考慮隨機利率和通貨膨脹的連續(xù)時間資產(chǎn)組合選擇

李愛忠，汪壽陽，彭月蘭

(1.山西財經(jīng)大學(xué)財政金融學(xué)院，山西 太原 030006；2.中國科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，北京 100190)

1 引言

自1952年Markowitz發(fā)表了他的博士論文 “資產(chǎn)組合選擇的均值方差理論”以來[1]，投資組合理論得到不同深度和廣度的拓展，取得了很多研究成果。由于真實的市場環(huán)境中，資產(chǎn)收益具有明顯的時序變化特性，單調(diào)的靜態(tài)資產(chǎn)配置模型往往不能適應(yīng)實際組合管理的變化，從而實現(xiàn)多期均衡乃至連續(xù)時間下的動態(tài)投資組合優(yōu)化。Merton基于總消費期望效用最大化的原則，運用隨機最優(yōu)控制技術(shù)，解決了經(jīng)濟個體在不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資和消費決策問題[2]，提供了該類問題的經(jīng)濟學(xué)含義和分析范式，奠定了后續(xù)研究的堅實基礎(chǔ)。后來的研究人員在Merton模型的基礎(chǔ)上做了很多擴展，如Cox J等在連續(xù)時間刻畫的隨機方程下給出期權(quán)定價的簡化方法[3]；Sharpe WF等提出負債約束下投資組合管理的新方法[4]；Leippold M等通過幾何方法研究基于資產(chǎn)和負債的多期均值-方差的投資組合優(yōu)化問題[5]；Chiu M C在連續(xù)時間均值-方差優(yōu)化框架下得出資產(chǎn)和負債管理的優(yōu)化方法[6]；Papi M采用動態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化方法對資產(chǎn)和負債進行管理與約束[7]；Deelstra G等在CIR框架下給出資產(chǎn)組合選擇的最優(yōu)投資策略[8]。這些成果不同程度上拓寬了投資組合問題的分析范式，豐富了資產(chǎn)組合選擇的研究內(nèi)容。

國內(nèi)也有大量關(guān)于資產(chǎn)組合選擇問題的研究文獻，特別是以隨機控制模型為基礎(chǔ)的資產(chǎn)組合選擇問題的研究層出不窮，將Bellman最優(yōu)化方法應(yīng)用于資產(chǎn)負債組合選擇的連續(xù)時間模型中，廣泛研究最優(yōu)消費投資策略、模糊投資組合評價、資產(chǎn)定價的風(fēng)險溢價問題、突發(fā)事件和參數(shù)不確定性對動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的影響以及養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題等等[9,23-27]。相關(guān)研究雖然拓展了組合理論的應(yīng)用邊界，然而其模型參數(shù)的靜態(tài)假設(shè)常常不符合真實市場的不確定環(huán)境。事實上，風(fēng)險資產(chǎn)的價格往往隨市場波動而變化，其投資組合的目標(biāo)之一就是降低這種波動帶來的風(fēng)險，在金融市場中選擇各種資產(chǎn)的最優(yōu)組合策略，使投資者在整個投資時期內(nèi)累積財富的期望效用達到最大化。利率作為金融市場上最重要的價格變量之一，其波動性直接影響著資產(chǎn)價格、資產(chǎn)動態(tài)管理和投資組合策略的選擇。從金融市場發(fā)展歷史來看，金融危機、股市崩盤等突發(fā)事件經(jīng)常會對資產(chǎn)價格造成一定沖擊，由此進一步影響資產(chǎn)組合的投資策略。在現(xiàn)代經(jīng)濟社會中，通貨膨脹是比較普遍的經(jīng)濟現(xiàn)象，它和資本市場中金融資產(chǎn)價格的關(guān)系歷來是金融學(xué)研究的重點。通貨膨脹會影響資產(chǎn)價格的收益率，特別是與證券市場收益的關(guān)系更為直接，它通常會引起資產(chǎn)價格的重估從而導(dǎo)致投資組合的重新配置。所以，理性的資產(chǎn)組合策略在最大化收益和最小化風(fēng)險的基礎(chǔ)上，還應(yīng)該考慮資產(chǎn)的收益能否彌補通貨膨脹帶來的損失以及利率、匯率等宏觀經(jīng)濟因素變動造成的影響。近年來，關(guān)于隨機利率模型下的資產(chǎn)組合理論也取得一些研究成果，如應(yīng)用隨機最優(yōu)控制和HJB方程以及鞅方法對Vasicek利率模型和CIR利率模型下的組合投資問題進行研究。但這些文獻僅僅研究了隨機利率環(huán)境下的證券組合投資問題[10-15]，并沒有綜合考慮通貨膨脹、隨機利率和交易成本等不完全市場面臨的實際情況，且這些研究大都以效用函數(shù)的分析方法為基礎(chǔ)，而實際金融市場中，基于效用函數(shù)的具體形式及參數(shù)由于其經(jīng)濟含義不明確且難以確定下來，限制了其在真實市場環(huán)境中的應(yīng)用效果。

