基于“一課多Mo”的小學數(shù)學深度教學研究（六）

管尤躍　周佳泉

這是“?！弊值慕鹞拇笞w，其本義是指“鑄造器物的模子”，在本文中有如下幾義：（1）模型;（2）模式;（3）模板。絕大多數(shù)教師都很熟悉“數(shù)學模型”“教學模式”“設計模板”等概念，關于這個內(nèi)容筆者曾在《云南教育》（小學教師）2018年第9期《基于“一課多Mo”的小學數(shù)學深度教學研究（一）》一文中簡略介紹過，在這里將進一步解釋說明其內(nèi)涵及教學價值。

一、小學數(shù)學深度教學之“一課多?！薄Ｐ?/p>

“模型”的基本含義很多，拓展后主要在數(shù)學模型、物理模型、結(jié)構(gòu)模型、工業(yè)模型、仿真模型、人力資源模型、思維模型等各領域中提及，其含義主要有兩個：一是指“主要反映問題系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點和因果關系的模型（即結(jié)構(gòu)模型）”;二是指“用簡單易懂的圖形、符號、結(jié)構(gòu)化語言等表達人們思考和解決問題形式（即思維模型）”。其實在小學數(shù)學的教學中，有效使用“模型”進行教學是極其關鍵的，當然，反過來看，在教學中循序漸進地滲透“模型”是基礎，這當中“數(shù)學概念教學”尤為關鍵。舉例來說，人民教育出版社出版（簡稱“人教版”）的小學數(shù)學四年級教材中，“速度、路程和時間”這節(jié)課中的“速度×時間=路程”就是一個“模型”，這是小學階段數(shù)學教學中兩個最為重要的“模型”之一（另一個是“單價×數(shù)量=總價”），這是應該花大力氣進行教學的“種子課”（借用全國著名特級教師俞正強老師在其專著《種子課》中的說法），因為這是今后學習幾乎所有關于速度、時間和路程方面的內(nèi)容時所需要的，例如相向、相背、相離、相距、相遇問題、追及問題、過橋問題、工程問題等，幾乎都離不開這一“模型”。

【案例1】人教版小學數(shù)學五年級上冊第79頁例5（教材圖如下），其詳細分析已刊登在《云南教育》（小學教師）2019年第1、2期《基于“一課多Mo”的小學數(shù)學深度教學研究（五）》中，在此想要強調(diào)的是教學中必須帶領學生經(jīng)歷梳理清楚數(shù)量間關系（就是“模型”）的過程，這也是學習此類問題的關鍵所在，此模型就是：速度×時間=路程。這個模型的內(nèi)涵和外延是今后學習的重中之重，需要清楚地知道這三個量之間的統(tǒng)一、對應關系。

如，小林騎的速度×小林騎的時間=小林騎的路程，還要清晰地理解此模型的變形：

這也是教材中所采用的問題解決思路，教學時還可以讓學生體會此類問題中是如何延伸運用“速度×時間=路程”這一模型的：

（小林騎的速度+小云騎的速度）×時間=總路程

面對同一個模型，讓學生體驗學習的樂趣在于“變”，更在于“變中的不變”，正如上面教材中的例題，就可以改變問題、改變其中一個條件的位置、改變數(shù)據(jù)、改變內(nèi)容等使其成為新的問題解決，簡單舉例如下：

（1）-輛客車以每小時60千米的速度從甲地開往乙地，同時一輛轎車以每小時90千米的速度從乙地開往甲地，經(jīng)過3小時兩車相遇，甲、乙兩地之間的路程是多少千米？

（2）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛客車以每小時60千米的速度從甲地開往乙地，同時一輛轎車以每小時90千米的速度從乙地開往甲地，經(jīng)過幾小時兩車相遇？

（3）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛客車從甲地開往乙地，同時一輛轎車從乙地開往甲地，經(jīng)過3小時兩車相遇，客車每小時行駛60千米，轎車每小時行駛多少千米？

