自然常數(shù)e的指數(shù)形式與生活中物理現(xiàn)象的聯(lián)系

李 康

(蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校 江蘇 蘇州 215000)

眾所周知，自然常數(shù)e是數(shù)學(xué)3個最著名的無理數(shù)之一．微積分的發(fā)展離不開e，經(jīng)濟學(xué)中的復(fù)利率出現(xiàn)了e的身影，就連自然界中的鸚鵡螺、羊觸角、向日葵種子等，甚至浩瀚宇宙中的螺旋星云，也都發(fā)現(xiàn)了與e緊密聯(lián)系的等角螺線．自古以來，等角螺線優(yōu)美的外形使它成為了藝術(shù)界裝飾圖案的基本元素．除此以外，與e相關(guān)的懸鏈線方程的獲得，使建筑學(xué)中的懸索橋至今廣泛應(yīng)用[1]．這些不禁讓筆者聯(lián)想到生活中與物理學(xué)相關(guān)的“e”些事．

1 最佳加熱/冷卻方案——流水噴淋法

【例1】(第二十屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第3題)在野外施工中，需要使質(zhì)量m=4.20 kg的鋁合金構(gòu)件升溫．除了保溫瓶中尚存有溫度t=90.0 ℃的1.200 kg的熱水外，無其他熱源．試提出一個操作方案，能利用這些熱水使構(gòu)件從溫度t0=10.0 ℃升溫到66.0 ℃以上(含66.0 ℃)，并通過計算驗證你的方案．已知鋁合金的比熱容c=0.880×103J/(kg·℃)，水的比熱容c0=4.20×103J/(kg·℃)，不計向周圍環(huán)境散失的熱量．

標(biāo)準(zhǔn)答案提示將保溫瓶中的熱水分成若干次倒到構(gòu)件上，每次倒在構(gòu)件上的水與構(gòu)件達(dá)到熱平衡后，立即將與構(gòu)件接觸的水倒掉．驗證的計算方案并不唯一，如果等質(zhì)量均分熱水，只要分成5份就能使構(gòu)件最終溫度達(dá)到66.0 ℃．那么，對于有限的熱水，構(gòu)件最終溫度的最大值又為多少？為了計算的方便，假設(shè)將熱水等質(zhì)量分成N份，不考慮熱損失，第1次混合達(dá)熱平衡后，構(gòu)件溫度T1滿足

(1)

第2次混合有

(2)

類似的，第i次混合有

(3)

式(3)可整理為

(4)

顯然，{Ti-t}是一等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得

(5)

故第N次混合后構(gòu)件的最終溫度TN為

(6)

為使式(6)中最終溫度TN最大，由數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知N應(yīng)盡可能大，即

(7)

其中

(8)

將式(8)代入式(7)有

(9)

原本未出現(xiàn)在題干的自然常數(shù)e，卻因求極限最終以指數(shù)的形式，將最高溫度TNmax與初溫t，t0聯(lián)系了起來．利用題中數(shù)據(jù)，可以計算出最高溫度TNmax=69.5 ℃．

可見，鋁合金構(gòu)件要盡可能吸收多的熱量從而升高溫度，就要將有限的熱水分成無窮多份，即將熱水一滴一滴地流到構(gòu)件上，此為最佳加熱方案．生活中利用類似的方法，將冷水以小水滴的形態(tài)噴淋在高溫物體上進行冷卻降溫——流水噴淋法，它不僅能使高溫物體表面均勻冷卻，還能保證最大程度的冷卻作用，實現(xiàn)快速降溫．

2 力的放大器原理——歐拉公式

【例2】(第二十七屆全國中學(xué)生物理競賽決賽第1題)如圖1所示，在固定不動的圓柱體上繞有繩索，繩兩端掛大、小兩桶，其質(zhì)量分別為M=1 000 kg和m=10 kg，繩與圓柱體之間的摩擦因數(shù)μ=0.05，繩的質(zhì)量可以忽略．那么要使兩桶靜止不動，繩至少需繞多少圈?

圖1 例2題圖

取所對圓心角為Δθ的繩段微元為研究對象，受力分析如圖2所示．對其列出切向和法向的平衡方程分別為

(10)

(11)

圖2 對Δθ對應(yīng)的繩段受力分析

由于Δθ很小，故

代入式(10)、(11)得

Ti+1=Ti+fi

(12)

(13)

當(dāng)繩即將滑動時有

fi=μNi

(14)

聯(lián)立式(12)、(13)、(14)，忽略二階小量得

(15)

對式(15)兩邊求和，整理得

T=T0eμθ

(16)

當(dāng)船只靠岸時，船員可以利用繞在纜柱上多圈的纜繩，輕而易舉地控制住質(zhì)量巨大的船只．只要將繩在纜柱上多繞幾圈，余下的纜繩隨意扔在船上，繩端不必打結(jié)，也不系在其他物體上，eμθ指數(shù)關(guān)系就能束縛住整艘質(zhì)量巨大的船只．生活中，捆扎物體時將繩多繞幾圈可防松脫、牧民拴馬也是類似的道理．除此之外，傳送帶是靠摩擦力工作的，常見的環(huán)形傳送帶如圖3所示．有經(jīng)驗的工人師傅還會采用如圖4所示的“8”字形傳送帶，它比環(huán)形傳送帶具有更大的θ，因而更不容易打滑．

圖3 常見的環(huán)形傳送帶

圖4 “8”字形傳送帶

3 考古神器——衰變定律

放射性物質(zhì)因衰變而減少是一個普遍規(guī)律．通過對大量原子核進行研究，發(fā)現(xiàn)所有的放射性同位素的原子數(shù)，隨時間作負(fù)指數(shù)函數(shù)而衰減——衰變定律N=N0e-λt，自然常數(shù)e竟然再一次以指數(shù)的形式出現(xiàn)在物理規(guī)律中，式中λ叫衰變常數(shù)，以表征放射性元素衰變的快慢．一方面，衰變定律告訴我們，生活中的核廢料在丟棄多年之后，仍然有危險．因為它們的衰變常數(shù)λ很小，因而能放出α，β，γ等有害射線的放射性物質(zhì)衰減得很慢，所以2011年日本福島等地核電站放出的某些有害輻射會長期存在，而且永遠(yuǎn)不會消失．另一方面，考古科學(xué)家可以利用14C，18O等多種放射性元素，測定古文物、化石和巖石等年齡，再經(jīng)過必要的修正和測算，還能進一步估測地球的年齡．

除此之外，牛頓冷卻定律中也出現(xiàn)了類似于衰變定律的負(fù)指數(shù)函數(shù)e-λt關(guān)系，這一定律的發(fā)現(xiàn)為鑒定死亡時間發(fā)揮了重要作用，為刑事偵查帶來了方便．

綜上所述，無論是從工業(yè)上的流水噴淋法，到系船纜繩的拉力，還是從古物年齡的測定，到死亡時間的鑒定，亦或是從火箭飛天的計算，到氣象學(xué)中高空氣壓的研究，還是從含容電路的暫態(tài)過程，到統(tǒng)計學(xué)中的布朗運動……這些問題無一不與自然常數(shù)e有關(guān)．