,PPS)參數(shù)估計(jì)中[10]。與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、匹配傅里葉變換等信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法相比，由于其可估計(jì)階數(shù)高、運(yùn)算簡(jiǎn)單且運(yùn)算量相對(duì)較小，因而得到廣泛應(yīng)用于PPS參數(shù)估計(jì)。下面介紹基于高階模糊函數(shù)的多項(xiàng)式相位信號(hào)估計(jì)原理：

給定信號(hào)x(t),定義其高階矩函數(shù)為：

(7)

將式(7)中信號(hào)高階矩函數(shù)進(jìn)行拓展，得到信號(hào)高階矩函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式為：

(8)

式(8)中，

(9)

PM(t,τ)=A2M-1ej(2πfct+φ)

(10)

式(10)中，

(11)

式(11)中，!表示階乘。

對(duì)式(10)作傅里葉變換，得到高階模糊函數(shù)(High-order Ambiguity Function,HAF)為：

(12)

對(duì)于式(10)中形成的單頻信號(hào),通過(guò)式(12)將信號(hào)展現(xiàn)在頻域，通過(guò)對(duì)信號(hào)頻域峰值的搜索,利用式(11)可實(shí)現(xiàn)對(duì)PPS相位參數(shù)的估計(jì)。

2.2 平動(dòng)參數(shù)估計(jì)

1.2節(jié)中指出中段目標(biāo)回波包括平動(dòng)項(xiàng)和微動(dòng)項(xiàng)，其中平動(dòng)項(xiàng)為多項(xiàng)式相位信號(hào)。因此，本文擬將高階模糊函數(shù)引入平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)中。當(dāng)觀測(cè)時(shí)間為幾個(gè)周期時(shí)，三階多項(xiàng)式可以較好地描述目標(biāo)平動(dòng)[11]。根據(jù)式(7)，回波的三階矩可以表示為

(13)

式(13)中，

(14)

式(14)中，F(xiàn)3(t,τ)為由平動(dòng)分量相乘得到，為一單頻信號(hào)，其相位?3對(duì)于參數(shù)估計(jì)沒(méi)有影響，因此不詳細(xì)寫出其表達(dá)式；G3(t,τ)表示回波三階矩中同一散射中心微動(dòng)部分延遲共軛相乘結(jié)果之和，為微動(dòng)自項(xiàng)，當(dāng)延遲時(shí)間為微動(dòng)周期時(shí)，該項(xiàng)為常數(shù)；H3(t,τ)表示回波三階矩中不同散射中心微動(dòng)信號(hào)的耦合，為微動(dòng)互項(xiàng)，當(dāng)延遲時(shí)間為微動(dòng)周期時(shí)，該項(xiàng)在頻域中能量相對(duì)較小，不會(huì)影響平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)。綜上分析可得，當(dāng)延遲時(shí)間為微動(dòng)周期時(shí)，其對(duì)應(yīng)階數(shù)的模糊函數(shù)相應(yīng)的頻率處會(huì)產(chǎn)生峰值。

對(duì)式(13)進(jìn)行傅里葉變換,得到三階模糊函數(shù)X3(f,τ),進(jìn)行二維峰值搜索：

(15)

當(dāng)對(duì)微動(dòng)信號(hào)高階模糊函數(shù)進(jìn)行峰值搜索，通過(guò)峰值對(duì)應(yīng)的頻率和延遲時(shí)間的位置，既可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)微動(dòng)周期的估計(jì)，又可以實(shí)現(xiàn)對(duì)相應(yīng)階數(shù)平動(dòng)項(xiàng)系數(shù)的估計(jì)。

(16)

式(16)中，

(17)

(18)

(19)

(20)

通過(guò)式(20)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)速度的估計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)平動(dòng)項(xiàng)的補(bǔ)償。

通過(guò)上述算法分析，可以看出本文所提算法計(jì)算簡(jiǎn)單，對(duì)具有周期性的微動(dòng)形式均可以實(shí)現(xiàn)有效的平動(dòng)補(bǔ)償。由于對(duì)參數(shù)的估計(jì)采用的是峰值搜索的思想，因此估計(jì)性能也相對(duì)穩(wěn)定。

綜合以上分析，總結(jié)得到彈道目標(biāo)平動(dòng)補(bǔ)償流程為：

步驟3 對(duì)補(bǔ)償后的回波作半周期延遲相乘處理，對(duì)得到信號(hào)作傅里葉變換，對(duì)a1進(jìn)行估計(jì)，并對(duì)回波進(jìn)行補(bǔ)償。

