有砟軌道動(dòng)力性能分析的頻域方法

韓 鋒，顧 穎，古 松，趙 宇，張 迅

（1.中鐵建設(shè)集團(tuán)有限公司 基礎(chǔ)事業(yè)部，北京 100131；2.西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽 621010；3.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031）

有砟軌道是傳統(tǒng)的軌道結(jié)構(gòu)，其在高速鐵路中同樣扮演著重要的角色。例如：在部分高架車站、大跨度橋梁、穿越地震斷裂帶的隧道等不宜鋪設(shè)無砟軌道的地段，我國(guó)大量采用了有砟軌道；德國(guó)、法國(guó)等高速鐵路的大部分地段也使用了有砟軌道[1-3]。

隨著列車速度不斷提高、軸重不斷增大，有砟軌道在使用中出現(xiàn)了不少問題。例如：道砟顆粒發(fā)生破碎和粉化，大大增加了軌道的養(yǎng)護(hù)維修工作量，還會(huì)嚴(yán)重影響行車安全性和舒適性；在環(huán)境敏感地段，軌道和下部橋梁、高架站房結(jié)構(gòu)的振動(dòng)劇烈，并向周圍快速傳遞，產(chǎn)生嚴(yán)重的環(huán)境振動(dòng)污染。研究表明[1]：增加有砟軌道的彈性，可以在一定程度上控制道砟粉化速率過快以及其所引起的一系列問題，且可以最大限度地減小振動(dòng)對(duì)線路和環(huán)境的不利影響。

許多學(xué)者對(duì)增加有砟軌道彈性的措施開展了研究。例如：Faure等[4]采用數(shù)值分析和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的方法，研究了低剛度扣件對(duì)環(huán)境振動(dòng)控制的效果；譚詩宇等[5]采用有限元法建立了車輛-有砟軌道-橋梁空間耦合動(dòng)力學(xué)模型，討論了道砟墊對(duì)軌道和橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響；蔡小培等[6]采用有限元法建立了車輛-有砟軌道-隧道空間耦合動(dòng)力學(xué)模型，討論了彈性軌枕對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響；Ma等[7]通過錘擊試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究了有砟梯形軌枕軌道的減振性能。不難發(fā)現(xiàn)，以往的研究大多采用了復(fù)雜的有限元模型，且一般先在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行仿真分析，再通過時(shí)頻轉(zhuǎn)化得到頻域響應(yīng)。這種方法不僅計(jì)算工作量大，且不能快速獲得關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律。

為了摒棄時(shí)域分析帶來的不便，本文建立頻域內(nèi)的有砟軌道動(dòng)力分析模型，推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程，引入評(píng)價(jià)軌道隔振性能的物理量，并基于MATLAB平臺(tái)編制程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)值分析。在此基礎(chǔ)上，通過案例分析，對(duì)比各種增加有砟軌道彈性的措施對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律。本文所提出的方法可為減振降噪產(chǎn)品的參數(shù)優(yōu)化、減振降噪性能評(píng)估等提供參考。

1 有砟軌道垂向振動(dòng)模型

有砟軌道由鋼軌、扣件、軌枕及道床等組成。實(shí)際工程中通常采取增設(shè)枕下彈性墊板、道砟墊等技術(shù)措施進(jìn)行減振降噪。

在有砟軌道結(jié)構(gòu)中，鋼軌、軌枕和道床都將參與振動(dòng)。本文僅考慮垂向振動(dòng)。取1/2軌道建立三層連續(xù)彈性支承模型，如圖1所示。

圖1 三層連續(xù)彈性支承模型

其中：鋼軌簡(jiǎn)化為無限長(zhǎng)歐拉梁；軌枕、道床視為剛體；鋼軌與軌枕之間、軌枕與道床之間、道床與基礎(chǔ)之間通過彈簧-阻尼元件進(jìn)行連接。偏于安全考慮，忽略道砟之間的嚙合作用，由此引起的誤差約在5%左右[8]。

在圖1中，作用于鋼軌z處的簡(jiǎn)諧力記為Feiωt，其中：F為簡(jiǎn)諧力幅值，i為單位虛數(shù)，ω為圓頻率，t為時(shí)間。時(shí)域內(nèi)鋼軌、軌枕和道床的運(yùn)動(dòng)方程分別為

