江蘇揚州市邗江區(qū)實驗小學 黃 彪

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：讓學生用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界。 這是小學數(shù)學教學的最終目標。 在數(shù)學素養(yǎng)為導向的當下要實現(xiàn)這樣的目標，需要從完整學習的理念出發(fā)，用融通的思維來開展實踐， 具體來說就是不局限于過去靜態(tài)的、事實性的、結論性的經(jīng)驗系統(tǒng)，改變過去將認知、情感和態(tài)度等方面對立起來的二元論，讓數(shù)學學習不僅是認知的過程，還是一個讓學習者全部身心和精神都真正參與進來的過程，主要可從以下四個方面開展實踐。

一、縱橫交融，讓學生察而有真覺

問題是思維的觸發(fā)器，有了問題，學生的數(shù)學探索才會開始，數(shù)學研究才會深入，也才會有創(chuàng)新的火花展現(xiàn)。 要培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光，就要引導學生積極面對各式各樣的問題情境，包括顯性情境和隱性情境，從中發(fā)現(xiàn)并提出有價值的數(shù)學問題。 然而，現(xiàn)有的實踐研究主要集中于啟發(fā)學生根據(jù)顯性情境中的已知條件提出問題，并分析、解答，這樣的反復訓練，一方面學生容易形成固化的模式和“條件反射”，另一方面由于對生活直觀的過多依賴，學生對數(shù)學知識缺少深刻理解，難以建構起整體的聯(lián)系。 實際上，數(shù)學教學應更多地鼓勵學生從學習現(xiàn)狀（即隱性情境）出發(fā)，自疑自問，真疑真問，隨疑隨問，讓每一次數(shù)學學習的起點都精準，每一次數(shù)學信息的汲取都鮮活。 這就需要教師幫助學生在面對新問題時，能對學情做自我審視和理性判斷，并引領他們根據(jù)具體的學習內容和學習進程，靈活地在不同學習方式間作選擇，主要包括兩個方面：一是橫向數(shù)學化，即基于生活經(jīng)驗，把生活世界自然地引向數(shù)學世界；二是縱向數(shù)學化，即在數(shù)學世界里實現(xiàn)知識的重組、方法的重構和思想的重塑，并付諸應用，以真起點引發(fā)前行內驅，在真體驗中獲得真知真覺。

以蘇教版數(shù)學三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元教學為例， 這部分內容是在學生學習過兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的基礎上進行的，掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，能為今后學習更多位乘數(shù)的乘法計算、四則混合運算以及解決與之相關的實際問題奠定基礎。 本單元的主要內容包括：兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）的筆算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位）的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法等。其中，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法是重點。 考慮到學生對多位數(shù)乘一位數(shù)的知識有所遺忘，筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時掌握乘的順序和寫的方法均需要以算理為支撐，學生理解上有難度，在教學兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算和兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）的筆算時，可選擇橫向數(shù)學化的方式，即從教材中的生活情境引入， 讓學生提出問題并得出算式，算法探究過程中再借助生活情境幫助學生理解算理，掌握算法，繼而實現(xiàn)從生活世界到數(shù)學世界的自然銜接。 以此為基礎，為避免學生受到非本質因素的干擾，讓新舊知識的鏈接和數(shù)學思維的銜接有連續(xù)性，在教學兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位）的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法時， 可去除書中情境引領學生作縱向數(shù)學化的學習，直接從“不進位”過渡到“進位”，讓學生在自主嘗試中獲得體驗并產生疑問，如今天學習的兩位數(shù)乘兩位數(shù)和前面有何不同？ 出現(xiàn)進位了該怎么辦？ 第一個乘數(shù)和第二個乘數(shù)末尾的0相乘可否省略？ 直接關注數(shù)學本身，直接叩擊知識本質。 如此，通過教師縱橫交錯的教，去實現(xiàn)學生靈活多變的學，學習效率會明顯提高，也有益于學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。