本文將通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素引入金融市場模型中，以便更好地刻畫不完全市場的真實情況，并將利率假定為服從Vasicek利率模型的隨機過程，通貨膨脹和交易成本等因素的引入可為機構(gòu)投資者提供更為客觀和科學(xué)的理論指導(dǎo)。同時，充分考慮宏觀經(jīng)濟和市場內(nèi)在因素的影響，應(yīng)用連續(xù)時間的動態(tài)均值-方差方法得到符合實際環(huán)境下的值函數(shù)HJB方程，通過數(shù)值逼近方法求解相應(yīng)HJB方程，得到雙目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略，并用實證方法與國內(nèi)證券市場上同類型優(yōu)質(zhì)基金的性能和表現(xiàn)進行對比研究，以期對投資組合問題的研究提供借鑒意義。

2 考慮通貨膨脹等因素的投資組合決策模型

2.1 模型的建立

考慮有限時域固定投資時間期為[0,T]的投資問題，各種資產(chǎn)可連續(xù)交易，假設(shè)市場上有無風(fēng)險證券、股票和債券可供選擇，其中利率期限結(jié)構(gòu)采用Vasicek模型，其利率只受一個布朗運動的影響，設(shè)瞬時無風(fēng)險利率滿足Ornstein-Uhlenbeck過程，即滿足以下隨機微分方程：

(1)

其中α,β,σt是嚴(yán)格正常數(shù)，上式表明了利率的均值回復(fù)，β是利率長期平均水平，在給定利率方程下，可推導(dǎo)出固定期零息票債券和利率的值。

根據(jù)上式，得到利率的顯式解為：

(2)

Vasicek隨機利率模型簡單好用，但其缺點是利率會以一個正的概率取負值。Cox、Ingersoll和Ross于1985年研究推導(dǎo)出CIR模型，運用Merton所使用的研究方法，通過將利率的平方根引入到波動率的函數(shù)中，當(dāng)利率增加時利率的波動也會跟著比例增加，即將瞬時利率隨機過程的隨機項系數(shù)設(shè)成與瞬時利率平方根大小成正比，構(gòu)建了一個基于市場利率為正的模型，得出投資機會是隨機變化的結(jié)論并給出了隨機環(huán)境下利率為正的約束條件。從式(2)不難看出，若對利率方程施加約束r>β，則可避免Vasicek隨機利率取負值的情況。根據(jù)預(yù)期理論，長期債券的現(xiàn)期利率是短期債券預(yù)期利率的函數(shù)，債券期限越長，短期債券預(yù)期利率降低會使收益率曲線下降。因此，如果利率下行導(dǎo)致收益率曲線下降，利率有回歸長期平均水平的要求，此時通過Vasicek隨機利率模型得到的利率可確保為正值。不失一般性，假設(shè)在到期期限T時，零息票債券P(t,T)時刻價格為

P(t,T)=eA(t,T)+B(t,T)r

(3)

(4)

邊界條件A(T,T)=0，進一步得P(t,T)滿足微分方程

(5)

