隱變量分形插值曲線的計(jì)盒維數(shù)

張明霞，馮志剛

(江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

分形插值給出了擬合數(shù)據(jù)的一種新思想，為很多領(lǐng)域提供了有力的理論依據(jù)，例如海岸線、材料斷口輪廓、心電圖等，而插值的構(gòu)造方法有很多種，各有千秋。為了提高插值的靈活性，人們將分形插值推廣到隱變量分形插值的情形。Barnsley等[1]首先給出了一元隱變量分形插值函數(shù)的結(jié)構(gòu)，它的思想就是在R3中構(gòu)造一組三維壓縮變換，將其吸引子投影到R2，其投影就是插值于給定數(shù)據(jù)集的函數(shù)圖像，而R3中的這些額外自由度就是所謂的隱變量，這些變量可以用來(lái)調(diào)節(jié)函數(shù)的形狀和分形維數(shù)。之后，隱變量分形插值函數(shù)得到廣泛研究。文獻(xiàn)[2,3]研究了具有常數(shù)壓縮因子的隱變量分形插值曲面的構(gòu)造；Kapoor和Prasad[4]討論了數(shù)據(jù)集的擾動(dòng)對(duì)隱變量分形插值函數(shù)的光滑性以及穩(wěn)定性的影響；文獻(xiàn)[5]提出了一個(gè)自由變量是函數(shù)，其他自由變量是常數(shù)的隱變量分形插值曲面的構(gòu)造，但沒(méi)有給出它們的分形性質(zhì)；楊麗萍[6]探討了當(dāng)HVFIF迭代函數(shù)系的自由參量和函數(shù)項(xiàng)聯(lián)合擾動(dòng)時(shí)，擾動(dòng)了的HVFIF與原HVFIF的差，并且得到兩者誤差估計(jì)的上界，其次研究了隱變量分形插值函數(shù)的矩量積分、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的擾動(dòng)誤差問(wèn)題，證實(shí)了自由參數(shù)及函數(shù)項(xiàng)的細(xì)微擾動(dòng)對(duì)HVFIF 的函數(shù)值、矩量積分及 Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分干擾不明顯。分形維數(shù)是分形幾何中的一個(gè)重要研究部分。Mandelbrot[7]用維數(shù)度量不規(guī)則圖形的粗糙度；Ruan等[8]提出一個(gè)不同的方法計(jì)算連續(xù)函數(shù)計(jì)盒維數(shù)；Feng[9]研究了矩形區(qū)域上的分形插值曲面，并通過(guò)盒維數(shù)與δ-變差的關(guān)系得到二元分形插值函數(shù)盒維數(shù)的精確值；馮志剛等[10]根據(jù)連續(xù)函數(shù)δ-變差性質(zhì)分析了分形插值函數(shù)的δ-變差性質(zhì)，得到了分形插值曲線計(jì)盒維數(shù)定理新的證明方式；徐惠[11]、王偉[12]根據(jù)變差討論了分形插值函數(shù)的維數(shù)；文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了空間分形插值曲線，進(jìn)而得到了計(jì)算空間分形插值曲線計(jì)盒維數(shù)的公式；文獻(xiàn)[14]對(duì)基于循環(huán)迭代的分形插值函數(shù)的構(gòu)造方法及其計(jì)盒維數(shù)進(jìn)行了研究，給出了其維數(shù)定理。由于隱變量分形插值函數(shù)構(gòu)造的復(fù)雜性與特殊性，其維數(shù)討論是極少的。

本文在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上根據(jù)振幅與盒子數(shù)的關(guān)系，得到了一元隱變量分形插值曲線的維數(shù)公式，為隱變量分形插值曲線的維數(shù)計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。

1 隱變量分形插值曲線的結(jié)構(gòu)

考慮一元隱變量分形插值函數(shù)。設(shè){(xi,yi)∈I×J1:i=0,1,…,N}是平面R2上一個(gè)給定的數(shù)據(jù)集，其中I=[0,1]，J1是一個(gè)閉區(qū)間，01為給定的正整數(shù)。給定一組實(shí)數(shù){zi:i=0,1,…,N}，得到一個(gè)廣義數(shù)據(jù)集：

{(xi,yi,zi)∈I×J1×J2:i=0,1,…,N}?R2,

J2是包含{zi:i=0,1,…,N}的一個(gè)適當(dāng)?shù)拈]區(qū)間。

令I(lǐng)i=[xi-1,xi],|Ii|=xi-xi-1,i=1,2,…,N,D=J1×J2,K=I×D。

定義映射Li:I→Ii,i=1,2,…,N,滿足映射：

Li(x)=|Ii|x+xi-1

(1)

令Fi:K→D,i=1,2,…,N，是連續(xù)映射且滿足：

(2)

pi(x)、qi(x)是兩個(gè)定義在I上的Lipschitz函數(shù)，為了插值的連續(xù)性，假設(shè)以下端點(diǎn)條件成立：

(3)

由式(2)、(3)可以計(jì)算出pi(0)、pi(1)、qi(0)、qi(1)應(yīng)滿足的端點(diǎn)條件。ai、bi、di為自由參量，且滿足約束條件|ai|<1、|bi|+|di|<1。

對(duì)于任意的(yi,zi),(yj,zj)∈R2，定義R2上的度量：

ρ((yi,zi),(yj,zj))=|yi-yj|+|zi-zj|,0≤i,j≤N,i,j∈Z

故對(duì)于任意三個(gè)點(diǎn)(x,y,z),(x′,y,z),(x,y′,z′)∈K,存在某正數(shù)c使得下式成立：

Wi(x,y,z)=(Li(x),Fi(x,y,z)),i=1,2,…,N

(4)

