一種基于羊角曲線的加工軌跡G2連續(xù)光順方法

李文森,管聲啟,鄭 璐,梁 洪

(1.西安工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,陜西 西安 710048;2.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,陜西 西安 710049)

0 引 言

隨著制造業(yè)迅速發(fā)展,零件的幾何形狀越來越復(fù)雜。但是大部分的數(shù)控系統(tǒng)難以有效處理此類參數(shù)形式的加工軌跡,一般通過CAM軟件生成連續(xù)小線段(G01命令)逼近加工軌跡[1]。由于在相鄰線段構(gòu)成的拐點(diǎn)處切向不連續(xù),機(jī)床在執(zhí)行這些指令時(shí)需要將速度降低到零。這種頻繁的加減速會(huì)增加加工時(shí)間和引發(fā)機(jī)床的振動(dòng),同時(shí)也降低了工件表面加工質(zhì)量[2-3]。因此,為了提高工件質(zhì)量及加工速度,必須對(duì)加工軌跡有效規(guī)劃。

為了改善線性加工軌跡的光滑性,許多學(xué)者提出了軌跡光順技術(shù),包括全局光順技術(shù)和局部光順技術(shù)[4-5]。全局光順技術(shù)通過高階參數(shù)曲線擬合或插值連續(xù)小線段來改善原有加工路徑,如B樣條曲線或NURBS[6-7]。然而,由于軌跡長度計(jì)算繁瑣[8],進(jìn)給波動(dòng)無法抑制[9-10],使實(shí)時(shí)插補(bǔ)成為困難。局部光順技術(shù)用微小曲線替換相鄰直線的拐角部分,實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性。隨著高階參數(shù)擬合技術(shù)的發(fā)展和此類方法計(jì)算的便捷性,局部光順技術(shù)越來越受到學(xué)者的關(guān)注。司慧曉[11]用圓弧過渡拐角,但是圓弧只能實(shí)現(xiàn)C1連續(xù)。YUTKOWIZ[12]和ZHANG[13]提出用高階多項(xiàng)式混合過渡拐角,但是迭代方法確定多項(xiàng)式系數(shù)非常耗時(shí)。PATELOUP[14]采用8個(gè)控制頂點(diǎn)的3次B樣條來光順拐角,無法解析計(jì)算曲率極值。SHI[15]和FAROUKI[16]介紹了PH(Pythagorean Hodograph)曲線局部光順拐角的方法,控制點(diǎn)的確定需迭代優(yōu)化。FAN[17]和SENCER[18]分別用4次和5次Bézier曲線過渡光順拐角,曲率極值可解析確定。

盡管眾多研究方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)拐角處的光順, 實(shí)現(xiàn)連續(xù)的加工曲線。 但是, 存在以下問題尚未解決: 拐角處連接曲線的弧長需牛頓-辛普森迭代獲得;

精細(xì)插補(bǔ)產(chǎn)生的位移增加量需返回迭代。 這些問題會(huì)占用 CNC 系統(tǒng)的計(jì)算內(nèi)存, 使實(shí)時(shí)性變差。本文提出一種基于羊角曲線的過渡曲線光順方法, 能夠?qū)崿F(xiàn)加工軌跡的G2連續(xù)、 輪廓誤差可控和光順?biāo)俣确橇愕男Ч?同時(shí)光順曲線的長度可解析獲得, 精細(xì)插補(bǔ)的位置增量基于多項(xiàng)式計(jì)算, 效率更高。

1 幾何光順

羊角曲線的曲率值隨螺旋線長度線性增加,且具有G2連續(xù)性質(zhì)，見圖1。由于其優(yōu)良特性,被廣泛應(yīng)用于公路設(shè)計(jì)和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)中。

圖 1 羊角曲線Fig.1 Clothoid curve

文獻(xiàn)[19] 對(duì)圖1 所示任意羊角曲線P(φ)={X(φ),Y(φ),Z(φ)} 的幾何特征進(jìn)行了解釋, 其結(jié)論為

(1)

圖 2 羊角曲線光順實(shí)例Fig.2 Example of clothoid smoothing

1.1 G2連續(xù)性

1.2 輪廓誤差

輪廓誤差是光順曲線與原線性軌跡之間垂直于曲線切線的間距。顯然光順曲線相接處為輪廓誤差極值,也是光順曲線最大曲率所在位置，見圖3。如圖3所示,輪廓誤差ε可以表示為

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由式(2)可知,輪廓誤差可以通過光順直線長度lt控制,因此在預(yù)定的最大輪廓誤差εp約束下的光順直線長度lt為

(3)

1.3 光順直線長度

圖 3 羊角曲線輪廓誤差Fig.3 Approximation error of clothoidcurve

圖 4 連續(xù)線段羊角光順Fig.4 Clothoid smoothing of continuous segment

(4)

此時(shí),光順曲線的長度為

(5)

(6)

2 速度規(guī)劃及插補(bǔ)

為了將光順?biāo)惴ㄇ度氲紺NC系統(tǒng)中,除了幾何光順?biāo)惴ㄖ?還需通過速度規(guī)劃和實(shí)時(shí)插補(bǔ)才能實(shí)現(xiàn)。速度規(guī)劃包含雙向看單元和速度規(guī)劃單元。雙向看單元即為雙向查看光順的混合加工軌跡,在運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件約束下得到速度敏感點(diǎn)的速度極值;速度規(guī)劃單元根據(jù)速度極值實(shí)行加減速規(guī)劃,從而得到連續(xù)穩(wěn)定的加減速。實(shí)時(shí)插補(bǔ)根據(jù)生成的速度曲線計(jì)算位置增量并作為位置參考指令發(fā)送給各運(yùn)動(dòng)軸。