其中λr表示風(fēng)險的市場價格，也即利率受布朗運動的擴散溢價。無風(fēng)險證券價格滿足如下微分方程：

(6)

另外風(fēng)險資產(chǎn)股票的價格滿足如下隨機微分方程刻畫的隨機過程：

(7)

(8)

由于投資者關(guān)注最大化財富的真實增長率，而不是名義總資產(chǎn)的增長情況，因此在考慮通貨膨脹影響下，對資產(chǎn)價格進行適當(dāng)處理，以獲得實際價格。這里采用Brennan和Xia定義資產(chǎn)真實價值的方法，即通過名義資產(chǎn)價格和消費品價格水平的可比關(guān)系對資產(chǎn)的真實價值做出評價，設(shè)πt和ψt分別表示通貨膨脹率和消費品價格水平，二者滿足如下的擴散過程：

(9)

令m=ψ-1代表單位貨幣的購買力，則m可以理解為貨幣價值。根據(jù)伊藤定理，m滿足如下隨機微分方程：

(10)

(11)

(12)

式中為了研究問題方便忽略協(xié)方差的影響。假設(shè)投資者是理性的風(fēng)險厭惡者，其最優(yōu)策略為終期

資產(chǎn)價值最大和忍受風(fēng)險最小，即最大化EX(T)和最小化風(fēng)險VarX(T):

(13)

其中l(wèi)i,hi為投資份額的限制，引入Lagrange乘子λ，易知上述問題等價為以下問題

(14)

該優(yōu)化問題并非標(biāo)準(zhǔn)的二次型隨機最優(yōu)控制問題，借助Zhou X Y and Li D[16]嵌入法可將類似問題轉(zhuǎn)化為易處理的輔助問題，即求解如下優(yōu)化問題的最優(yōu)策略：

(15)

(16)

(17)

2.2 值函數(shù)的數(shù)值算法

2.2.1 值函數(shù)迭代的HJB方程

根據(jù)值函數(shù)迭代的動態(tài)規(guī)劃算法，利用隨機最優(yōu)控制理論，以值函數(shù)為中心，由貝爾曼最優(yōu)性原理可得到值函數(shù)V(x,r,π)滿足的HJB微分方程：

(18)

Kim&Omberg揭示了最優(yōu)控制方程解的特殊構(gòu)建方式[17]，值函數(shù)通常與目標(biāo)函數(shù)具有形式一致性，這里采用值函數(shù)的線性多項式逼近形式：

Vx=V1x+V4r+V5π+V7,Vxx=V1,

Vr=V2r+V4x+V6π+V8,

Vπ=V3π+V5x+V6r+V9,Vrr=V2,

Vππ=V3,Vxr=V4

由最優(yōu)控制問題的一階必要條件可得最優(yōu)投資策略為：

(19)

將Vx,Vxx,Vr,Vπ,Vrr,Vππ,Vxr,ω*(t)代入Bellman方程,并令其等于M即：

(20)

2.2.2 多重網(wǎng)格計算優(yōu)化法

由于值函數(shù)的迭代性和實際問題的約束比較復(fù)雜，隨機控制方程一般不存在解析解，帶條件約束的HJB方程幾乎沒有封閉解，具有遞推決策和隨機過程約束的非典型資產(chǎn)組合選擇優(yōu)化問題一般不能通過Riccati方程得到其解，這常常導(dǎo)致經(jīng)典的偏微分算法在解決實際問題時往往不能達到滿意效果[18-21]。本文根據(jù)文獻[22]將原問題對應(yīng)的HJB方程通過離散化的多重網(wǎng)格近似算法轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的輔助優(yōu)化問題，通過遺傳規(guī)劃等啟發(fā)式算法間接得到原問題的最優(yōu)解。具體方法為：首先用線性核函數(shù)逼近價值函數(shù)并進行多重網(wǎng)格離散化處理；然后將最優(yōu)控制方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)化問題；最后通過遺傳規(guī)劃和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等算法求解約束優(yōu)化問題得到最優(yōu)控制。其中值函數(shù)的自變量主要考慮資產(chǎn)總值、通貨膨脹和利率等隨機變量，動態(tài)參數(shù)為x,r,π，然后將x,r,π多重網(wǎng)格離散化處理，代入(20)形成一組向量{M1,M2,…,Mk}，通過相應(yīng)步驟處理后，最終隨機最優(yōu)控制方程轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化問題，由此可得其最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。即

