平面四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的零點標(biāo)定方法

郭曉玲,湯奧斐，張 奔

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048)

索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人是由柔索代替剛性連桿的一種新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有工作空間大、承載能力強(qiáng)、累計誤差小、易拆卸、可重構(gòu)等優(yōu)點，在加工制造、航空航天、醫(yī)療機(jī)械等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。

定位精度是索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人的重要性能指標(biāo)之一，對于實現(xiàn)末端執(zhí)行器的精確操作具有重要意義。索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人定位誤差主要分為兩類：一類是系統(tǒng)誤差，如加工誤差、裝配誤差、傳動誤差等；另一類是隨機(jī)誤差，如數(shù)字誤差、環(huán)境誤差、負(fù)載誤差等。

研究表明，幾乎95%的機(jī)器人位置誤差都是由于機(jī)器人內(nèi)部運動學(xué)模型不準(zhǔn)確引起的[2]，從而有必要對機(jī)器人進(jìn)行運動學(xué)標(biāo)定。

鑒于末端執(zhí)行器所有的操作任務(wù)是相對于坐標(biāo)系零點位置的相對運動，零點位置的準(zhǔn)確程度直接決定機(jī)器人的定位精度。因此，減小零點誤差對提高機(jī)器人定位精度具有重要意義。

目前，對于零點誤差，國內(nèi)外的解決方法主要有機(jī)械調(diào)整法和零點標(biāo)定法兩種。其中，零點標(biāo)定技術(shù)方面的研究較少，大多仍停留在理論研究和實驗階段[3]。Ding等[4]應(yīng)用幾何誤差迭代及非線性擬合方法，對一種2自由度并聯(lián)機(jī)器人的零點誤差進(jìn)行了辨識；郭云鵬等[5]運用空間矢量法建立了6自由度并聯(lián)平臺的零點誤差模型，借助激光跟蹤儀完成零點標(biāo)定，提高了精度；隋春平等[6]以Delta并聯(lián)機(jī)器人為例，提出一種基于視覺測量的零點標(biāo)定方法；梅江平等[7]針對一種4自由度高速并聯(lián)機(jī)器人Cross-IV的零點標(biāo)定問題，提出了一種基于末端轉(zhuǎn)角誤差信息的快速零點標(biāo)定方法。

本文針對平面四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出一種簡單快速的零點標(biāo)定方法，首先根據(jù)運動學(xué)逆解建立零點誤差模型并建立目標(biāo)函數(shù)；然后通過直角尺、千分表、磁力表座等標(biāo)準(zhǔn)量具采集測量點的坐標(biāo)；接著，利用非線性最小二乘法對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，完成零點標(biāo)定，并對實驗結(jié)果進(jìn)行分析。

1 誤差模型

1.1 結(jié)構(gòu)模型

四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖 1(a)所示，該機(jī)器人系統(tǒng)由四個位于地面的電機(jī)同時驅(qū)動四個獨立的卷索機(jī)構(gòu)，每個卷索機(jī)構(gòu)上的柔索通過架設(shè)在靜平臺四個頂點上的定滑輪牽引動平臺運動。四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連接圖如圖 1(b)所示，其中，全局坐標(biāo)系為O-XY，其原點位于矩形B1B2B3B4的中點，OX方向為水平方向，OY方向為豎直方向；局部坐標(biāo)系為O′-X′Y′，其原點位于動平臺的中心點，當(dāng)動平臺位于矩形B1B2B3B4的中點時，局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系重合。

索與定滑輪的切點為Bi(i=1,2,…,4)，索與動平臺的連接點為Ai(i=1,2,…,4)，已知模型參數(shù)a=50 mm，b=1 120 mm。

由矢量封閉原理得，四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人的索長Li(i=1,2,…,4)為：

Li=|OBi-OAi|

(1)

式中：在全局坐標(biāo)系O-XY下，OBi為柔索與靜平臺連接點的位置矢量；OAi為柔索與動平臺連接點的位置矢量。

此外，四根索的初始索長分別為L01、L02、L03、L04。卷索機(jī)構(gòu)中的滾筒結(jié)構(gòu)簡圖如圖 2所示。

已知電機(jī)旋轉(zhuǎn)一圈對應(yīng)的脈沖數(shù)M=8 192，滾筒直徑D=50 mm，則一個脈沖對應(yīng)的索長LM=πD/8 192=0.02 mm。因此，四根索的索長變化量ΔLi便可由脈沖變化ΔMi求得：

ΔLi=LM×ΔMi(i=1,2,…,4)

(2)

則索長Li為：

Li=L0i+ΔLi=L0i+LM×ΔMi(i=1,2,…,4)

(3)

圖1 四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram for four-cable-driven parallel mechanism

圖2 滾筒結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Roller structure diagram

1.2 誤差模型

四索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)要實現(xiàn)精確控制，首要問題就是找到初始零點的準(zhǔn)確位置。

設(shè)全局坐標(biāo)系O-XY的原點O(x0,y0)為初始零點，為了找到它的準(zhǔn)確位置，現(xiàn)對其進(jìn)行標(biāo)定。

首先，建立如圖 3(a)所示的測量坐標(biāo)系O′-X′Y′。

Li,j=|OBi-OAi,j|

(i=1,2,…,4;j=1,2,…,N)