3 仿真分析

3.1 彈道仿真

本文采用Matlab 2014a仿真平臺(tái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。假設(shè)導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)高度250 km，關(guān)機(jī)點(diǎn)速度4.5 km/s，按照最佳速度傾角飛行[14]，地球半徑6 337 km，開(kāi)普勒常數(shù)3.98×1014，得到彈道仿真如圖2所示。

針對(duì)平動(dòng)仿真的研究，多將平動(dòng)等效為二階多項(xiàng)式或三階多項(xiàng)式。為進(jìn)一步分析兩種不同階數(shù)多項(xiàng)式等效效果，取導(dǎo)彈飛行時(shí)間為0～6 s，將距離參數(shù)分別進(jìn)行二階多項(xiàng)式擬合和三階多項(xiàng)式擬合，具體擬合方法為采用Matlab中的“polyfit”函數(shù)得到進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖3所示。

圖2 彈道仿真Fig.2 The trajectory simulation

圖3 不同階數(shù)多項(xiàng)式擬合效果Fig.3 Performance of different order polynomial fitting

對(duì)比圖3(a)和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn)，二階多項(xiàng)式的擬合誤差在10-2m，三階多項(xiàng)式的擬合誤差在10-6m，說(shuō)明采用三階多項(xiàng)式對(duì)平動(dòng)進(jìn)行等效的精度相對(duì)更高。

3.2 平動(dòng)補(bǔ)償仿真

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射單載脈沖信號(hào)，載頻為f0=10 GHz，脈沖重復(fù)頻率為fr=2 000 Hz，觀測(cè)時(shí)間為T=5 s，目標(biāo)為圓錐彈頭，h1=1 m，h2=0.6 m，底面半徑r=0.8 m,半錐角γ=26.6°，雷達(dá)視線的方位角和高低角(α,β)=(20°,70°)；彈頭錐旋角ξ=8°，進(jìn)動(dòng)頻率ωc=5π rad/s。不同散射點(diǎn)的散射系數(shù)不同，假設(shè)A，B，C散射點(diǎn)散射系數(shù)之比為1.5∶1∶1。設(shè)經(jīng)粗補(bǔ)償后平動(dòng)速度V=5 m/s，一階加速度a1=2m/s2,二階加速度a2=0.5m/s3?？紤]到在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)，目標(biāo)存在姿態(tài)上的起伏，這會(huì)導(dǎo)致單個(gè)脈沖的信噪比難以被量化。因此，在仿真過(guò)程中設(shè)定觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的平均信噪比為3 dB。后文關(guān)于信噪比的敘述與此處意義相同。采用短時(shí)傅里葉變換時(shí)頻分析方法對(duì)回波進(jìn)行時(shí)頻分析,窗函數(shù)選擇為hamming窗，對(duì)應(yīng)表達(dá)式為

(21)

式(21)中，窗長(zhǎng)N=55。

在進(jìn)行微動(dòng)周期搜索時(shí)，設(shè)置搜索步長(zhǎng)為0.2 s。

圖4 平動(dòng)未補(bǔ)償時(shí)回波分析Fig.4 The analysis of echo withour translatioinal compensation

圖4(a)為未補(bǔ)償時(shí)回波波形，圖4(b)為平動(dòng)未補(bǔ)償?shù)幕夭〞r(shí)頻圖。由圖4(b)可以看出多普勒曲線出現(xiàn)嚴(yán)重變形，無(wú)法通過(guò)現(xiàn)有曲線實(shí)現(xiàn)微動(dòng)參數(shù)估計(jì)。

圖5(a)為對(duì)信號(hào)的三階模糊函數(shù)進(jìn)行延遲時(shí)間搜索。圖中出現(xiàn)一系列峰值，通過(guò)采用式(15)對(duì)峰值進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)二階加速度的估計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)二階加速度的補(bǔ)償，圖5(b)為對(duì)二階加速度補(bǔ)償后的結(jié)果。同理，圖5(c)和圖5(d)為加速度補(bǔ)償結(jié)果。圖5(e)和圖5(f)分別為采用本文的半周期延遲相乘和文獻(xiàn)[13]中所提算法對(duì)速度進(jìn)行估計(jì)，可見(jiàn)本文所提算法能夠頻域中有效抑制微動(dòng)分量的影響，圖5(g)為最終補(bǔ)償后得到的時(shí)頻圖。