(21)

上述問題是帶有隨機過程約束的非線性最優(yōu)化問題，本文使用遺傳規(guī)劃算法求解投資者相對滿意的投資策略。即在資產(chǎn)價格隨機漫步并滿足(21)要求的約束條件下，對于給定的初始財富，最優(yōu)投資策略是使投資者獲得期望的終端財富最大并且忍受風(fēng)險最小。

3 基于支持向量機的參數(shù)校正

金融市場是非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng),資產(chǎn)價格與許多不確定因素有關(guān),資產(chǎn)價格的波動具有某種規(guī)律性，其歷史數(shù)據(jù)和成交量、換手率等信息蘊含著預(yù)測未來股價的信息。近年來，基于機器學(xué)習(xí)等人工智能技術(shù)大量應(yīng)用于金融領(lǐng)域，進行量化投資[28]。本文通過支持向量機預(yù)測股票價格中潛含的非線性、時變參數(shù)。支持向量機無需依賴全部數(shù)據(jù)，可以從小樣本出發(fā)，在解決高維特征分類、模式識別和回歸問題方面有獨特優(yōu)勢，里面包含大量的核函數(shù)，可以靈活解決非線性的回歸和分類等問題，即使樣本量不是海量數(shù)據(jù)，也有比較強的泛化能力，在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用背景。為了揭示金融市場價格波動的不穩(wěn)定性和復(fù)雜變化特征，解決本質(zhì)上非線性的優(yōu)化問題，本文采用基于ε-不敏感函數(shù)的非線性核映射SVM方法，根據(jù)經(jīng)濟運行指標(biāo)和金融市場技術(shù)指標(biāo)預(yù)測模型必備的各主要參數(shù)值。由于不可能所有樣本點都落在ε管道中，ε-不敏感函數(shù)的支持向量回歸機通過引入松弛變量ξi來解決噪音干擾的問題。定義ε-不敏感損失函數(shù):

L(f(x),y,ε)=

(22)

同時利用結(jié)構(gòu)化風(fēng)險最小化準(zhǔn)則構(gòu)造其最小化目標(biāo)函數(shù):

s.t.yi-w·φ(xi)-b≤ε+ξi,

(23)

目標(biāo)函數(shù)中C的大小表征訓(xùn)練誤差對于ε樣本的懲罰程度，支持向量機靈活地在模型復(fù)雜度和經(jīng)驗誤差之間進行折衷以便提升泛化能力。該優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換為對偶問題，通過引入拉格朗日乘子可得到所求問題的支持向量。

這里以上文提到的隨機利率模型為例，通過支持向量機給出相關(guān)參數(shù)的具體校正方法。步驟1，把方程(1)滿足的隨機微分方程離散化可得

ε～N(0,1)

(24)

當(dāng)然從方程(1)和(2)可以得到隨機利率的均值和方差，聯(lián)立它們可以獲得α,β,σt與均值、方差的顯式關(guān)系，這樣就可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或支持向量機為步驟2變相生成對應(yīng)參數(shù)的預(yù)測數(shù)據(jù)，然后混合蒙特卡洛隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)作為優(yōu)化數(shù)據(jù)輸入，為后續(xù)工作打下良好基礎(chǔ)。這些處理技術(shù)在圖像識別、自然語言處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及人工智能等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[29-30]，可以極大增強其預(yù)測能力。與一般統(tǒng)計方法的參數(shù)估計相比較，該方法的好處是通過支持向量機出色的函數(shù)逼近功能和預(yù)測能力來校正相應(yīng)參數(shù)。同樣地，對于通貨膨脹和風(fēng)險資產(chǎn)滿足的隨機微分方程中的參數(shù)也可采取類似方法進行參數(shù)校正。由于通貨膨脹率是宏觀變量，可以考慮更長的時間跨度，取1978年到2017年的數(shù)據(jù)為宜；風(fēng)險資產(chǎn)的數(shù)據(jù)則取1995年到2017年為研究對象。另外，交易費用由平均交易成本和沖擊成本加權(quán)合成，沖擊成本包含兩個部分：一是流動性溢價，二是價格反向變化導(dǎo)致的高于最優(yōu)買賣報價的中值成本。