（4）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛轎車從乙地開往甲地，同時一輛客車從甲地開往乙地，經(jīng)過3小時兩車相遇，轎車每小時行駛90千米，客車每小時行駛多少千米？

（5）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛轎車以每小時行駛90千米的速度從乙地開往甲地，行駛l小時后一輛客車以每小時行駛60千米的速度從甲地開往乙地，經(jīng)過多長時間兩車相遇？

（6）-輛客車以每小時行駛60千米的速度從甲地開往乙地，行駛1小時后一輛轎車以每小時行駛90千米的速度從甲地開往乙地，經(jīng)過多長時間轎車追上客車？

不僅僅如此，還可以“變”出很多很多的問題供學生思考如何解決，但是我非常喜歡一個很有道理的觀點（盡管不知道出處）：沒有哪個數(shù)學家能做完所有的數(shù)學題！所以更重要的是讓學生做完幾題后停下來思考，我自己會不會編出這樣的問題解決，教會學生如何在準確地理解和把握其本質(zhì)的基礎上會思考、會表達、會交流，在“變”中尋找“不變”，“不變”的就是“模型”，是本質(zhì)，“變”的是形式，是趣味。其實教材中安排的練習就是為此目的而精心設計的，都是很典型而有價值的。

如，人教版小學數(shù)學教材第82頁練習十七的第11、12、13、14題。（見課本）

以上的這些問題其實都是用同一個“模型”（即速度×時間=路程）解決，最重要也是最關鍵的是日常教學有沒有養(yǎng)成“舉一反三”“觸類旁通”的習慣，真正促進學生會學、樂學、善學，而不是“照葫蘆畫瓢”，等遇到新問題時義束手無策！

二、小學數(shù)學深度教學之“一課多模”——模式

“模式”的基本含義是指事物的標準樣式，具有一般性、簡單性、重復性、結(jié)構(gòu)性、穩(wěn)定性和可操作性的特征，如：發(fā)展模式、教學模式等。模式在實際運用中必須結(jié)合具體情況，實現(xiàn)一般性和特殊性的銜接并根據(jù)實際情況的變化隨時調(diào)整要素與結(jié)構(gòu)才有可操作性。僅就小學數(shù)學教學模式而言，在我國近幾十年來頗有影響力的就多達數(shù)十種，還有類似于概念教學模式、計算教學模式、練習課教學模式等。在此，僅從使用圖示法進行小學數(shù)學問題解決教學的課堂組織模式進行分析，管中窺豹，希望對其他模式的教學起到參考價值。

【案例2】人教版小學數(shù)學三年級上冊第六單元例8。（見課本） 此問題解決課堂教學組織模式完全可以在幾乎所有有關問題解決的教學中運用，詳見《云南教育》（小學教師）2018年第12期《基于“一課多Mo”的小學數(shù)學深度教學研究（三）》，還可以將該模式用下圖表示：

【案例3】人教版小學數(shù)學五年級上冊第79頁例5（如下）：

在此，特別想突出表達的是：為何隨著年級的不斷升高學生之間的問題解決能力差距懸殊？即便是一、二年級為何面對小學數(shù)學教材中的情境圖畫（或?qū)嵨飯D、示意圖）理解卻也相去甚遠？雖然這涉及方方面面的問題，但其實這其中有一些極為基礎、重要但義容易被忽略或忽視的細節(jié)未做、未做好也是主要原因，千里之堤，毀于蟻穴，從多年所聽近千節(jié)課來看，這些細節(jié)細思極恐，現(xiàn)將問題和解決方法（也就是教學模式）呈現(xiàn)如下：

問題1：閱讀題目方式單一，未能充分調(diào)動全體學生的積極性和主動性，相對有困難的學生在沒完全準確理解題意的基礎上倉促進入下一個環(huán)節(jié)（列式解答）。

