基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)利率下兩值期權(quán)定價(jià)

鄧婷婷，韋才敏

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

金融衍生品定價(jià)問(wèn)題一直是數(shù)理金融的核心內(nèi)容之一.期權(quán)作為股票的衍生產(chǎn)品，很多學(xué)者對(duì)其定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究.自從1973年著名的B-S期權(quán)定價(jià)模型及其定價(jià)公式提出后，有關(guān)期權(quán)定價(jià)理論及應(yīng)用得到了迅速的發(fā)展.由于經(jīng)典的B-S模型是在理想的假設(shè)條件下得到的，因此并不符合實(shí)際的金融市場(chǎng).由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有自相似性和長(zhǎng)程依賴(lài)性等特性，在金融市場(chǎng)模型中用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)取代標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)早已經(jīng)被眾多學(xué)者認(rèn)可.這與人們對(duì)金融市場(chǎng)的直觀感覺(jué)一致，使得其成為了描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程的一個(gè)有力工具.關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的最早研究成果可追溯到Kohnogorov，并命名為Wiener螺線(xiàn)[1].Mandelbrot和Van Ness[2]首次提出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).Decreusefond等人[3]闡述了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)理論與應(yīng)用.Carmona等人[4]給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分.Elliot和Hoke[5]研究了在Hurst指數(shù)在H∈（0.5,1）情況下的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，通過(guò)Wick積分的方法得到了Girsanov定理和分?jǐn)?shù)It?公式.Necula[6]分析了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的期權(quán)定價(jià).

利率是影響金融市場(chǎng)變化的最基本的因子.市場(chǎng)利率在短期情況下，一般可被認(rèn)為是穩(wěn)定的，可看作是常數(shù).但在長(zhǎng)期情況下，由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r、股市的起伏以及國(guó)家政策等因素都會(huì)引起市場(chǎng)利率的波動(dòng)，因而，利率是一個(gè)隨時(shí)不斷變化的量.很多研究者開(kāi)始對(duì)經(jīng)典的B-S定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)，使其更符合實(shí)際情況.Kim[7]研究了隨機(jī)利率下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，得到了其定價(jià)公式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)證分析.Zhang等[8]人研究了基于隨機(jī)利率投資策略的看漲期權(quán)定價(jià).康文娟和李翠香[10]研究了標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，利率服從Vasicek模型，用多維Girsanov定理和測(cè)度變換推導(dǎo)出相關(guān)性數(shù)字期權(quán)的定價(jià)公式.張娟和金志明[11]在隨機(jī)利率的基礎(chǔ)上運(yùn)用鞅方法推導(dǎo)出歐式期權(quán)價(jià)值過(guò)程所滿(mǎn)足的微分方程.李康樂(lè)[12]通過(guò)市場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)對(duì)MHL，Vas，CIR和BrS四種隨機(jī)利率下的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到了隨機(jī)利率對(duì)期權(quán)定價(jià)影響的實(shí)證分析結(jié)果.許聰聰[13]主要致力于期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究，運(yùn)用鞅論、隨機(jī)分析等現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)利率模型下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，并得到了相應(yīng)定價(jià)公式.

此外，與標(biāo)準(zhǔn)的交易所交易的期權(quán)相比，仍存在著以滿(mǎn)足市場(chǎng)特殊要求的新型期權(quán)產(chǎn)品，有時(shí)它們被附加在所發(fā)行的債券中以增加對(duì)市場(chǎng)的吸引力.兩值期權(quán)是一種具有不連續(xù)收益的新型期權(quán)，只有標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格才會(huì)有收益.目前關(guān)于兩值期權(quán)的研究有：郭華英[14]探究了標(biāo)的資產(chǎn)服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)和假定利率服從Hull-White隨機(jī)利率的兩值期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.滿(mǎn)圓圓[15]研究了在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)下，運(yùn)用Girsanov定理進(jìn)行測(cè)度變換，再利用Bayes法則消除隨機(jī)項(xiàng)，得到兩值期權(quán)的定價(jià)公式.王海葉[16]推導(dǎo)了在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)波動(dòng)率變化的市場(chǎng)模型中兩值期權(quán)的定價(jià)公式.孫天宇和劉新平[17]利用對(duì)沖的思想和偏微分方法，研究了股票價(jià)格滿(mǎn)足幾何布朗運(yùn)動(dòng)情況下有交易成本和支付紅利的兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，將標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的Vasicek隨機(jī)利率模型下的兩值期權(quán)問(wèn)題推廣到Hurst指數(shù)為H∈（0.5,1）的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)Vasicek隨機(jī)利率模型下的兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.利用偏微分方程的相關(guān)知識(shí)求解此模型，從而推導(dǎo)出兩值期權(quán)的定價(jià)公式，期望能得到更貼近市場(chǎng)真實(shí)值的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

