古典概型應(yīng)用實(shí)例分析

王冠凱

摘 要：生活中存在很多數(shù)學(xué)模型，古典概型是其中最常見也最廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型之一。我們應(yīng)當(dāng)善于將學(xué)習(xí)到的知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際，那么古典概型在具體的實(shí)例中是怎樣應(yīng)用的呢？本文就針對(duì)這一問題給大家做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。

關(guān)鍵詞：古典概型 古典算法 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2019）02-0-01

引言

古典概型起源于賭博，十六世紀(jì)的意大利學(xué)者卡爾達(dá)諾在《機(jī)會(huì)性游戲手冊(cè)中》公布了關(guān)于賭博實(shí)踐的體會(huì)，這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。[1]古典概型也稱為古典算法，是我們高中階段所接觸到的一種在封閉系統(tǒng)內(nèi)的概率模型。在古典模型下，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)果都是有限的，并且每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率也是相同的，即古典概型具有的最基本的兩個(gè)特征是有限性和等可能性。

一、猜拳游戲

古典概型在概率中占有比較重要的地位，一方面，它的許多概念比較直觀，容易理解；另一方面，它又概括了許多實(shí)際問題，有著很廣泛的應(yīng)用。[2]猜拳游戲是其中最簡(jiǎn)單的一種，也是古典概型有限性和等可能性最直觀的體現(xiàn)。因?yàn)閺?fù)雜的模型都是以簡(jiǎn)單模型為基礎(chǔ)構(gòu)建而成的，因此只要掌握了簡(jiǎn)單模型，對(duì)復(fù)雜模型只要按照步驟一步步分析，困難也就迎刃而解了。

例1、甲乙兩個(gè)同學(xué)玩一局猜拳游戲（剪刀、石頭、布），問會(huì)出現(xiàn)幾種游戲結(jié)果，且每種游戲結(jié)果出現(xiàn)的概率各是多少？

解析：首先，只有兩人參加的猜拳游戲的結(jié)果有三種情況，甲勝出；乙勝出；甲乙平局。

當(dāng)甲出石頭時(shí)，乙分別出石頭、剪刀、布分別對(duì)應(yīng)平局、甲勝出、乙勝出的游戲結(jié)果。

當(dāng)甲出剪刀時(shí)，乙分別出石頭、剪刀、布分別對(duì)應(yīng)乙勝出、平局、甲勝出的游戲結(jié)果。

當(dāng)甲出布時(shí)，乙分別出石頭、剪刀、布分別對(duì)應(yīng)甲勝出、乙勝出、平局的游戲結(jié)果。

由以上分析可以得出：九種出拳情形中甲勝出、乙勝出、平局的情形分別都是三種。

平局的概率：P（A）=3/9=1/3

甲勝出的概率：P（B）=3/9=1/3

乙勝出的概率：P（C）=3/9=1/3

二、擲骰子問題

古典概率知識(shí)在競(jìng)爭(zhēng)規(guī)則中有著重要價(jià)值，很多競(jìng)技或游戲中經(jīng)常會(huì)用到擲骰子來決定先手后手。它不僅是制定游戲規(guī)則的重要道具，也可以檢驗(yàn)一個(gè)簡(jiǎn)單構(gòu)建的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制是否公平，為比賽創(chuàng)造出一個(gè)良好的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境。

例2、甲乙兩位同學(xué)打乒乓球，用同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地相同的骰子決定誰先發(fā)球。

問：兩個(gè)骰子向上點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是多少？如果規(guī)定所擲骰子和為單數(shù)時(shí)甲先發(fā)球；和為偶數(shù)時(shí)乙先發(fā)球，該規(guī)則是否公平？

解析：擲一個(gè)骰子會(huì)出現(xiàn)6種不同的結(jié)果，我們分別把兩個(gè)骰子標(biāo)記為M，N。同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地相同的骰子，總共會(huì)出現(xiàn)以下這些情況：

