基于顏色與物質(zhì)濃度辨識(shí)的數(shù)學(xué)模型

王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

1 問題的提出

比色法是目前常用的一種檢測(cè)物質(zhì)濃度的方法，即將待測(cè)物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再將該顏色試紙與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對(duì)照，以確定待測(cè)物質(zhì)的濃度檔位。由于每個(gè)人對(duì)顏色的敏感差異和觀測(cè)誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測(cè)物質(zhì)的濃度[1]。

本文參照2017高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題，給出5種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)，提出下列3個(gè)問題：

問題1：從這5組數(shù)據(jù)中能否確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系，并給出一些準(zhǔn)則來評(píng)價(jià)這5組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣。

問題2：建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，并給出模型的誤差分析。

問題3：探討數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響。

2 問題的分析和模型假設(shè)

為解決以上3個(gè)問題，通過對(duì)所列數(shù)據(jù)的分析，本研究對(duì)3個(gè)問題分別作分析和模型假設(shè)。

問題1：探究顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度之間的關(guān)系，并判斷5組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，采用多元線性回歸[2]擬合出顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度之間的函數(shù)關(guān)系，給出預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差，以平均相對(duì)誤差M作為評(píng)判5組數(shù)據(jù)優(yōu)劣的準(zhǔn)則。為了更直觀的評(píng)判數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，進(jìn)一步，考慮用軟件進(jìn)行降維畫圖，依據(jù)圖像的平穩(wěn)度來判斷。

問題2：采用Logistic變換[3]建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的廣義線性模型[4]，并給出模型的誤差分析。

問題3：選取5種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)的數(shù)據(jù)，使每次濃度的數(shù)據(jù)量和顏色讀數(shù)的維度發(fā)生改變，判斷數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響。

3 模型的建立和求解

3．1 問題1模型的建立和求解

根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)并查閱相關(guān)資料，選取顏色讀數(shù)為R、G、B、S、H，建立物質(zhì)濃度y與顏色讀數(shù)的多元線性模型：

以組胺為例，利用組胺的數(shù)據(jù)得到組胺濃度y與R(x1)、G(x2)、B(x3)、S(x4)、H(x5)之間的函數(shù)關(guān)系：

給出預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差，如表1所示。

表1 組胺濃度的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差

同理，利用多元線性回歸擬合出溴酸鉀濃度y1、工業(yè)堿濃度y2、硫酸鋁鉀濃度y3、奶中尿素濃度y4與顏色讀數(shù)R(x1)、G(x2)、B(x3)、S(x4)、H(x5)之間的函數(shù)關(guān)系如下：

計(jì)算出各物質(zhì)濃度的平均相對(duì)誤差，M1=0.092 564，M2=3.496 4，M3=0.202 447，M4=0.136 626。

得到數(shù)據(jù)的優(yōu)劣為：組胺>溴酸鉀>奶中尿素>硫酸鋁鉀>工業(yè)堿。

為了更直觀地評(píng)判數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，用Mathematica軟件[5]將五維顏色讀數(shù)降低為兩維，如圖1所示。

因此，如果專利權(quán)人擁有某個(gè)產(chǎn)品專利，但經(jīng)他同意而將構(gòu)成該產(chǎn)品的某個(gè)部件(即“專門用于制造專利商品的零部件或設(shè)備”)投入市場(chǎng)，由第三方將該部件組裝成產(chǎn)品，這種情形下，也不適用權(quán)利用盡理論，而可能適用默示許可理論。

根據(jù)圖像的平穩(wěn)度，直觀地判斷數(shù)據(jù)的優(yōu)劣為：組胺平穩(wěn)度>溴酸鉀平穩(wěn)度>奶中尿素平穩(wěn)度>硫酸鋁鉀平穩(wěn)度>工業(yè)堿平穩(wěn)度。

圖1 降維處理后圖像的平穩(wěn)度

3．2 問題2模型的建立和求解

為了得到二氧化硫顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，首先采用問題1顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的多元線性模型，得到一個(gè)簡(jiǎn)化的直觀圖，如圖2所示，發(fā)現(xiàn)其線性程度較差。

為此，采用Logistic變換建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的廣義線性模型

其中Logistic變換

圖2 二氧化硫顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的多元線性模型

根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)得到

進(jìn)一步，根據(jù)Logistic變換和平均相對(duì)誤差，給出模型的誤差分析，得到模型的精準(zhǔn)度與數(shù)據(jù)量的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 模型的精準(zhǔn)度與數(shù)據(jù)量的關(guān)系

由圖3可知，當(dāng)數(shù)據(jù)量小于20時(shí)，模型精準(zhǔn)度較差，因?yàn)閿?shù)據(jù)量較小時(shí)所建立的模型不穩(wěn)定，容易造成較大的誤差。

3．3 問題3模型的建立和求解

為了探討數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響，可以選取5種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)的數(shù)據(jù)，使每次濃度的數(shù)據(jù)量和顏色讀數(shù)的維度發(fā)生改變，利用多元線性回歸擬合出顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度之間的函數(shù)關(guān)系，給出預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差，以平均相對(duì)誤差M判斷數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響，如表2所示。結(jié)果得到，模型的精準(zhǔn)度與顏色維度正相關(guān)。

表2 以平均相對(duì)誤差M判斷數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響

進(jìn)一步，采用Logistic變換建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的廣義線性模型，判斷數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響，如圖4所示。

圖4 數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響

由圖4可知，模型濃度的數(shù)據(jù)量越大、選取的顏色讀數(shù)的維度越多，模型的精準(zhǔn)度越高，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差越小。

4 結(jié)論

目前常用的檢測(cè)物質(zhì)濃度的比色法，由于每個(gè)人對(duì)顏色的敏感差異和觀測(cè)誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。本文建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間關(guān)系的多元線性模型，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能獲得待測(cè)物質(zhì)的濃度。為了提高檢測(cè)的精準(zhǔn)度，在多元線性模型的基礎(chǔ)上，利用Logistic變換建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的廣義線性模型，給出模型的誤差分析。進(jìn)一步，探討了數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響，有著實(shí)際的應(yīng)用意義。