兩值期權(quán)（binary option）是由合同條款變化而產(chǎn)生的新型期權(quán)，具有不連續(xù)收益的特點(diǎn)，其收益與期權(quán)為實(shí)值狀態(tài)時(shí)的盈利程度無(wú)關(guān)[18].即期權(quán)在到期日處于實(shí)值狀態(tài)時(shí)，其收益為事先約定的固定數(shù)額；若處于虛值狀態(tài)時(shí)，其收益為零.以?xún)芍悼礉q期權(quán)為例，它分為兩種類(lèi)型：

（1）現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing call）（簡(jiǎn)寫(xiě)為CONC）：在到期日股票價(jià)格低于敲定價(jià)格時(shí)，則期權(quán)價(jià)格為零；而當(dāng)股票價(jià)格超過(guò)敲定價(jià)格時(shí)，則期權(quán)賣(mài)方將支付1元給期權(quán)買(mǎi)方.

（2）資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（asset-or-nothing call）（簡(jiǎn)寫(xiě)為AONC）：在到期日股票價(jià)格低于敲定價(jià)格時(shí)，則期權(quán)價(jià)格為零；而當(dāng)股票價(jià)格超過(guò)敲定價(jià)格時(shí)，則期權(quán)賣(mài)方將按規(guī)定支付股價(jià)給期權(quán)買(mǎi)方.

引理1 在分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率模型下，假設(shè) V＝V（St，rt，t）是一個(gè)關(guān)于 St，rt和t的三元函數(shù)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rt滿(mǎn)足以下隨機(jī)微分方程

其中a，b，σr都是正常數(shù)，a表示利率的調(diào)節(jié)速度，b表示長(zhǎng)期利率，σr表示即期利率的波動(dòng)率.

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股價(jià)遵循幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

其中St表示 t時(shí)刻的股票價(jià)格，σ 表示股價(jià)波動(dòng)率，是帶有Hurst指數(shù)H（0＜H＜1）相關(guān)系數(shù)為ρ的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，并且滿(mǎn)足

從而得到

證 根據(jù)Taylor展式得

由于

將上式及（1），（2）帶入（4），得

定義1.1[9]假設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一個(gè)完備的概率空間，Hurst指數(shù)為H（0＜H＜1）的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) B（Ht）＝{B（Ht），t≥0}是一個(gè)連續(xù)的高斯過(guò)程，且滿(mǎn)足：

（1）B（H0）＝E（B（Ht））＝0；

當(dāng) H＞0.5 時(shí)，B（Ht）具有長(zhǎng)期相關(guān)性，即 r（n）＝E（B（H1））（BH（n＋1）－BH（n））＞0，并且.Hu和φksendal在H＞0.5時(shí)通過(guò)Wick積和分?jǐn)?shù)白噪聲理論證明了It?型分?jǐn)?shù)B-S市場(chǎng)無(wú)套利且完備的.

2 零息票債券定價(jià)

由于利率本身是不可交換的資產(chǎn)，所以在風(fēng)險(xiǎn)管理和衍生產(chǎn)品定價(jià)等研究中，用一種較為常見(jiàn)的金融工具—零息票債券作為利率的載體，因此想要對(duì)Vasicek隨機(jī)利率下的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，首先給出零息票債券定價(jià)公式.

零息票債券是一種不支付利息的債券，通常在到期日按面值支付給債券持有者.以P（t，T）表示在t時(shí)刻零息票債券的價(jià)值.不失一般性，假設(shè)零息票債券是一張?jiān)诘狡谌誘時(shí)換取1元現(xiàn)金的債券，即P（T；T）＝1.由于在隨機(jī)利率的假設(shè)下，零息票債券是時(shí)間和利率的函數(shù)，即P＝P（rt，t，T）.下面將利用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖原理來(lái)計(jì)算t時(shí)刻零息票債券的價(jià)格 P（rt，t；T）.

2.1 零息票債券所滿(mǎn)足的偏微分方程

引理2[19]在分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率模型下，到期日為T(mén)的零息票債券在t時(shí)刻的價(jià)格滿(mǎn)足的偏微分方程為

2.2 零息票債券的定價(jià)公式

根據(jù)零息票債券所滿(mǎn)足的偏微分方程（即引理2），可以得到零息票債券的定價(jià)公式.定理1在分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率模型下，到期日為T(mén)的零息票債券在t∈[0,T]時(shí)刻的價(jià)格為

其中

證明：根據(jù)利率的隨機(jī)性和零息票債券是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)（dP＝rtPtdt），t時(shí)刻零息票債券的價(jià)值可以表示為

由（5）可得，零息票債券在t時(shí)刻的價(jià)格具有如下形式的解

且滿(mǎn)足 A（T，T）＝0，B（T，T）＝0.

