ARIMA與GM(1,1)模型對我國肺結(jié)核年發(fā)病人數(shù)預(yù)測情況的比較*

濰坊醫(yī)學(xué)院(261053)

孫 娜 許小珊 馮佳寧 馬 潔 黃 璐 田 野 杜澤玉 孟維靜 王素珍△ 石福艷△

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國家掌握肺結(jié)核的發(fā)展情況,有利于及時制定方針政策,更好的做到“早發(fā)現(xiàn)、早隔離、早治療”,從而及時做好肺結(jié)核的防治工作[1]。本次研究利用2011年至2016年我國肺結(jié)核的發(fā)病人數(shù),分別構(gòu)建ARIMA乘積季節(jié)模型和GM(1,1)模型,采用平均絕對百分誤差(MAPE)來評價模型的擬合效果,并給出肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)的預(yù)測值,為我國傳染病應(yīng)急預(yù)案的制定提供依據(jù)。

資料與方法

1.資料來源

研究中使用的2011年至2016年肺結(jié)核的發(fā)病人數(shù)資料來源于中國疾病預(yù)防控制中心發(fā)布的中華人民共和國國家衛(wèi)生和計(jì)劃生育委員會公報(bào)。利用2011年至2016年肺結(jié)核的月發(fā)病人數(shù)擬合ARIMA乘積季節(jié)模型,利用2011年至2016年肺結(jié)核的年發(fā)病人數(shù)擬合GM(1,1)模型。

2.分析方法

分別利用ARIMA乘積季節(jié)模型和GM(1,1)模型擬合我國肺結(jié)核的發(fā)病人數(shù),用于我國肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)的預(yù)測,并通過比較平均絕對百分誤差(MAPE)得到擬合效果較好的模型。

(1)ARIMA乘積季節(jié)模型

當(dāng)序列既具有短期相關(guān)性還存在季節(jié)效應(yīng),同時短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)通過加法模型無法充分、有效提取時,就可以使用乘積季節(jié)模型來進(jìn)行擬合。

(2)ARIMA乘積季節(jié)模型的構(gòu)造原理

當(dāng)原始序列具有季節(jié)效應(yīng),季節(jié)相關(guān)性可以通過以周期步長為單位的ARMA(P,Q)模型提取;當(dāng)原始序列具有短期相關(guān)性時,一般可通過低階ARMA(p,q)模型提取。當(dāng)短期相關(guān)性和季節(jié)相關(guān)性之間具有乘積關(guān)系時,我們要擬合模型的模型則為ARMA(p,q)模型和ARMA(P,Q)模型的乘積。

(3)ARIMA乘積季節(jié)模型的建模流程

①平穩(wěn)性檢驗(yàn):根據(jù)時序圖顯示的特征與ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果判斷序列的平穩(wěn)性。②白噪聲檢驗(yàn):對平穩(wěn)序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn),若序列為白噪聲序列則分析結(jié)束,若序列不是白噪聲序列則進(jìn)一步擬合ARMA模型。③擬合ARMA模型。

其中擬合ARMA模型的過程主要包括:①計(jì)算得到平穩(wěn)后序列的樣本自相關(guān)系數(shù)(ACF)與樣本偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)的值。②根據(jù)樣本ACF和PACF,選擇合適的ARMA(p,q)模型進(jìn)行擬合。③運(yùn)用極大似然估計(jì)法估計(jì)模型參數(shù)。④模型的檢驗(yàn)。當(dāng)擬合模型不能通過檢驗(yàn)時,則重新進(jìn)行步驟(2)。⑤模型的優(yōu)化。當(dāng)擬合模型檢驗(yàn)通過了,仍然重新進(jìn)行步驟(2),擬合新的模型,并且通過AIC和SBC最小原則選擇最優(yōu)模型。⑥預(yù)測。利用所選的最優(yōu)模型進(jìn)行預(yù)測。

(4)GM(1,1)模型的建立

利用灰色預(yù)測法來擬合GM(1,1)模型[2]。設(shè)時間序列x(1)有n個觀察值,x(1)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)},通過一次累加生成以弱化其隨機(jī)性,強(qiáng)化其規(guī)律性的序列X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)},則GM(1,1)模型相應(yīng)的微分方程為:

式中,a稱為發(fā)展灰數(shù),μ稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。利用最小二乘法求解a和μ,可以得到預(yù)測模型:

(5)GM(1,1)模型的檢驗(yàn)

(6)外推預(yù)測

若所建模型的殘差檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)和關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)均符合條件,我們就可以用該模型進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測公式為:

以2011-2016年我國肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)為原始序列,利用SAS 9.4調(diào)用IML宏程序建立肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)預(yù)測模型[4],然后對模型進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)通過后,運(yùn)用該模型預(yù)測我國2017-2018年肺結(jié)核的發(fā)病人數(shù)。

(7)ARIMA與GM(1,1)模型效果評價

本次研究采用平均絕對百分誤差(MAPE),比較ARIMA乘積季節(jié)模型和GM(1,1)模型兩種模型在預(yù)測我國肺結(jié)核年發(fā)病人數(shù)中的效果。

MAPE=(∑|(xi-x)/x|*100%)/n

式中xi與x分別代表為預(yù)測值和實(shí)際值。

結(jié) 果

1.ARIMA乘積季節(jié)模型建立

(1)判斷序列的平穩(wěn)性

圖1 2011-2016年我國肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)時序圖

時序圖顯示,該序列具有明顯的單調(diào)遞減的趨勢,同時也具有周期變化規(guī)律。我們嘗試進(jìn)行1階差分,實(shí)現(xiàn)其趨勢平穩(wěn);進(jìn)行12步差分,提取其中的周期信息。

時序圖顯示,差分后序列在0附近比較穩(wěn)定地波動,可以初步認(rèn)為差分運(yùn)算后的序列平穩(wěn)。ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

由于ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果顯示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所對應(yīng)的P值均小于0.05。因此,可以認(rèn)為經(jīng)過差分后的序列已經(jīng)平穩(wěn)。

(2)白噪聲檢驗(yàn)

圖2 差分后序列時序圖

表1 增廣 Dickey-Fuller 單位根檢驗(yàn)

表2 差分運(yùn)算后序列白噪聲檢驗(yàn)

在檢驗(yàn)的顯著性水平取0.05的條件下,由于延遲6階的卡方統(tǒng)計(jì)量的值為23.16,P值為0.0007,小于0.05,所以該差分后的序列不能視為白噪聲序列,即差分后序列還蘊(yùn)含著相關(guān)信息可供提取。

(3)ARIMA模型識別

圖3 差分后序列自相關(guān)圖

樣本自相關(guān)圖顯示延遲12階自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍,這說明差分后序列中仍蘊(yùn)含著非常顯著的季節(jié)效應(yīng)。而且延遲1階的自相關(guān)系數(shù)也大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差,這說明差分后序列還具有短期相關(guān)性,考慮擬合乘積模型ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。根據(jù)ACF圖和PACF圖所顯示的特征,認(rèn)為12階以內(nèi)的自相關(guān)圖1階截尾,偏自相關(guān)圖拖尾,嘗試ARMA(0,1)模型提取成分后序列的短期相關(guān)信息。一般P、Q階值比較難判斷,根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)[5]提示，P、Q階值通常不會超過2階,所以我們對P、Q分別取0、1、2,由低階到高階逐個實(shí)驗(yàn),根據(jù)AIC和SBC最小原則選擇最優(yōu)模型[6]。最終得到的可以充分提取序列信息的模型有以下兩個:

圖4 差分后序列偏自相關(guān)圖

表3 ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的組合與最優(yōu)模型的選取準(zhǔn)則檢驗(yàn)

根據(jù)AIC和SBC最小原則確定最優(yōu)模型為ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12。

(4)ARIMA模型參數(shù)估計(jì)與模型檢驗(yàn)

運(yùn)用極大似然估計(jì)法估計(jì)模型參數(shù)。

表4 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型參數(shù)顯著性檢驗(yàn)

模型參數(shù)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都小于0.05,因此,在顯著性水平為0.05條件下,可以認(rèn)為模型參數(shù)值與0之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表5 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型殘差白噪聲檢驗(yàn)

延遲各階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值均大于0.05,所以擬合的ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型成立。擬合模型的具體形式為▽▽12xt=(1-0.83148B)(1-0.73177B12)εt

根據(jù)擬合出的ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型得到2017-2018年我國肺結(jié)核的月發(fā)病人數(shù)依次為82561、78303、109046、103622、99448、92873、93436、90499、86277、79478、82595、83082、78809、74552、105295、99871、95697、89122、89685、86748、82525、75726、78844、79330人。因此,2017-2018年我國肺結(jié)核的年發(fā)病人數(shù)依次為1081220、1036204人。

2.GM(1,1)模型

以我國2011-2016年肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)為原始序列,運(yùn)用SAS 9.4計(jì)算得出模型參數(shù)a=0.053161,μ=1469122.88,因此,應(yīng)用GM(1,1)模型建立我國肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)預(yù)測模型:

(1)殘差檢驗(yàn)

表6 預(yù)測值與真實(shí)值之間的比較

結(jié)果顯示,所有的相對誤差均小于0.05,所以該模型可以通過殘差檢驗(yàn)。

(2)后驗(yàn)差檢驗(yàn)