解決方法（即教學模式）：閱讀題目的方式有很多，一定不能也不用千篇一律，需要注意的最好不要采用“男生讀”“女生讀”這種毫無對比價值的方法，也要較少采用“XX的普通話好（或有感情朗讀）”的方法，最有效的方法（可廣泛使用）是讓學生“靜靜地讀”——自己閱讀，因為數(shù)學學習特別需要靜心思考，獨立思考。

問題2：讀完題目后緊迫：你知道什么了、還知道什么、要求什么、怎么求等，急于解答。

解決方法：可以通俗地理解，一個具有現(xiàn)實情境的數(shù)學問題解決其實就是一個小故事，如果要求對故事情節(jié)都沒有很好理解的學生（往往是有三分之一左右），對問題一知半解，對教學囫圇吞棗，這樣的情況多了、時間長了，到中高年級就很容易出現(xiàn)對問題理解、對數(shù)量關系的分析都有困難。

通?？梢圆捎眠@樣的教學模式，以達到因材施教，分類教學的目的：

（1）讓學生再次讀題，一般要求讀兩遍題目（即讀故事），教會學生精讀、細讀、研讀。

（2）不照著念題目，檢查學生能不能用自己的話表述出題目的意思（即講故事）。 教材這樣安排的目的就是要求在列式解答前應該做到真正理解題意，實際教學中更好的方法是“不看教材”用自己的話說理解。

（3）用不同的方法表達出你對這個問題的理解，一般可以用語義表征、符號表征、動作表征、圖形表征或意象表征等五種不同層次的表征形式中的一種或幾種進行表征，可用下圖表示四種常見表征方式的具體操作：我們再看看教材就是用圖形表征（線段圖）的：

問題3：列式（算式或方程等）解答后，未及時溝通表征形式和解答過程之間的聯(lián)系。

解決方法（也就是教學模式）：可以這樣說，一個數(shù)學問題解決本身就是一個“生態(tài)系統(tǒng)”，其間各環(huán)節(jié)、要素之間有很深的聯(lián)系，教學中要讓學生真正感受到這種聯(lián)系，感悟到“有機融合”的存在。就剛才這個例題而言，教材中的解答過程是這樣的：

至此，縱觀整個解答過程，溝通“題”——“圖”——“式”之間的一致性是很有必要的，既做到整體把握，義兼顧全局，有利于學生問題解決能力的提高。如下圖：

關于這方面的論述還可參考《云南教育》（小學教師）2018年第12期《基于“一課多Mo”的小學數(shù)學深度教學研究（三）》一文。

再舉一例：

相遇問題

5、小林和小云周日早上9：00，分別從家騎自行車相向而行，經(jīng)過10分鐘相遇，小林每分鐘騎0.25km，小云每分鐘騎0.2km，小林家和小云家相距多遠？