二、感理交融，讓學生思后有深悟

數(shù)學教學中的感性主要指具體形象思維，理性主要指抽象邏輯思維。 小學生的思維發(fā)展正處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，這就意味著教學時兩者不能彼此割裂， 既要在銜接上下功夫，又要在理性思考能力的提升上動腦筋。 然而，現(xiàn)實中不少數(shù)學知識的教學主要基于規(guī)律的猜測和發(fā)現(xiàn)，即便證明也僅限于操作和舉例。 要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，就要強化感性認識與理性思考的有機結合，突出對數(shù)學信息的深加工。 具體來說，要引領學生既能擺脫直觀多做理性思考，又能在理性思考時借助直觀作多元表征，并靈活地解決疑難問題。

如在教學圓柱的特征時，學生通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)圓柱的兩個底面是相等的， 關鍵是如何證明。通常有兩種方法：一是比一比，將圓柱實物的蓋子取下與另一個底面作比對，根據(jù)完全重合證明兩底面相等；二是量一量，借助直尺和細繩，度量兩個底面的直徑或周長， 由直徑或周長相等得出面積相等。 如果教學止步于此，學生的思維缺乏嚴密性，抽象邏輯思維很難得到發(fā)展。 實際上教學可更進一步：首先鼓勵學生質疑，讓學生發(fā)現(xiàn)在“比一比”“量一量”的過程中容易出現(xiàn)誤差，繼而引發(fā)理性思考“還有更好的證明方法嗎？ ”接著出示一個長方形，適當配以動畫來引導學生想象長方形旋轉形成圓柱的過程； 最后基于學生想象讓學生在推理中發(fā)現(xiàn)：長方形的寬就是圓柱的底面半徑，由半徑相等得出底面相等。 如此安排，學生經(jīng)歷了動手操作—動腦想象—數(shù)學推理的全過程，思維從感性向理性螺旋式推進，領悟深刻。 今后在面對復雜問題時，學生會自然地從體積計算公式出發(fā)，配合腦海中呈現(xiàn)的立體圖形表象，尋找到相關信息，輕松解決問題。

三、內外交融，讓學生言里有底氣

從某種意義上來說，數(shù)學學習就是數(shù)學思維活動。 數(shù)學語言作為數(shù)學思維的載體，在學生數(shù)學素養(yǎng)形成過程中具有重要價值。 從信息加工論的觀點來看，人的知識體系一般需要經(jīng)歷信息輸入—信息加工—信息輸出的過程才能形成，數(shù)學教學往往止步于第二階段，學生聽懂即行，會做即可。 殊不知聽懂不一定能融會貫通， 會解題往往只是重復加工，真正意義上的信息輸出并未形成。 培養(yǎng)學生用數(shù)學語言表達，正是實現(xiàn)信息輸出的重要方式之一。 需要注意的是，數(shù)學語言是一種高度抽象的人工符號系統(tǒng)，兒童在學習時必然存在難度，教學時要注意內外交融：向內提升學生的理解力，可通過強化知識之間的關聯(lián)促理解，借助文字、符號和圖形的多元表征促理解，靈活運用變式比較，演繹推理，類比遷移等方法促理解；向外培養(yǎng)學生的表達力，教師要為學生創(chuàng)設交流與表達的機會，激發(fā)他們表達的自主能動性，引導他們從正確表達、清楚表達，走向數(shù)學表達。

以常見的問題解決為例，如“學校買了8套課桌椅共花了1440元， 每張課桌120元， 每把椅子多少元？ ”正確表達一般直接指向結果，主要表現(xiàn)為面對問題能列出算式，并說出每一步算的是什么。 清楚表達既指向結果，也指向過程，主要表現(xiàn)為能用分析法或綜合法闡述自己的想法和相應的做法，必要時配以圖示說明。 數(shù)學表達則是引導學生用數(shù)學的模式與方法呈現(xiàn)真實問題中的關系， 建立數(shù)學模型，并能完整而有邏輯地作解析。 上述問題教師可以從以下四個方面培養(yǎng)學生的數(shù)學表達：一是引導學生通過數(shù)量關系分析和數(shù)據(jù)觀察，與相遇問題產生溝聯(lián)；二是說出此問題與相遇問題的共同特點及對應關系；三是建立數(shù)學模型“AB＋AC＝S”，列方程求解并驗證；四是基于此模型創(chuàng)編新問題并作解析說明。