(4)

式(4)中方程組的個數(shù)為4N，其中包含2N+4個未知量。若方程有解，根據(jù)方程個數(shù)和解的關(guān)系有4N≥2N+4 ，即N≥2 ，因此測量點的個數(shù)至少為2。式(3)相應(yīng)改寫為：

Li,j=L0i+ΔLi,j=L0i+LM×ΔMi,j

(i=1,2,…,4;j=1,2,…,N)

(5)

圖3 零點標(biāo)定示意圖Fig.3 Diagram for zero-point calibration

由式(4)和式(5)可得，目標(biāo)函數(shù)索長誤差E：

(6)

2 誤差測量

測量時，首要問題是確定測量坐標(biāo)系的基準(zhǔn)軸線，才能保證測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確。本文利用標(biāo)準(zhǔn)直角尺的兩條相互垂直的邊來確定測量坐標(biāo)的軸系，如圖 4所示。

圖4 測量坐標(biāo)系的選擇Fig.4 Selection of measurement coordinate system

前期準(zhǔn)備工作：

姥姥沒接她的茬。反正也不是什么大不了的事，當(dāng)年全是我做的主，今天我就再做主一次，也不跟你爸你媽商量了，全告訴你吧。

1) 因為靜平臺加工精度高，故選擇靜平臺上與全局坐標(biāo)系X軸平行的邊作為測量坐標(biāo)系X′軸的基準(zhǔn)，在基準(zhǔn)面處固定一塊與XOY平面垂直且與X軸平行的鋼板；

2) 標(biāo)準(zhǔn)量具磁力表座的底面平面度較高，沿著直角尺一條直角邊滑動，磁力表座上的百分表與鋼板接觸。

具體操作為：

首先，使直角尺與X軸平行的一條邊與磁力表座緊密接觸；

然后，記錄磁力表座沿著直角尺的直角邊滑動過程中百分表的讀數(shù)，即間接獲得直角尺與基準(zhǔn)面的偏差，由于本文的測量精度為0.1 mm，故在滑動過程中百分表顯示的偏差在0.1 mm以內(nèi)視為定位準(zhǔn)確；

接著，不斷調(diào)整直角尺的位置，磁力表座在400 mm(最大實驗值)之內(nèi)移動的過程中，其百分表的讀數(shù)偏差在0.1 mm以內(nèi)，即說明直角尺一條直角邊所在位置為測量坐標(biāo)系的X′軸，且與參考基準(zhǔn)面平行；

同時，由于直角尺為標(biāo)準(zhǔn)量具，直角尺的另一直角邊確定為測量坐標(biāo)系的Y′軸，此時，直角尺兩條邊便組成了測量坐標(biāo)系O′-X′Y′[8]。

表1 零點標(biāo)定實驗數(shù)據(jù)Tab.1 Experiment data from zero-point calibration

3 參數(shù)識別與誤差補(bǔ)償

測量點的坐標(biāo)采集后，運用最小二乘法進(jìn)行數(shù)值計算，求出滿足式(6)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。求解過程中，先求解出目標(biāo)函數(shù)的雅克比矩陣，再使用迭代法求出零點位置。

現(xiàn)將靜平臺和動平臺坐標(biāo)代入式(6)中求出第i根索索長誤差，則式(6)變?yōu)椋?/p>

Ei(x,y)=(bix-aix-x)2+(biy-aiy-y)2
(i=1,2,…,4)

(7)

式中：bix、biy為第i根索與靜平臺連接點的坐標(biāo)；aix、aiy為第i根索與動平臺連接點的坐標(biāo)；x、y為動平臺P的坐標(biāo)位置。

對式(7)求其雅克比矩陣：

(8)

由于最小二乘法一般對初值的選取要求較高，這里選擇零點附近的值作為初值，即動平臺零點在測量坐標(biāo)系下的初值P0坐標(biāo)為：x0=-85.0 mm，y0=38.0 mm；初始索長(即標(biāo)定零點位置對應(yīng)的索長)為：L01=L02=L03=L04=756.60 mm。

(9)

給定迭代收斂精度ε=10-3mm，若存在：

(10)

則滿足收斂條件；否則繼續(xù)迭代，迭代增量為：

ΔP=-J+F

(11)

Pk+1=Pk+ΔP

(12)

式中：F為外力螺旋；Pk為第k次迭代的坐標(biāo)，k的取值由式(10)的迭代結(jié)果確定；J+=(JTJ)-1JT。

標(biāo)定算法的計算過程如圖5所示，其為第i根索最小二乘法標(biāo)定流程圖。

通過上述方法，經(jīng)4次(索編號i分別取1、2、3、4)計算后，標(biāo)定后的零點坐標(biāo)為：x0=-82.94 mm，y0=38.89 mm。

圖5 最小二乘法標(biāo)定Fig.5 Least-squares calibration method

圖6 迭代計算誤差Fig.6 Iterative calculation error

4 結(jié) 語