（M1，N1）、（M1，N2）、（M1，N3）、（M1，N4）、（M1，N5）、（M1，N6）

（M2，N1）、（M2，N2）、（M2，N3）、（M2，N4）、（M2，N5）、（M2，N6）

（M3，N1）、（M3，N2）、（M3，N3）、（M3，N4）、（M3，N5）、（M3，N6）

（M4，N1）、（M4，N2）、（M4，N3）、（M4，N4）、（M4，N5）、（M4，N6）

（M5，N1）、（M5，N2）、（M5，N3）、（M5，N4）、（M5，N5）、（M5，N6）

（M6，N1）、（M6，N2）、（M6，N3）、（M6，N4）、（M6，N5）、（M6，N5）

由此可知：同時(shí)擲兩個(gè)骰子一共會(huì)出現(xiàn)36種情況。兩個(gè)骰子向上點(diǎn)數(shù)之和是6的情況一共有5種，故兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和是6的概率為P（A）=5/36。兩個(gè)骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)的情況有18種概率為P（B）=18/36=1/2，偶數(shù)的情況有18種概率為P（C）=18/36=1/2，P（B）=P（C）。故規(guī)定所擲骰子之和為單數(shù)時(shí)甲先發(fā)球，和為偶數(shù)時(shí)乙先發(fā)球，該規(guī)則公平。

三、摸球問題

生活中，大家總是希望少量的投入獲取大量的回報(bào)，如何正確看待小概率事件帶來的利益，是懷抱一絲希望無線循環(huán)還是摒棄該小概率方案選擇穩(wěn)妥的方案？我們利用古典概型可以在一定程度上避免盲目上當(dāng)受騙。

例3、校門口外，賣糖畫的小販拿出一個(gè)布袋，里面放了6個(gè)相同質(zhì)地大小的玻璃球，3個(gè)黑球3個(gè)白球，在紙板上寫著購買規(guī)則：

（1）摸球一次，三個(gè)球是同一個(gè)顏色，則免費(fèi)送一個(gè)老虎糖畫。

（2）摸球一次，三個(gè)球若不是同一個(gè)顏色，則給攤主一元錢。

問：該種購買規(guī)則下，從概率角度分析是五元買一個(gè)老虎糖畫劃算還是摸球劃算。

解析：把“摸球一次，三個(gè)球是同一個(gè)顏色”記為事件X，把“摸球一次，三個(gè)球不是同一個(gè)顏色”記為事件Y，事件A與事件B 為對(duì)立事件，其中基本事件有：

（黑1黑2白1）（黑1黑2白2）（黑1黑2白3）（黑1黑2黑3）

（黑2黑3白1）（黑2黑3白2）（黑2黑3白3）（黑2白1白2）

（黑2白1白3）（黑2白2白3）（黑3白1白2）（黑3白2白3）

（黑3白1白3）（白1白2白3）（黑1黑3白1）（黑1黑3白2）

（黑1黑3白3）（黑1白1白2）（黑1白1白3）（黑1白2白3）

共20中情況，其中事件X有2種情況；事件Y有18種情況。事件X發(fā)生的概率為P（X）=2/20=1/10；事件Y發(fā)生的概率為P（Y）=18/20=9/10，1/10<9/10。即用摸球規(guī)則得到老虎糖畫沒有花5元錢購買老虎糖畫劃算。

由上例可知，對(duì)于一些求總量的概率問題，如果問題條件發(fā)生變化，可以從特殊到一般，建立遞推關(guān)系求解。[3]

結(jié)語

古典概型應(yīng)用廣泛，經(jīng)濟(jì)、工業(yè)生產(chǎn)、生物遺傳等領(lǐng)域都有它的身影出現(xiàn)。我們應(yīng)用古典算法計(jì)算生活中瑣碎的事件，絕非為了計(jì)算而計(jì)算，而是應(yīng)用古典概型將生活中復(fù)雜的問題以一種直觀的方式呈現(xiàn)出來，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，化繁為簡(jiǎn)。我們應(yīng)當(dāng)善于將學(xué)習(xí)過的知識(shí)學(xué)以致用，當(dāng)深入了解之后就能在以后的生活中舉一反三，更加深刻的了解事物。

參考文獻(xiàn)

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社.2004.

[2]安永紅.古典概型問題的推廣[J].呼倫貝爾學(xué)院報(bào).2008-12.

[3]韓寶艷.古典概型解題技巧解析[J].山東工業(yè)技術(shù).2014-05.