式中：ρr、Ar、Ir分別為鋼軌的密度、截面積和慣性矩；為鋼軌的復(fù)彈性模量，E*r=Er(1 +iηr)，ηr為鋼軌的損耗因子；δ為Dirac函數(shù)；ms和mb分別為軌枕和道床質(zhì)量（換算為每延米）；xr、xs和xb分別為鋼軌、軌枕和道床位移；和分別為扣件、道床和基礎(chǔ)的復(fù)支承剛度（換算為每延米），，ηp、ηb和ηf分別為扣件、道床和基礎(chǔ)的損耗因子。

將鋼軌、軌枕和道床的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分別記為xr=Xreiωt、xs=Xseiωt和xb=Xbeiωt，Xr、Xs和Xb分別為其振動(dòng)幅值。式（1）－式（3）對(duì)應(yīng)的頻域運(yùn)動(dòng)方程可寫為

聯(lián)立式（4）－式（6），并應(yīng)用Laplace變換和留數(shù)法，解得有砟軌道各部件的位移響應(yīng)為

其中：

式中：z為簡(jiǎn)諧力作用位置；z1表示考察位置；k為鋼軌波數(shù)；keq為“扣件-軌枕-道床”系統(tǒng)的等效剛度。

傳入基礎(chǔ)中的支承反力隨位置z變化，且由于相位差異將使得直接求和時(shí)出現(xiàn)抵消現(xiàn)象。為此，本文從能量傳遞的角度出發(fā)，定義傳遞到基礎(chǔ)中的總反力為各位置處基礎(chǔ)支承反力平方和的平方根，即

式中：Δzn為離散化后軌道微元段的長(zhǎng)度，zn=nΔzn為第n個(gè)微元段中心的縱向位置。

引入力傳遞率Trss這一無量綱物理量，用于評(píng)價(jià)軌道的隔振性能[9]，其定義為傳遞至基礎(chǔ)的總反力與輸入至鋼軌的簡(jiǎn)諧力的比值，即

2 輪軌相互作用

在輪軌相互作用頻域模型中（圖2），可將輪軌接觸簡(jiǎn)化為線性赫茲接觸。

圖2 輪軌相互作用模型

此時(shí)，車輪動(dòng)柔度、輪軌線性接觸柔度和軌道動(dòng)柔度三者之和影響輪軌力。借助動(dòng)柔度法可得到頻域內(nèi)的輪軌力[9]

式中：Fw/r為輪軌力；Δ為軌道不平順；αw、αc和αt分別為車輪動(dòng)柔度、輪軌線性接觸柔度和軌道動(dòng)柔度；輪軌線性接觸柔度αc=1kH，kH為赫茲接觸剛度。

車輛由車體、轉(zhuǎn)向架、一系懸掛、二系懸掛、輪對(duì)等部件構(gòu)成。二系懸掛的頻率通常在1 Hz左右，所以在研究軌道隔振性能時(shí)常常忽略二系懸掛以上部件的影響，由此導(dǎo)致的誤差很小。利用D'Alembert原理建立轉(zhuǎn)向架-車輪兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力方程，可求得車輪在單位力作用下的位移（即動(dòng)柔度）[10]

式中：k1和c1分別為車輛一系懸掛剛度和阻尼系數(shù)；mw為車輪及其上的非懸掛質(zhì)量；mb為1/4轉(zhuǎn)向架質(zhì)量。

軌道動(dòng)柔度描述單位簡(jiǎn)諧力作用于鋼軌上時(shí)，激勵(lì)力作用點(diǎn)的鋼軌位移。因此，由式（7）可得

3 案例分析

采用MATLAB平臺(tái)自編程序，實(shí)現(xiàn)有砟軌道動(dòng)力性能的頻域分析。限于篇幅，本文主要從荷載傳遞和振動(dòng)傳遞兩方面對(duì)不同減振措施的效果進(jìn)行對(duì)比。前者主要分析輪軌力、車輪作用位置的基礎(chǔ)反力（此位置的基礎(chǔ)反力最大）和力的傳遞率。后者主要分析軌道各部件的振動(dòng)位移、加速度等。

3.1 計(jì)算參數(shù)

高速鐵路有砟軌道多采用彈條IV型扣件、III型鋼筋混凝土軌枕。所考慮的車型為CRH380A，車速取350 km/h。相關(guān)計(jì)算參數(shù)見表1。