經(jīng)檢驗(yàn),后驗(yàn)差C值為0.17385,小概率P值為1.00,模型預(yù)測精度等級為好[3],可以將該模型用于外推預(yù)測。

(3)關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

運(yùn)用SAS 9.4進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果顯示,關(guān)聯(lián)度r=0.63042>0.6,滿足檢驗(yàn)準(zhǔn)則。因此,模型通過了關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。

(4)肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)的預(yù)測

根據(jù)擬合的GM(1,1)模型進(jìn)行肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)的預(yù)測。預(yù)測我國2017-2018年肺結(jié)核的年發(fā)病人數(shù)依次為1042909、988915人。

3.模型效果評價

根據(jù)模型預(yù)測結(jié)果,計(jì)算2011-2016年兩模型的MAPE值。肺結(jié)核年發(fā)病人數(shù)ARIMA乘積季節(jié)模型和GM(1,1)模型MAPE分別為1.70%和1.45%。通過比較MAPE可以發(fā)現(xiàn)GM(1,1)模型擬合效果要好于ARIMA乘積季節(jié)模型。

討 論

目前在時間序列預(yù)測中應(yīng)用比較多的模型就是ARIMA乘積季節(jié)模型和GM(1,1)模型。本研究中運(yùn)用GM(1,1)模型和ARIMA乘積季節(jié)模型對我們肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)進(jìn)行擬合,用于比較ARIMA乘積季節(jié)模型和GM(1,1)模型在我們年肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)預(yù)測中的準(zhǔn)確性。兩種模型擬合均通過了模型檢驗(yàn),均可用于我國肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)的外推預(yù)測,通過比較兩種模型的MAPE可以發(fā)現(xiàn),GM(1,1)模型的MAPE小于ARIMA乘積季節(jié)模型的MAPE。因此GM(1,1)模型對我國肺結(jié)核年發(fā)病人數(shù)的擬合效果高于ARIMA乘積季節(jié)模型。可能是因?yàn)槲覀冊谶M(jìn)行年發(fā)病人數(shù)預(yù)測時,體現(xiàn)不出ARIMA乘積季節(jié)模型的預(yù)測優(yōu)勢。但是,通過ARIMA乘積季節(jié)模型可以得到我國肺結(jié)核的月發(fā)病人數(shù),也具有其獨(dú)特的優(yōu)勢。

運(yùn)用所得到的GM(1,1)灰色預(yù)測模型預(yù)測我國未來兩年肺結(jié)核的發(fā)病人數(shù)依次為1042909、988915人。預(yù)測結(jié)果顯示,我國2017-2018年肺結(jié)核的發(fā)病人數(shù)將呈現(xiàn)出下降的趨勢,但是其發(fā)病數(shù)仍然處于較高的水平。

肺結(jié)核是慢性傳染性病,其流行趨勢是有規(guī)律可循得,因此疾病預(yù)防控制中心應(yīng)積極采取綜合措施,聚焦重點(diǎn)人群、強(qiáng)化業(yè)務(wù)知識培訓(xùn)、全面深入推進(jìn)全民肺結(jié)核預(yù)防策略與措施的宣傳,提高公眾對肺結(jié)核預(yù)防知識的知曉率[7],更好的做到“早發(fā)現(xiàn)、早隔離、早治療”,從而提高肺結(jié)核病人的發(fā)現(xiàn)率。疾病預(yù)防控制中心還應(yīng)該采取措施強(qiáng)化聯(lián)防聯(lián)控,在宣傳肺結(jié)核預(yù)防策略與措施的同時宣傳現(xiàn)代肺結(jié)核治療策略與措施,讓公眾更好地了解到國家對肺結(jié)核病人所采用的政策與措施,使肺結(jié)核的病人可以得到規(guī)范的治療和管理,從而使肺結(jié)核病人的治愈率得到提高。對于確診為肺結(jié)核的患者,我們應(yīng)該根據(jù)他們的實(shí)際病情,及時的采取有效的治療措施,對患者的病情進(jìn)行控制,才能有效控制傳染源,從而降低肺結(jié)核病人的傳染率。對于肺結(jié)核的病人,我們還應(yīng)該及時的掌握病人的病情資料以及藥物的使用情況,督促病人及時用藥,加強(qiáng)肺結(jié)核病人規(guī)律治療的意識,避免不規(guī)律服藥造成的治療失敗等后果。對肺結(jié)核病人進(jìn)行長期的追蹤治療,還可以及時獲得他們的病情詳細(xì)資料,為將來對肺結(jié)核的觀察性研究提供資料。