則{K;Wi(x,y,z):i=1,2,…N}是R3上的IFS，存在R3上的度量使得Wi在此度量下是壓縮的，由文獻(xiàn)[1]知該迭代函數(shù)系有唯一的吸引子G，G是一個(gè)連續(xù)的向量值分形函數(shù)的圖像，記此向量值分形函數(shù)為V:I→D,滿足V(xi)=(yi,zi),i=0,1,…,N,且有下列不動(dòng)點(diǎn)方程：

V(x)=Fi(Li-1(x),V(Li-1(x))),?x∈Ii,i=1,2,…,N

(5)

記

V(x)=(f(x),g(x)),x∈I

(6)

則f:I→R為隱變量分形插值函數(shù)，記為HVFIF，它的圖像是吸引子G在xoy平面上的投影且經(jīng)過(guò)給定的數(shù)據(jù)集{(xi,yi)∈I×J1∶i=0,1,…,N}。g:I→R是一般的分形插值函數(shù)，其圖像是吸引子G在xoz平面上的投影且經(jīng)過(guò){(xi,zi)∈I×J2∶i=0,1,…,N}。

由式(5)、(6)可得：

g(Li-1(x))),x∈Ii

(7)

于是有：

(8)

例1令I(lǐng)=[0,1]，N=3,取數(shù)據(jù)點(diǎn)：(x0,y0,z0)=(0,0,0)，(x1,y1,z1)=(0.5,1,1)，(x2,y2,z2)=(1,0,0);并取

這里|ai|=|bi|，pi(x)=eix+fi，qi(x)=tix+ri，ei、fi、ti、ri由端點(diǎn)條件(3)計(jì)算得到。

迭代圖形及投影如圖1所示。圖中藍(lán)色曲線代表空間曲線，綠色曲線表示其在xoz面的投影，紅色表示其在xoy面的投影，即所要研究的隱變量分形插值曲線。

圖1 |ai|=|bi|時(shí)，迭代9次Fig.1 When|ai|=|bi|，iterations 9 times

例2數(shù)據(jù)點(diǎn)取值同例1，改變ai和bi，使|ai|≠|(zhì)bi|，取

其迭代圖形及投影如圖2所示(線型含義同圖1)。

圖2 |ai|≠|(zhì)bi|時(shí)，迭代9次Fig.2 When|ai|≠|(zhì)bi|，iterations 9 times

2 連續(xù)函數(shù)的計(jì)盒維數(shù)

設(shè)r是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，Tr={(x,r(x))|x∈[a,b]}是r的圖像。

(9)

這里O(f,τl,ε)=sup{f(xi)-f(xj)|xi,xj∈[τl,τl+ε]∩[a,b]}。

(10)

3 隱變量分形插值曲線的計(jì)盒維數(shù)

下面通過(guò)估計(jì)隱變量分形插值函數(shù)的盒子數(shù)得到其維數(shù)方程。

引理2f是由式(4)確定的一元隱變量分形插值函數(shù)，對(duì)于?0<ε<1/2min{xi-xi-1|i=1,…,N},?δ>0,?β1，β2>0使得：

證明：令

為[xi-1,xi]上的ε分割，由于

f(Li(x))=aif(x)+big(x)+pi(x)

(11)

(12)

(13)

那么存在常數(shù)β1>0，使

l∈{0,1,…,m}

同理可以推得對(duì)于任意δ>0，存在常數(shù)β2>0，使

引理得證。

接下來(lái)分兩種情況討論：

a) 若|ai|=|bi|，那么|ci|=|ai|。由引理2結(jié)論及|ai|=|bi|，存在β1,β2>0使得：

(14)

g是一般的分形插值函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[16],存在B1，B2>0使得：

那么，存在較大的θ1，θ2>0，由式(14)有：

定義

(15)

b)若|ai|≠|(zhì)bi|，由式(14)及|ci|=max{|ai|,|bi|}，可得：

所以

后續(xù)證明與a)類似，在此不再重復(fù)。所以當(dāng)|ai|≠|(zhì)bi|時(shí)，dimB(Tf)=s。

定理1說(shuō)明，由式(4)確定的一元隱變量分形插值函數(shù)的維數(shù)與自由參量ai、bi的最大值有關(guān)。

4 應(yīng) 用

選取例1中的隱變量分形插值曲線，|ai|=|bi|，|Ii|=0.5,i=1,2，由定理1，可以計(jì)算出該分形圖形的計(jì)盒維數(shù)s=log0.5(1/1.1)+1≈1.14。

在例2中，|ai|≠|(zhì)bi|，根據(jù)定理1，可以計(jì)算出此時(shí)分形圖形的計(jì)盒維數(shù)s=log0.25(1/1.3)+1≈1.38。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文為了計(jì)算隱變量分形插值曲線的計(jì)盒維數(shù)，首先根據(jù)振幅與盒子數(shù)的關(guān)系，給出了這類隱變量分形插值曲線盒子數(shù)的估計(jì)范圍，接著在定理1中討論了兩種情況，得到了隱變量分形插值曲線的維數(shù)公式，說(shuō)明了這類一元隱變量分形插值函數(shù)的維數(shù)與自由參量ai、bi的最大值有關(guān)。