由于金融市場資產(chǎn)價格具有很強的時變特征，其收益率結(jié)構(gòu)往往不能用標(biāo)準(zhǔn)的概率分布描述，股價運動狀態(tài)更多呈現(xiàn)非線性非高斯波動情形，用一般幾何布朗運動刻畫股價擴散方程容易忽略結(jié)構(gòu)變化的問題。因此，本文采用支持向量機分段逼近、反復(fù)訓(xùn)練的方式提升目標(biāo)泛化能力，先選取指定時間段的樣本進行擬合，然后不斷移動滑窗塊選取另一時域的測試樣本進行預(yù)測從而估計相關(guān)參數(shù)值。本文以中債指數(shù)、滬深300和為債券和股票的參照物，選取研究時段為1995年1月3日到2015年12月22日期間數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，2015年12月23日到2017年6月23日期間數(shù)據(jù)為測試數(shù)據(jù)，其中滬深300指數(shù)2005年才上市運行，1995到2005期間數(shù)據(jù)可由上證指數(shù)和深圳成指加權(quán)合成。通過基本面分析和技術(shù)分析相結(jié)合的方法，選取反映有投資價值的價格、流動性、市凈率和市盈率等指標(biāo)，利用支持向量機進行預(yù)測，從而得到連續(xù)時間模型中各參數(shù)的估計值。最后，利用本文提出的投資組合模型構(gòu)造大類資產(chǎn)配置組合，并與市場上有代表性的指數(shù)基金相比較，以便更好反映各投資策略之間的區(qū)別，從而有效甄別出組合的最優(yōu)投資策略。

4 實證研究

4.1 參數(shù)校正

本文通過支持向量機預(yù)測的方法進行參數(shù)校正，風(fēng)險資產(chǎn)以滬深300指數(shù)為參照物，相關(guān)輸入變量包括：價值指標(biāo)(收盤價、最高價、開盤價、最低價)、流動性指標(biāo)(成交量、平均換手率、成交金額)和企業(yè)基本面指標(biāo)(流通市值、市凈率、市盈率)等，輸出變量為均值和方差，然后嵌入遺傳算法，通過多次迭代得到方程中涉及收益率和波動率的參數(shù)值。利率部分參數(shù)值則參考金融機構(gòu)人民幣二年期定期存款基準(zhǔn)利率，然后和中債指數(shù)收益率和波動率的預(yù)測結(jié)果加權(quán)合成得到參數(shù)估計值。其中突發(fā)事件可能影響到資產(chǎn)價格的驟然變化，可通過德爾菲法進行綜合分析和調(diào)整。表1列出采用支持向量機得到各變量的最終結(jié)果。

表1 支持向量機方法得到的各參數(shù)值

4.2 連續(xù)時間投資組合的優(yōu)化結(jié)果

本文通過粒子群算法優(yōu)化支持向量機中的主要參數(shù)，粒子群優(yōu)化算法是根據(jù)飛鳥集群活動的規(guī)律性啟發(fā)衍生出來的進化計算技術(shù)，可用于解決全局最優(yōu)化問題。它模仿鳥群的捕食行為，搜尋距離食物最近的周圍區(qū)域，不斷更新個體最優(yōu)位置使整個群體的運動產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優(yōu)解。PSO總體上采用粒子的速度決定其方向和距離，在搜索過程中，粒子通過跟蹤個體最優(yōu)Pbest和全局最優(yōu)Gbest來更新自己，通過不斷迭代和更新找到整個種群最優(yōu)解，具有較快的收斂速度。PSO用如下公式優(yōu)化粒子的速度和位置，其特征用位置、速度和適應(yīng)度三項指標(biāo)表示:

V′=V·α+c1r1(Pbest-P)+c2r2(Gbest-P)

P′=P+V′

(25)

表2 數(shù)值逼近得到值函數(shù)在測試期間的各參數(shù)值

為了更清楚刻畫隨機利率和通貨膨脹對資產(chǎn)配置的影響，放寬對投資組合中資產(chǎn)配置的比例限制，加入賣空機制，考察投資者的投資組合性能和偏好的變化情況。圖1分別展示了隨機利率和通貨膨脹影響下資產(chǎn)組合的有效前沿，從圖上可以發(fā)現(xiàn)，投資組合在加入通貨膨脹和利率因素后，有效前沿進一步向右下方移動，即在同樣預(yù)期收益和忍受同等風(fēng)險的情況下，組合收益有減小趨勢。究其原因，通貨膨脹和利率變動會影響資產(chǎn)估值和企業(yè)融資水平，利率升高，融資成本增加，企業(yè)盈利能力下降，降低了投資者期望收益率，組合資產(chǎn)的內(nèi)在價值下降；通貨膨脹則會對經(jīng)濟造成負面影響，通貨膨脹上升在一定程度上減緩潛在經(jīng)濟增長速度，使得資產(chǎn)價格承壓，收益率下降，尤其通脹后期，往往配套緊縮貨幣政策推動利率上漲，風(fēng)險資產(chǎn)吸引力減小，投資者出于避險需求，資金配置將轉(zhuǎn)向債券和銀行市場。這無疑從另外角度揭示組合內(nèi)部適當(dāng)增加防通脹的對沖性資產(chǎn)可有效改善有效前沿，使其向左上方移動，進一步獲得更穩(wěn)定的投資收益。

圖1 考慮通脹情況和隨機利率環(huán)境下有效前沿變化示意圖

圖2顯示了通脹情況和隨機利率環(huán)境下投資組合內(nèi)各資產(chǎn)投資比例變化的情況，可以發(fā)現(xiàn)，通貨膨脹會影響投資預(yù)期，引起投資機會集的改變，導(dǎo)致投資策略隨之變化，嚴(yán)重通貨膨脹甚至?xí)魅踬Y產(chǎn)收益能力，組合為了保持收益最大而風(fēng)險最小必須重新優(yōu)化資產(chǎn)配置比例，這直接導(dǎo)致不同資產(chǎn)間的投資比例隨經(jīng)濟環(huán)境呈現(xiàn)潮漲潮落的變化，為了避免通貨膨脹帶來更大損失，投資組合會適時調(diào)整風(fēng)險資產(chǎn)頭寸來對沖組合價值下跌的風(fēng)險；同時，利率的不確定性特別是加息情況下，投資者風(fēng)險偏好和其有效前沿均會受到影響，導(dǎo)致風(fēng)險調(diào)整收益、夏普比等指標(biāo)下降，表現(xiàn)在投資策略上就會逐步增加無風(fēng)險資產(chǎn)頭寸來抵御利率變動造成的不利影響，相應(yīng)組合的資產(chǎn)配置比例將會隨時間推移而發(fā)生非線性非光滑變化。因此，實際金融市場中，通貨膨脹和利率變動通常情況下都會引起投資組合中資產(chǎn)配置比例的非線性變化，有效前沿也會改變，債券與股票之間的比例必須動態(tài)調(diào)整，簡單維持固定比例不足以保持組合總價值最優(yōu)且風(fēng)險最小，這無疑擴充了基金分離定理對有效前沿資產(chǎn)組合進行線性組合投資的限制，投資者可以通過連續(xù)時間資產(chǎn)配置的非線性均值調(diào)整策略來近似最優(yōu)策略以保證組合總資產(chǎn)最優(yōu)。本文可為從事實際投資活動的機構(gòu)投資者提供實實在在的策略建議，對其管理組合起到重要指導(dǎo)作用。