軌道不平順譜采用ISO 3095:2005的建議值，其表達(dá)式見式（17）[11]。由于軌道隔振性能主要考察幾百赫茲以下的低頻振動(dòng)，因此將分析頻率的上限設(shè)為500 Hz。

式中：Δ0為軌道不平順的參考值，取10-6m；λ為軌道不平順的波長(zhǎng)，λ=2πv/ω，v為車速。

本文主要考慮以下增加有砟軌道彈性的措施[1]：彈性扣件、枕下彈性墊板、復(fù)合軌枕、道砟墊，以及它們的組合，相關(guān)參數(shù)見表1。

在分析過程中，未考慮軌道各部件力學(xué)性能的溫變、頻變特性，即軌道各部件的復(fù)彈性模量、剛度及損耗因子在計(jì)算中取為常數(shù)。計(jì)算工況見表2。

3.2 單一措施的對(duì)比

圖3給出了5種計(jì)算參數(shù)得到的輪軌力、車輪作用位置的基礎(chǔ)反力和力傳遞率。

不同減振措施將使得鋼軌的動(dòng)柔度發(fā)生改變，進(jìn)而影響輪軌力。文獻(xiàn)[9]－[10]指出：一般在100 Hz以內(nèi)，輪軌力將出現(xiàn)峰值，該峰值所在的頻率對(duì)應(yīng)于“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率（車輪視為質(zhì)量塊，軌道等效為彈簧）。從圖3(a)可以看出：

(1)在100 Hz以內(nèi)，各措施對(duì)應(yīng)的輪軌力峰值頻率的范圍與相關(guān)研究的結(jié)論一致。

(2)頻率大于200 Hz以后，輪軌力隨頻率緩慢增加；除彈性扣件外，其它措施下的輪軌力差異不明顯，表明彈性扣件有增大高頻輪軌力的趨勢(shì)。

(3)彈性扣件將顯著降低“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率及其輪軌力幅值。

(4)枕下彈性墊板、復(fù)合軌枕和道砟墊將使得“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率略微減小。就控制輪軌力的幅值而言，三者相比，枕下彈性墊板與道砟墊的效果相當(dāng)，而復(fù)合軌枕的效果有限。

表1 計(jì)算參數(shù)

表2 計(jì)算工況

車輪作用位置的基礎(chǔ)反力往往最大。為此，圖3(b)給出了該位置處的基礎(chǔ)反力，可以看出：

(1)在輪軌力峰值頻率處，基礎(chǔ)反力出現(xiàn)峰值。此后隨著頻率增加，基礎(chǔ)反力逐漸降低。

(2)在300 Hz以內(nèi)，復(fù)合軌枕可以略微降低基礎(chǔ)反力；在300 Hz以后，基礎(chǔ)反力反而有所增加。

(3)總體上，彈性扣件、枕下彈性墊板和道砟墊均使得基礎(chǔ)反力大大降低，且彈性扣件的效果最好。頻率超過250 Hz以后，枕下彈性墊板與彈性扣件的效果相當(dāng)。

傳遞至基礎(chǔ)的反力在車輪作用位置沿著軌道的前、后方向衰減。力傳遞率從總體上描述了不同位置處基礎(chǔ)反力與輪軌力的比值，可綜合反映不同軌道的隔振性能。從圖3(c)可以看出：

(1)在“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率附近，各減振措施對(duì)應(yīng)的力傳遞率均有所增加，且彈性扣件的增量最為明顯，復(fù)合軌枕次之。

(2)隨著頻率增加（約200 Hz以后），各減振措施對(duì)應(yīng)的力傳遞率均小于普通有砟軌道。其中，枕下彈性墊板和彈性扣件的力傳遞率相當(dāng)，道砟墊次之，復(fù)合軌枕反而有增大力傳遞率的趨勢(shì)。

圖4給出了5種計(jì)算參數(shù)得到的鋼軌動(dòng)位移、道床動(dòng)位移和道床加速度。

鋼軌振動(dòng)大小一方面會(huì)對(duì)行車安全性造成影響，另一方面會(huì)帶來輪軌噪聲的變化。從圖4(a)可以看出，各減振措施主要影響100 Hz范圍的鋼軌動(dòng)位移，且彈性扣件將使得鋼軌動(dòng)位移顯著增加。