2.1 速度規(guī)劃

首先對(duì)光順后的加工軌跡進(jìn)行雙向查看,以獲得曲率極值點(diǎn)(速度敏感點(diǎn))的允許速度。曲率極值為光順曲線對(duì)的連接點(diǎn),利用曲率計(jì)算公式可計(jì)算出曲率極值。結(jié)合法向/切向加速度(AN/Amax)、法向/切向躍度(JN/Jmax)和弓差等確定速度敏感點(diǎn)速度。雙向看策略分為2個(gè)部分。

(vJE-vs)3+4vs(vJE-vs)2+

(7)

式中:vJE和vs分別代表每個(gè)單元切向躍度約束下的末速度及初速度,Jmax為切向躍度。根據(jù)公式(7)求出vJE,考慮到切向加速度、弓差極值δmax、曲率及法向運(yùn)動(dòng)的約束,逆向看末速度還應(yīng)該滿足：

(8)

式中:Ts為采樣時(shí)間間隔。此時(shí)的末速度即為下一個(gè)單元序列的初速度,循環(huán)公式(7)和(8),完成逆向看速度掃描。

(9)

雙向看策略之后, 速度敏感點(diǎn)的速度都已求得, 從而獲得整段刀具路徑的速度約束。為實(shí)現(xiàn)精細(xì)插補(bǔ)計(jì)算, 有必要將速度約束與位移結(jié)合起來, 利用文獻(xiàn)[21]中的S加速法得到連續(xù)光滑的速度-時(shí)間曲線。

2.2 插補(bǔ)算法

插補(bǔ)算法是利用速度規(guī)劃出的速度極值來確定某一采樣時(shí)間Ts的位移量及插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。由于混合加工軌跡中包含線性段和曲線段插補(bǔ),因此根據(jù)插補(bǔ)點(diǎn)的位置在線性段或者曲線段來分別計(jì)算?；旌霞庸ぼ壽E如圖5所示,當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)I(kTs)位于線性段,插補(bǔ)算法如下:

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S(θi+1)UN]

(11)

(12)

S(ΔLk)UN]

(13)

最終獲得的位置指令被輸送給運(yùn)動(dòng)控制器,進(jìn)行反饋控制。

3 結(jié)果與分析

為驗(yàn)證羊角光順?biāo)惴ǖ目尚行?本文對(duì)UGNX生成的連續(xù)小線段蝴蝶圖形進(jìn)行光順,并設(shè)置參數(shù):最大進(jìn)給速率F為20 mm/s,最大切向/法向加速度Amax為200 mm/s2,最大切向/法向躍度Jmax為3 000 mm/s3,輪廓誤差εp為50 μm,最大弓差為5 μm,采樣時(shí)間Ts為1 ms。該仿真算法在MATLAB環(huán)境中實(shí)現(xiàn)。

首先,如圖5(a),將光順?biāo)惴☉?yīng)用在蝴蝶圖形線性加工軌跡的拐角處。圖5(b)為放大黑色小方框后的圖像,不難看出詳細(xì)光順軌跡。

(a) 蝴蝶線性軌跡

(b) 拐角光順仿真圖 5 混合加工軌跡仿真

圖6(a)為混合加工軌跡的輪廓誤差分布,其輪廓誤差都滿足預(yù)先設(shè)定的約束大小。圖6(b)為速度曲線,藍(lán)色實(shí)線為未光順線性加工軌跡速度曲線,紅色虛線為混合加工軌跡速度曲線。不難看出混合加工軌跡的速度除了初、末速度為0之外,其余速度均不為0,實(shí)現(xiàn)了加工速度非零的效果。與未光順線性加工軌跡相比較,仿真加工總時(shí)間從59.469 s降低到18.631 s,提高了效率。

圖7(a)為混合加工軌跡的加速度,虛線為預(yù)定最大加速度值,可以看出加速度滿足預(yù)先設(shè)定的約束值。圖7(b)為混合加工軌跡躍度,虛線為預(yù)定最大躍度值,結(jié)果表明躍度滿足預(yù)先設(shè)定的約束值。分別放大兩圖中部分圖像,黑色小方框中的圖像表明了光順曲線處加速度和躍度的連續(xù)性。

(a) 輪廓誤差分布

(b) 混合加工軌跡速度曲線

(a) 加速度曲線

(b) 躍度曲線

在運(yùn)動(dòng)控制環(huán)節(jié),計(jì)算機(jī)會(huì)將混合軌跡插補(bǔ)后所生成的位置指令傳送到運(yùn)動(dòng)控制器中以便于反饋控制。圖8(a)為插補(bǔ)仿真結(jié)果,將紅色小方框中圖像放大可以看到藍(lán)色粗實(shí)線為線性軌跡,紅色細(xì)實(shí)線為羊角光順軌跡,黑色叉點(diǎn)為插補(bǔ)點(diǎn)的分布。圖8(b)中,紅色細(xì)實(shí)線為x位置指令,藍(lán)色粗實(shí)線為y位置指令。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的光順?biāo)惴軌蛴行?shí)現(xiàn)連續(xù)微小線性加工軌跡的G2連續(xù)光順,實(shí)現(xiàn)了加工速度連續(xù)且非零的效果,從而可提高加工效率。

(a) 插補(bǔ)點(diǎn)分布

(b) 位置指令

4 結(jié) 語

利用羊角曲線過渡線性加工軌跡連接處所產(chǎn)生的拐角,該方法采用雙向看策略確定速度規(guī)劃,再利用插補(bǔ)算法求出混合加工軌跡的插補(bǔ)點(diǎn)。通過MATLAB對(duì)算法仿真分析,結(jié)果表明該方法能夠?qū)崿F(xiàn)加工軌跡的G2連續(xù)、輪廓誤差可控和光順?biāo)俣确橇愕男Ч?/p>