α噪聲環(huán)境下基于余弦代價(jià)函數(shù)的盲均衡算法

王旭光，陳 紅

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230031)

0 引言

盲均衡算法不需要訓(xùn)練序列，只需要依靠自身接收的信號(hào)的統(tǒng)計(jì)信息來(lái)更新均衡器向量，可以有效提高系統(tǒng)的寬帶利用率[1]。由于計(jì)算量小、實(shí)時(shí)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，常模盲均衡算法(Constant Modulus Blind Equalization Algorithm，CMA)備受關(guān)注。上世紀(jì)90年代，基于CMA的分?jǐn)?shù)間隔均衡器得到了廣泛發(fā)展和應(yīng)用[2]。CMA算法的代價(jià)函數(shù)不含相位信息，對(duì)相偏反應(yīng)遲鈍，僅適用于均衡幅度恒定的信號(hào)。最初的盲均衡算法研究是在無(wú)噪聲的假設(shè)下進(jìn)行的，這是由于當(dāng)時(shí)大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為碼間串?dāng)_(Intersymbol Interface，ISI)是引起通信信號(hào)失真的主要原因。這一假設(shè)對(duì)有線通信情況，如同軸電纜、光纖或雙絞線是適用的，但對(duì)于無(wú)線通信系統(tǒng)不合適[3]。而后，F(xiàn)ijalkow等人將信道噪聲建模為高斯白色噪聲模型，研究了加性高斯噪聲信道對(duì)CMA算法的影響[4]。但是在無(wú)線通信系統(tǒng)中，自然界中的很多噪聲，如槍炮聲、電器開關(guān)、雷電磁暴、海雜波等，都具有很強(qiáng)的脈沖性，在很短時(shí)間內(nèi)具有很強(qiáng)的幅度。而α穩(wěn)定分布是唯一一種滿足廣義中心極限定理的分布，可以有效描述這一類噪聲干擾，Nikias等人最先將其引入信號(hào)處理領(lǐng)域[5]。α穩(wěn)定分布具有很強(qiáng)的代表性，可以描述各種不同類型的脈沖噪聲。在這種噪聲條件下，許多傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法性能下降嚴(yán)重，如CMA。因此，將CMA加以改進(jìn)，使它能夠在脈沖噪聲環(huán)境下也有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，是當(dāng)前一個(gè)重要的研究方向。

當(dāng)前已經(jīng)有許多這方面的研究成果。文獻(xiàn)[6]中提出了一種分?jǐn)?shù)低階常模盲均衡算法(FLOSCMA)，該算法在一定程度上抑制了脈沖噪聲，但是會(huì)產(chǎn)生相位偏轉(zhuǎn)。LI S等人提出了FLOSMCMA算法，該算法可以糾正相偏，但是均衡效果不理想[7]。以上幾種方法大都是固定步長(zhǎng)的，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間存在矛盾關(guān)系[8]。為了進(jìn)一步增強(qiáng)盲均衡算法在無(wú)線通信系統(tǒng)中的性能，增強(qiáng)其適應(yīng)能力，本文提出了一種基于改進(jìn)余弦代價(jià)函數(shù)的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)低階盲均衡算法。

1 α穩(wěn)定分布噪聲與余弦代價(jià)函數(shù)

1.1 α穩(wěn)定分布噪聲與分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

在無(wú)線通信中，尤其是在復(fù)雜電磁環(huán)境下，信號(hào)中的噪聲和干擾往往具有較強(qiáng)的脈沖性而且不服從高斯分布，而α穩(wěn)定分布模型則更適用于描述這些噪聲。其特征函數(shù)為[9]：

(1)

式(1)中，α是特征指數(shù)(0<α≤2)，當(dāng)α=2，β=0時(shí)，式(1)可化簡(jiǎn)為φ(t)=exp(jat-γ|t|α)，此時(shí)α分布可以看作為高斯分布。此外，α越小，噪聲的脈沖性就越強(qiáng)。γ是分散系數(shù)，又叫尺度參數(shù)，反映了α穩(wěn)定分布的離散程度，其值必須取正數(shù)；β是對(duì)稱系數(shù)，反映了α分布的傾斜程度，當(dāng)β=0時(shí)，α穩(wěn)定分布是關(guān)于μ對(duì)稱的,μ是位置參數(shù)[10]。圖1是一個(gè)α=1.5時(shí)的對(duì)稱α穩(wěn)定分布序列。