圖3 單一措施對(duì)荷載傳遞的影響

從圖4(b)可以看出，各減振措施主要影響200 Hz范圍的道床動(dòng)位移，且由于降低了軌道結(jié)構(gòu)整體剛度，道砟墊使得道床位移在“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率附近有所增加。

研究表明[5-6]：道床的殘余變形與道床振動(dòng)加速度的平方成正比。減小道床的振動(dòng)加速度對(duì)于保持軌道幾何形位以及減小線路養(yǎng)護(hù)維修工作量均具有積極的作用。從圖4(c)可以看出：

(1)相比動(dòng)位移，道床加速度的峰值頻率向高頻移動(dòng)，從而在100 Hz～150 Hz范圍出現(xiàn)峰值。頻率超過400 Hz以后，各減振措施對(duì)應(yīng)的道床加速度逐漸接近。

(2)在200 Hz范圍內(nèi)，各減振措施均能在一定程度上降低道床加速度，且彈性扣件和枕下彈性墊板的效果最好，道砟墊次之，復(fù)合軌枕的效果有限。

綜合圖3和圖4，不難發(fā)現(xiàn)：

(1)彈性扣件使得各指標(biāo)在“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率附近變化最為劇烈；盡管低頻范圍的輪軌力得以降低，但鋼軌動(dòng)位移顯著增大。

(2)枕下彈性墊板和道砟墊的綜合效果較好，即一方面會(huì)降低輪軌力和傳遞至基礎(chǔ)的總反力，另一方面又不會(huì)使得軌道各部件的振動(dòng)響應(yīng)劇烈變化。

(3)相比其它三種減振措施，復(fù)合軌枕對(duì)各指標(biāo)的影響有限，但可起到少量的減振效果。

圖4 單一措施對(duì)振動(dòng)傳遞的影響

圖5 混合措施的綜合影響

3.3 混合措施的對(duì)比

進(jìn)一步對(duì)表2所列混合措施的工況進(jìn)行計(jì)算。限于篇幅，圖5僅給出了輪軌力、力傳遞率和道床加速度的對(duì)比結(jié)果?？梢钥闯觯?/p>

(1)相比單一措施，兩種混合措施將會(huì)使得輪軌力在“車輪-軌道”系統(tǒng)的固有頻率附近進(jìn)一步降低。

(2)“枕下彈性墊板+道砟墊”這一混合措施具有最佳的隔振效果，使得傳遞至基礎(chǔ)的荷載在100 Hz以后迅速衰減。

(3)相比單一措施，兩種混合措施使得道床加速度的峰值頻率向低頻移動(dòng)，且“枕下彈性墊板+道砟墊”這一混合措施反而會(huì)增加峰值頻率處的道床加速度。

(4)“復(fù)合軌枕+道砟墊”這一混合措施與道砟墊具有總體相當(dāng)?shù)男Ч?。例如：?50 Hz以前，前者的力傳遞率和道床加速度比后者大；在150 Hz～400 Hz范圍，前者的力傳遞率和道床加速度比后者??；頻率更高時(shí)，二者逐漸趨于一致。

4 結(jié)語

(1)有砟軌道為多層部件組成的系統(tǒng)，其動(dòng)力性能受各個(gè)部件的綜合影響。插入減振元件后（如：彈性扣件、枕下彈性墊板、道砟墊等），將改變?cè)到y(tǒng)的固有頻率，進(jìn)而使得輪軌力、力傳遞率、各部件的振動(dòng)等指標(biāo)在不同頻率范圍出現(xiàn)復(fù)雜的變化規(guī)律。

(2)綜合考慮輪軌力、力傳遞率、各部件的振動(dòng)等指標(biāo)，相比于彈性扣件，枕下彈性墊板和道砟墊表現(xiàn)出更好的綜合效果。

(3)復(fù)合軌枕對(duì)各指標(biāo)的影響有限，但可起到少量的減振效果。

(4)“枕下彈性墊板+道砟墊”這一混合措施反而會(huì)增加峰值頻率處的道床加速度?！皬?fù)合軌枕+道砟墊”這一混合措施的效果與單獨(dú)使用道砟墊的效果相當(dāng)。

減振措施的實(shí)施應(yīng)綜合考慮動(dòng)力性能、耐久性、經(jīng)濟(jì)性、減振降噪需求等因素。相比于時(shí)域分析方法，本文所提出的頻域分析方法在理解軌道動(dòng)力性能、快速實(shí)施減振參數(shù)優(yōu)化等方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。