其實，這樣的模式在計算教學中同樣適合。

【案例4】給出這樣一道題：18×5=____。不需要你們給我最后的結(jié)果，我只需要你們在紙上面出來，這個乘法算式代表著什么？

這是美國斯坦福大學教育學系教授JoBoaler在講“數(shù)感”時所舉的一個例子。下面是學生畫出來的作品：

方法一：

有的孩子將方塊右邊補上一塊藍色的區(qū)域，算出整塊面積后再減去藍色方塊的面積。

方法二：

有的孩子將長方形截成左右兩塊，然后將右邊一塊挪到左邊長方形的下方。

方法三：

有的孩子也是將長方形截成左右相同的兩塊，然后她分別算左右兩塊的面積，接著再相加。

方法四：

有的孩子將長方形截成左右兩塊，只不過左邊的邊長是10，右邊的邊長是8，然后再計算總面積。

方法五：

同樣是拆分，之前別的孩子都是橫向的拆分，但是有一個孩子竟然縱向拆分，拆成三段，然后再計算總面積。

這僅僅是一道最普通的乘法題，數(shù)學思維好的孩子就能將之衍生出5種不同的表現(xiàn)形式。在這幫孩子的眼里，乘法不是簡單的計算，而是給了它們具體的意義，他們利用面積這個概念將18x5這個表達式有了含義。所謂數(shù)感是一個人對數(shù)與運算的一般理解。它使人眼中看到的世界有了量化的意味，當人遇到可能與數(shù)學有關的具體問題時，能自然地、有意識地與數(shù)學聯(lián)系起來，用數(shù)學的思想方法來進行處理和解釋。因此你看，當數(shù)感好的孩子，他們眼中的數(shù)學就很精彩，能變換出多種多樣的可能，這樣他們學習數(shù)學也會充滿樂趣！

從以上的分析可以看出，這樣的“一課多?！笔呛苡袃r值的，這樣的模式還可以用在概念教學、練習課、復習課等大多數(shù)小學數(shù)學課堂教學中。如果這樣的話，真能做到我心目中的讓教和學簡簡單單、輕輕松松、明明白白！

三、小學數(shù)學深度教學之“一課多模”——模板

“模板”其原意是指澆灌混凝土工程時定型用的板，也指作圖或設計方案的固定格式，是將一個事物的結(jié)構(gòu)規(guī)律予以固定化、標準化的成果，它體現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)形式的標準化。從其含義分析，在教學中與之前所述的模型、模式皆有相似之處，在此不再贅述。在本文中的“模板”所指的是針對某一種課型所采用的固定的教學設計，或者是學生所做練習采用某種結(jié)構(gòu)形式的標準化，這在某個特定的時期（例如剛步入教學生涯）或某些特定區(qū)域（例如XX中心學校）具有較強的規(guī)范性和易操作性。

如，人教版數(shù)學四年級上冊“角的度量”一課的學習中，學生在掌握了“兩個對齊”——量角器的圓心與角的頂點對齊、量角器的0刻度線與角的一條邊對齊的基礎上，還是不能正確地進行“變式題”的操作，出現(xiàn)下面這些令人啼笑皆非的操作結(jié)果：

究其原因，不外乎三：一是沒有深刻理解量角的本質(zhì)是“以角量角”——即把紙上的角與量角器上的“角”完全重合，根據(jù)量角器上與之全等的角的大小來刻面、描述待測的角的大小;二是沒有深刻理解量角器上的讀數(shù)本質(zhì)是“刻度差”——即始邊與終邊之差即為角度讀數(shù)——圖③中的量角方法其實也是可行的（90°與50°的差為40°）;三是學生不會把“異態(tài)角”變換為“常態(tài)角”。

解決方法（也就是教學模板）：由兩個“支架”構(gòu)成——一是設計“單式”量角器（左式與右式）降低學困生區(qū)分內(nèi)外圈讀數(shù)的困難（見下圖）;

二是采取變“異態(tài)角”為“常態(tài)角”（即始邊保持水平，終邊在始邊或其延長線之上）的方法，并成為一種思維“模板”，收到“以不變應萬變”的效果（如下圖）。 這在其他相關圖形的面積、體積計算時也是一樣的。如下圖中，學困生往往難以找到空白三角形的底和高，但是把“異態(tài)圖形”變?yōu)椤俺B(tài)圖形”就容易多了（如下圖）。

再比如，某些學校（以初、高中居多）解題的格式也搞出“已知、求、解、答”的答題模板，很好地規(guī)范了學生的解題步驟。

以上這些“模板”在教學中所起到的作用和價值毋庸置疑，不過一切事物都有其兩面性，使用模板也給教學增加了一個義一個的“圈套”或“枷鎖”，例如簡便計算中的“湊整”思想，其實這對于大部分題目而言是可行的，對很多學生夯實基礎也是有很大幫助的，但是這也會嚴重阻礙學生的創(chuàng)新思維和結(jié)合具體問題具體分析的基本能力，在小學4-6年級各種簡便運算中思維僵化、指鹿為馬、張冠李戴的現(xiàn)象尤為突出，限于篇幅，就寫到這兒。