圖1 α=1.5時(shí)的對(duì)稱α穩(wěn)定分布序列Fig.1 Symmetric alpha-stable distribution when α=1.5

當(dāng)α<2時(shí)，α穩(wěn)定分布不再存在二階以及高階統(tǒng)計(jì)量，這使得CMA算法在脈沖噪聲條件下性能嚴(yán)重退化。而在α穩(wěn)定分布噪聲條件下，分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量(Fractional Lower Order Statistics,FLOS)在信道均衡中可以起到抑制脈沖噪聲的效果[10]。Rupi等提出了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的常模盲均衡算法(FLOSCMA)，該算法利用輸入信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階矩設(shè)計(jì)代價(jià)函數(shù)，但是穩(wěn)態(tài)誤差仍比較大[10]。

1.2 余弦代價(jià)函數(shù)

常模盲均衡算法(CMA)的代價(jià)函數(shù)為：

J=E[e2(k)]=E{[|z(k)|2-R2]2}

(2)

利用隨機(jī)梯度下降法可得均衡器權(quán)向量更新公式為：

f(k+1)=f(k)-μ(|z(k)|2-R2)y*(k)z(k)

(3)

CMA通常適用于常模信號(hào)，但對(duì)于非常模信號(hào)，CMA收斂速率慢穩(wěn)態(tài)誤差大。針對(duì)上述缺陷，饒偉提出了一種基于余弦代價(jià)函數(shù)的盲均衡方法[11]。在復(fù)信號(hào)情況下，文獻(xiàn)[11]定義新的代價(jià)函數(shù)為：

J(f)=2E{cos2[zr(k)]·π/2}/π+
2E{cos2[zi(k)]·π/2}/π

(4)

式(4)中，zr(k)、zi(k)分別為均衡輸出信號(hào)的實(shí)部與虛部。利用隨機(jī)梯度下降法可得均衡器抽頭系數(shù)更新公式為：

(5)

式(5)中，μ為步長(zhǎng)。定義誤差函數(shù)為：

e(k)=sin[zr(k)π]+jsin[zi(k)π]

(6)

式(4)-式(6)即構(gòu)成了基于余弦代價(jià)函數(shù)的盲均衡算法。

2 α噪聲下改進(jìn)的自適應(yīng)盲均衡算法

2.1 改進(jìn)的分?jǐn)?shù)低階盲均衡算法

傳統(tǒng)盲均衡算法大多是基于高斯噪聲假設(shè)的，而由于α穩(wěn)定分布噪聲不含有二階矩以及高階矩，所以傳統(tǒng)的基于均方誤差準(zhǔn)則的盲均衡算法在脈沖噪聲環(huán)境下其性能會(huì)大幅度下降。為了抑制α穩(wěn)定分布噪聲，Rupi等人提出了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的常模盲均衡算法FLOSCMA，通過(guò)引入分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量來(lái)更新均衡器權(quán)向量，使均衡器輸出信號(hào)能夠較好收斂。但該算法在脈沖噪聲條件下收斂較慢，效果也不太理想。

為了解決上述問(wèn)題，改善現(xiàn)有算法的性能，將分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量與基于余弦代價(jià)函數(shù)的盲均衡算法結(jié)合。盲均衡器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 盲均衡算法流程圖Fig.2 The flow chart of blind equalization algorithm

圖2中，x(k)為信號(hào)源發(fā)送的恒模信號(hào)；c(k)為傳輸信道，根據(jù)具體情況的不同，可以選擇實(shí)信道或復(fù)信道；n(k)為加性脈沖噪聲；f(k)為均衡器的權(quán)向量，也是均衡器的沖激響應(yīng)；y(k)為經(jīng)過(guò)信道的接收序列，同時(shí)也是均衡器的輸入序列。

由于α穩(wěn)定分布噪聲不含有二階以及高階矩，故將文獻(xiàn)[11]的代價(jià)函數(shù)定義為：

(7)

式(7)中，p∈(0,α)，該代價(jià)函數(shù)中利用了均衡器輸出的p階分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量且p<2。利用隨機(jī)剃度下降法對(duì)均衡器權(quán)向量進(jìn)行更新，得：

(8)

式(8)中，μ為步長(zhǎng)，er、ei定義如下：

(9)

(10)