圖2 考慮通脹情況和隨機利率環(huán)境下債券股票投資比例變化示意圖

另外，為進一步考察本文提出的連續(xù)時間投資組合的具體效果，特別引入有代表性的市場風(fēng)格指數(shù)作為比較對象，以反映不同投資組合間的差別。表3列出了連續(xù)時間投資組合和上證指數(shù)、深證成指、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)、中小板指數(shù)和中證500指數(shù)收益情況和業(yè)績對比的表現(xiàn)，其中連續(xù)時間投資組合的投資比例采用三元組的均值組合{0.6956,0.1239,0.1805}按照股票、債券和無風(fēng)險資產(chǎn)的順序表示。從表中不難看出，2015年6月股災(zāi)發(fā)生以來市場長時間處于調(diào)整當(dāng)中，加之英國脫歐、美聯(lián)儲加息預(yù)期增強，市場跌聲一片，各指數(shù)難有好的表現(xiàn)，但采用連續(xù)時間的動態(tài)投資組合策略在組合收益、組合方差、夏普比率、信息比率、最大回撤損失以及VaR等方面都優(yōu)于市場上其他指數(shù)，實證研究發(fā)現(xiàn)，連續(xù)時間的非線性資產(chǎn)配置策略可以獲得更高的風(fēng)險調(diào)整收益，組合方差、最大回撤損失以及在險價值等指標(biāo)都有所改善，策略在一定程度上表現(xiàn)出相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性。

表3 不同組合的收益情況和業(yè)績比較

5 結(jié)語

本文通過隨機控制技術(shù)、Bellman最優(yōu)性原理、HJB方程和數(shù)值逼近方法研究了通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素影響下的連續(xù)時間投資組合選擇的最優(yōu)化問題,利用嵌入法得到終端財富最大和其風(fēng)險最小的雙目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略，用實證方法與國內(nèi)證券市場上代表性指數(shù)基金進行對比研究，發(fā)現(xiàn)組合最優(yōu)策略很大程度上受宏觀經(jīng)濟變量如通貨膨脹和利率以及投資者風(fēng)險偏好和異質(zhì)信念等因素影響，資產(chǎn)配置比例并不是簡單維持固定比例就可以保持組合總價值最大和風(fēng)險最小，拓展了基金分離定理。實證結(jié)論對資產(chǎn)配置及組合管理具有重要的指導(dǎo)意義，本文的創(chuàng)新點在于：

1)將通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素引入到連續(xù)時間投資組合模型中，使得模型更貼近實際，通過多重網(wǎng)格化的數(shù)值逼近方法和貝爾曼優(yōu)化原理得到相應(yīng)最優(yōu)控制問題的最優(yōu)策略。

2)突破效用函數(shù)的分析方法，利用嵌入法引入輔助問題解決了連續(xù)時間的動態(tài)均值-方差投資組合問題，運用數(shù)值逼近法得到了含約束HJB方程的數(shù)值解。

3)采用基于支持向量機的非線性預(yù)測方法進行時變參數(shù)估計，克服了資產(chǎn)價格服從正態(tài)分布以及爆發(fā)性、集聚性等非線性現(xiàn)象和大樣本要求，SVM利用核函數(shù)進行非線性映射，更有利于揭示金融市場非線性和非高斯分布的本質(zhì)，比傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法更有效。

實際投資環(huán)境中，借貸利率是不同的且利率的影響因素極其復(fù)雜，投資組合的管理還會受到負債條件的限制，利率的期限結(jié)構(gòu)和其服從的隨機過程很難被明確地確定下來。因此進一步研究有關(guān)利率模型下資產(chǎn)-負債管理問題的最優(yōu)投資策略，考慮利率服從更加復(fù)雜的利率模型且利率與風(fēng)險資產(chǎn)存在一般的相關(guān)性，深入研究負債情形下多種風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略問題仍是一個長期努力的方向，相關(guān)研究亟待進一步深入。