表1 參數(shù)估計(jì)性能分析

表1中反映了本文方法對(duì)平動(dòng)參數(shù)及微動(dòng)周期的估計(jì)效果。由表中可知，各參數(shù)的估計(jì)誤差均保持在5%以內(nèi)，因此可以認(rèn)為文中所提方法具有較高的平動(dòng)參數(shù)估計(jì)精度。需要說(shuō)明的是由于本文設(shè)定微動(dòng)周期搜索步長(zhǎng)為0.2 s，而微動(dòng)周期為0.4 s，恰好可以實(shí)現(xiàn)微動(dòng)周期的0誤差估計(jì)。實(shí)際過(guò)程中無(wú)法實(shí)現(xiàn)如此高精度的估計(jì)，但是通過(guò)合理調(diào)整搜索步長(zhǎng)，可以提高微動(dòng)周期估計(jì)精度。由于文中采取的基于高階模糊函數(shù)的參數(shù)估計(jì)實(shí)質(zhì)是對(duì)回波進(jìn)行延遲共軛相乘處理，而處理之后得到的回波的信噪比一定會(huì)下降[15]，因此當(dāng)回波信噪比降低到某臨界值時(shí)，峰值搜索過(guò)程中出現(xiàn)多個(gè)虛假峰值，導(dǎo)致a1、a2、a3無(wú)法被正確估計(jì)。仿真發(fā)現(xiàn)該臨界信噪比值為-4 dB。

圖5 平動(dòng)參數(shù)估計(jì)及補(bǔ)償Fig.5 Parameter estimation and compensation of translational motion

分別采用文獻(xiàn)[5]中提出的平動(dòng)補(bǔ)償算法和本文提出的平動(dòng)補(bǔ)償算法對(duì)復(fù)合運(yùn)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，對(duì)補(bǔ)償后的微多普勒作誤差分析如圖6所示。

圖6 平動(dòng)補(bǔ)償后微多普勒誤差分析Fig.6 The error anslysis of micro-Doppler withranslational motion compensated

從圖6可以看出，相對(duì)于文獻(xiàn)[5]所提的算法，經(jīng)過(guò)本文所提算法補(bǔ)償后的微多普勒具有相對(duì)誤差低，補(bǔ)償效果好。

文獻(xiàn)[7]中基于最強(qiáng)散射點(diǎn)的平動(dòng)參數(shù)估計(jì)僅適用于微距離為正弦形式的情況。而本文提出的方法對(duì)于具有周期性的微動(dòng)形式均可以實(shí)現(xiàn)有效的平動(dòng)補(bǔ)償，具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性，并且本文提出的算法在對(duì)平動(dòng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的同時(shí)，還可以實(shí)現(xiàn)微動(dòng)周期的有效估計(jì)。文獻(xiàn)[8]提出的基于最小時(shí)頻熵的平動(dòng)補(bǔ)償方法雖然操作簡(jiǎn)單且具有一定的補(bǔ)償能力，該算法僅能實(shí)現(xiàn)去除徑向加速度對(duì)微多普勒分析帶來(lái)的影響，對(duì)于速度對(duì)微多普勒的影響則依賴于雷達(dá)自身的測(cè)速精度，具有一定的局限性。與文獻(xiàn)[12]中的平動(dòng)補(bǔ)償方法相比，平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)誤差基本為一個(gè)量級(jí)。仿真發(fā)現(xiàn)在信噪當(dāng)大于-4 dB時(shí)，各次估計(jì)結(jié)果完全相同，因此估計(jì)均方誤差明顯小于文獻(xiàn)[12]中所提方法，所以估計(jì)效果相對(duì)穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本文提出了基于高階模糊函數(shù)的進(jìn)動(dòng)目標(biāo)平動(dòng)補(bǔ)償算法。該算法將平動(dòng)引起的距離變化等效為三階多項(xiàng)式，采用基于高階模糊函數(shù)的思想實(shí)現(xiàn)了對(duì)微動(dòng)周期和平動(dòng)參數(shù)的估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)中段彈道目標(biāo)平動(dòng)分量的有效補(bǔ)償。仿真實(shí)驗(yàn)證明，該算法受噪聲影響相對(duì)較小，參數(shù)估計(jì)精度高，且適用于任何具有周期性的微動(dòng)形式?？紤]到本文對(duì)于回波高階矩的求解需要相對(duì)較長(zhǎng)的觀測(cè)時(shí)間，后續(xù)將研究如何在較短的觀測(cè)時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)更為精確的平動(dòng)補(bǔ)償。