新算法的誤差函數(shù)項(xiàng)e=er+jei。當(dāng)信號(hào)為M-QAM信號(hào)時(shí)且均衡器理想均衡時(shí)，星座坐標(biāo)為zr(k)={±1,±3,…},zi(k)={±1,±3,…},此時(shí)可看出cos[zr(k)π/2]≡cos[zi(k)π/2]≡0，此時(shí)盲均衡代價(jià)函數(shù)為0，穩(wěn)態(tài)誤差為0，均衡器的抽頭系數(shù)不再更新。

2.2 變步長(zhǎng)算法

固定步長(zhǎng)無(wú)法解決收斂速率與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。當(dāng)取一個(gè)較大的步長(zhǎng)時(shí)，算法前期穩(wěn)態(tài)誤差可以較快降低至一個(gè)較低的水平，但后期算法會(huì)在最佳值附近來(lái)回波動(dòng)，難以取得良好收斂效果。取一個(gè)較小步長(zhǎng)時(shí)，算法前期收斂較慢，但算法后期可以有效收斂至最佳值附近。解決這一矛盾的主要思想是：在步長(zhǎng)與算法誤差之間建立某種函數(shù)關(guān)系，即在均衡初期采用大步長(zhǎng)以保證收斂速率，而在均衡后期步長(zhǎng)逐漸減小，以提高收斂精度，目前主要借助均方誤差作為調(diào)整步長(zhǎng)的變量。

Hamidia M等人提出了一種基于Sigmoidal函數(shù)的步長(zhǎng)更新方法，其步長(zhǎng)更新公式如下[12]：

(11)

但該方法更新過(guò)程中加入了指數(shù)運(yùn)算，嚴(yán)重延長(zhǎng)運(yùn)算時(shí)間。

Gao Y等人提出了一種借助自相關(guān)估計(jì)來(lái)修正步長(zhǎng)的自適應(yīng)算法，其步長(zhǎng)更新公式如下[13]：

(12)

鄧江波等人提出了一種基于箕舌線函數(shù)的LMS算法，其步長(zhǎng)與誤差之間有下列關(guān)系[14]：

(13)

在這一算法中，α3、β3用來(lái)調(diào)整步長(zhǎng)的變化頻率與最大值，e(k)為誤差函數(shù)，這一算法無(wú)需進(jìn)行指數(shù)計(jì)算，能夠減少運(yùn)算復(fù)雜度，提升均衡效率。

2.3 改進(jìn)的基于箕舌線的變步長(zhǎng)算法

在變步長(zhǎng)算法中，當(dāng)采用誤差信號(hào)作為調(diào)節(jié)因子時(shí)，輸入端噪聲敏感，容易使步長(zhǎng)產(chǎn)生較大抖動(dòng)。因此設(shè)想利用自相關(guān)估計(jì)來(lái)修正步長(zhǎng)因子，以消除不相關(guān)噪聲序列的干擾。由于脈沖噪聲會(huì)在極短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生較大幅度的脈沖，所以采用自相關(guān)估計(jì)|e(k)e(k-1)|能夠有效消除不相關(guān)噪聲的影響，而且由于箕舌線函數(shù)沒有加入指數(shù)運(yùn)算，其運(yùn)算復(fù)雜度會(huì)明顯少于基于Sigmoidal函數(shù)的變步長(zhǎng)算法，新的步長(zhǎng)更新公式如下：

(14)

式(14)中，β4、α4分別用來(lái)控制步長(zhǎng)變化的范圍與變化的速率。當(dāng)參數(shù)β4、α4確定后，步長(zhǎng)與α4|e(k)||e(k-1)|成正比，在算法初期，誤差較大時(shí)，步長(zhǎng)也會(huì)比較大，使得算法盡快收斂；隨著算法運(yùn)行，誤差逐漸減小，則步長(zhǎng)隨之變小，使算法能夠更精確地進(jìn)行搜索，降低收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性和穩(wěn)定性，將新算法與CMA算法、FLOSCMA算法以及不同的變步長(zhǎng)算法在不同環(huán)境噪聲下作對(duì)比。仿真平臺(tái)為Matlab R2014a。