考慮到任何一種語言都需要以普通語言（學生日常生活的語言）為解釋系統(tǒng)，數(shù)學語言也是如此，因此在教學時要加強兩種語言的互譯，主要包括兩個方面：一是將普通語言數(shù)學化。 如每袋大米的價錢×大米的袋數(shù)＝購買大米總共付出的錢，諸如此類的語言均可表達為單價×數(shù)量＝總價。 如此轉換，除了準確、嚴密、簡明外，還能幫助學生用一個數(shù)學模型來解決多個實際問題。 二是將數(shù)學語言普通化。 有些數(shù)學語言口頭表達有難度，翻譯成普通語言后學生會感到通俗易懂，便于交流。 如加法結合律是小學數(shù)學五大基本定律之一，用文字敘述或用含有符號的式子表示均顯冗長，小學生難以表述清楚，很多時候都是死記硬背，時間一長容易混淆或遺忘， 在單元復習時可鼓勵學生用自己的話說說對加法結合律的新理解。 如“只要是連加，隨便哪兩個數(shù)先加結果都一樣”“在加減混合運算中，可以先算出一共要加多少，再算出一共要減去多少，最后再把兩個結果相減”， 這樣既鞏固了學生對加法結合律的理解，也引發(fā)了學生由三個數(shù)連加向多個數(shù)連加以及加減混合運算作延伸思考，實現(xiàn)了學生對加法交換律和結合律的綜合運用和靈活運用。 實踐告訴我們，當學生能用普通語言陳述概念的定義和介紹概念的本質屬性時，他們對概念的理解大多比較深刻。 由此可以看出，內在的理解與外在的表達是相輔相成的，只有理解有深度，表達才會有邏輯，顯底氣。

四、動靜交融，讓學生心中有熱情

從以上三個方面可以清楚地看出，“三會”目標的培養(yǎng)都必須以發(fā)展思維為核心，但都離不開外部因素的刺激和牽引， 對小學生而言這固然必要，然而，數(shù)學素養(yǎng)終究要成為學生自己能帶走的、隨時用得上的精神財富，如何讓學生從“被思維”走向真正意義上的“自思維”至關重要。 教師在教學過程中要有意識地做到動靜交互：“動”是指學生在外部指令下能迅速地做出反應，主要表現(xiàn)為教師提問后能快速思考作答，學生發(fā)言時能快速判斷，依據(jù)要求能快速完成操作，等等，日常教學中這方面的情況總體較好；“靜”是指學生在獨立面對問題情境、他人觀點，特別是學習遇阻時能靜思默想，理性辨析，智慧取舍，在百折不撓中完成學習任務，這是當前教學中最為或缺的。

教師可從多層面予以重視：一是創(chuàng)設學生獨立啟學的機會，讓學生知道該從哪兒出發(fā)。 如新授時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多內容學生已經(jīng)學過，教師就不能按原定計劃開展教學， 可以讓學生自己思考研究方案，自己選擇研究方法，靜靜地走進“最近發(fā)展區(qū)”。 二是給予學生深度研學的空間，讓學生擁有思維跌宕后的快樂體驗。 教學時可多用大問題引領，讓學生不疲于應付，自我找尋深入思考的適切點，在不斷迂回與調整中選擇有效策略實現(xiàn)問題攻堅，在靜悟中積累數(shù)學探究經(jīng)驗。 三是培養(yǎng)學生積極反思的習慣，讓學生擁有不斷前行的動力。 學生有效思考時間越長，越有益于思維水平往高處發(fā)展，越有益于數(shù)學素養(yǎng)的形成。 教師應經(jīng)常性提醒學生對學習活動做深刻內省，重點聚焦學習中的痛點，如第一次操作為什么沒成功？ 后來怎么調整的？ 以后要注意什么？ 課上要堅持獨立思考基礎上的集中交流，課后要強化哲學意義上的反復考量，讓“這樣肯定對嗎？ ”“只能這樣嗎？ ”成為思辨的常態(tài)，在靜省中實現(xiàn)數(shù)學學習由課內向課外展延，從而獲得持久的學習熱情，這股熱情將激發(fā)學生在發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的道路上越走越遠。