仿真一：在高斯環(huán)境噪聲下，比較CMA算法、FLOSCMA算法、新算法的性能。采用水聲信道h=[0.313 2，-0.104 0,0.890 8,0.313 4]，發(fā)射信號(hào)為10 000點(diǎn)的4QAM信號(hào)，信噪比為SNR=20 dB，均衡器長(zhǎng)為7，在不同步長(zhǎng)條件下檢驗(yàn)三種方法的收斂性能，第一次實(shí)驗(yàn)CMA、FLOSCMA迭代步長(zhǎng)均為μ=0.001 5，第二次試驗(yàn)兩者步長(zhǎng)均為μ=0.000 5，低階統(tǒng)計(jì)量p=1.7，新算法中β4=0.005，α4=0.07，蒙特卡洛試驗(yàn)500次仿真如圖3所示。

圖3 均方誤差曲線圖Fig.3 Curve of mean square error

從圖3(a)中可以看出，當(dāng)環(huán)境噪聲為高斯噪聲時(shí)，CMA算法、FLOSCMA算法、新算法都可以取得良好的均衡效果，但是由于新算法能夠根據(jù)誤差來(lái)調(diào)整步長(zhǎng)，因此可以獲得較快的收斂速率，比CMA算法快了大約5 000步，比FLOSCMA算法快了大約800步。且三者收斂后新算法均方誤差要低于CMA、FLOSCMA算法。而兩種算法步長(zhǎng)調(diào)節(jié)為μ=0.000 5時(shí)，三者收斂后穩(wěn)態(tài)誤差相差不大而新算法的收斂速率明顯快于其他兩種算法。

仿真二：在α穩(wěn)定分布噪聲中，比較CMA算法、FLOSCMA算法、新算法的性能。采用廣義信噪比GSNR來(lái)衡量信號(hào)與脈沖噪聲之間的強(qiáng)弱關(guān)系，如式(15)所示：

GSNR=10lg(E(|y(k)|2)/γ)

(15)

仿真實(shí)驗(yàn)中取GSNR=25 dB，特征指數(shù)α=1.6；發(fā)射信號(hào)為10 000點(diǎn)的16QAM信號(hào)，均衡器長(zhǎng)度為7，CMA、FLOSCMA迭代步長(zhǎng)均為μ=0.001，新算法中β4=0.01，α4=0.07，低階統(tǒng)計(jì)量p=1.4，蒙特卡洛500次實(shí)驗(yàn)仿真如圖4所示。

圖4 均衡后星座圖和均方誤差Fig.4 Constellation and MSE after equalization

從圖中可以看出，在脈沖噪聲環(huán)境下新算法也能取得很好的均衡效果，其收斂速度要比CMA、FLOSCMA算法快的多，收斂后的誤差也小于其他兩種算法。從星座圖看來(lái)，新算法星座圖也最清晰。

仿真三：在脈沖噪聲環(huán)境下，比較式(11)、式(12)、式(13)三種變步長(zhǎng)方式的剩余穩(wěn)態(tài)誤差。實(shí)驗(yàn)中取GSNR=25 dB，特征指數(shù)α=1.6；發(fā)射信號(hào)為4 500點(diǎn)的16QAM信號(hào)，均衡器長(zhǎng)度為7，β1=β2=0.005，α1=α2=0.07，β3=β4=0.01，α3=α4=0.3仿真效果如圖5所示。

圖5 均方誤差對(duì)比曲線Fig.5 MSE contrast curve

從圖中可以看出，四種方法最終都能取得良好的收斂效果，但是第二種和第四種方法收斂速度要明顯快于方法一和方法三，所以可以認(rèn)為方法二、方法四均衡性能較為優(yōu)越，而且方法四由于不需要指數(shù)運(yùn)算，所以其計(jì)算復(fù)雜度明顯小于方法二。

4 結(jié)論

本文提出了基于余弦代價(jià)函數(shù)的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)低階盲均衡算法。該算法將分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量引入到余弦代價(jià)函數(shù)中，使它能夠更好地抑制脈沖噪聲；為了解決傳統(tǒng)固定步長(zhǎng)算法不能同時(shí)兼顧收斂速率和穩(wěn)態(tài)誤差這一問(wèn)題，提出了一種新的變步長(zhǎng)算法，這一算法不需要進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，計(jì)算量小。仿真結(jié)果表明，新算法能夠在不同的噪聲環(huán)境下工作，特別在脈沖噪聲環(huán)境下，穩(wěn)態(tài)誤差以及收斂速率要明顯優(yōu)于CMA、FLOSCMA以及其他變步長(zhǎng)算法。