對(duì)（6）兩邊分別對(duì)t求一階偏導(dǎo)，對(duì)r求一階、二階偏導(dǎo)可得

代入（5）并化簡(jiǎn)可得

有

從而定理得證.

3 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和Vasicek隨機(jī)利率下的兩值期權(quán)定價(jià)

3.1 基本假設(shè)

借助B-S模型的基本假設(shè)，給出如下假設(shè)：

1）市場(chǎng)上的資產(chǎn)是完全可分的，可進(jìn)行連續(xù)交易，允許對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行賣(mài)空；

2）市場(chǎng)是完備的，所有未定權(quán)益可復(fù)制；

3）市場(chǎng)上的投資者可按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率任意的借入和借出；

4）股票在期權(quán)生存期內(nèi)不支付紅利；

5）市場(chǎng)上不存在套利機(jī)會(huì)，且不存在稅收和交易成本；

6）Δ－對(duì)沖原理構(gòu)造投資組合的期望回報(bào)率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

3.2 兩值期權(quán)所滿(mǎn)足的偏微分方程

引理3 在分?jǐn)?shù) Vasicek 隨機(jī)利率模型下，t∈[0，T]時(shí)刻兩值期權(quán) Vt＝V（St，rt，t）所滿(mǎn)足的偏微分方程為

證明：首先利用Δ－對(duì)沖原理構(gòu)造投資組合，該投資組合由1份期權(quán)，Δ1t份股票和Δ2t份零息票債券構(gòu)成，則在t時(shí)刻該投資組合的價(jià)值為

在[t，t＋dt]時(shí)間內(nèi)，投資組合價(jià)值的變化為

由于投資組合在[t，t＋dt]時(shí)間內(nèi)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，將（3）式以及零息票債券的微分代入上式，整理得

為了消除（7）式中的隨機(jī)項(xiàng)，令

將上式代入（7）式，并注意到（5）式，得

由于投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，則根據(jù)無(wú)套利原理得

聯(lián)立（8）和（9）式可得

在到期日t＝T時(shí)，有

從而引理3得證.

3.2.1 現(xiàn)金或無(wú)值期權(quán)的定價(jià)公式

根據(jù)引理3，對(duì)現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（CONC）進(jìn)行定價(jià).

定理2 假設(shè)即期利率rt滿(mǎn)足（1）式，股票價(jià)格St滿(mǎn)足（2）式，則執(zhí)行價(jià)格為K到期日為T(mén)的現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（CONC）在t∈[0，T]時(shí)刻的價(jià)值是

其中

證明：由于這是一個(gè)涉及到兩個(gè)變量的變系數(shù)拋物方程的邊值問(wèn)題，直接求解較困難，因此需要通過(guò)代換引進(jìn)新的價(jià)格體系.通過(guò)引入新的組合自變量和新的未知函數(shù)，使得新的未知函數(shù)適合的是低一維的定解問(wèn)題.

對(duì)定解問(wèn)題（9），（10）式引入新的組合自變量（即作自變量代換）以及新的未知函數(shù)（即作未知函數(shù)代換）

經(jīng)過(guò)初等計(jì)算，得

將它們代入（10）式，并在兩邊同除 P（rt，t，T），得到

將變量代換式（13）以及零息票債券價(jià)格 P（rt，t，T）適合方程（5）式代入上式，得到函數(shù)在區(qū)域{y∈R＋，t∈[0，T]}上適合方程

在邊界t＝T上適合的定解條件

令 ξ＝lny，得

則（13）變形為

將上式代入（16），得

將其代入（17），得

其中邊界條件是μ（η，0）＝H（*eη－K）

由熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解求得方程的解具有如下形式解：

經(jīng)過(guò)變量代換，有

其中

即定理得證.

推論1 假設(shè)即期利率rt滿(mǎn)足（1）式，股票價(jià)格St滿(mǎn)足（2）式，則執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)的現(xiàn)金或無(wú)值看跌期權(quán)（CONP）在t∈[0，T]時(shí)刻的價(jià)值是

3.2.2 資產(chǎn)或無(wú)值期權(quán)的定價(jià)公式

定理3 假設(shè)即期利率rt滿(mǎn)足（1）式，股票價(jià)格St滿(mǎn)足（2）式，則執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)的資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（AONC）在t∈[0，T]時(shí)刻的價(jià)值是

證明：由兩值期權(quán)所滿(mǎn)足的偏微分方程（即引理3）可以得到資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)定價(jià)模型如下

由于資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)偏微分方程組與現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)的偏微分方程組的區(qū)別在于邊界條件不同，故可采用相同的研究思路，變量代換后得

在邊界t＝T上適合的定解條件

因而有

其中邊界條件是μ（η，0）＝eηH（*eη－K）.

方程的解由熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解釋論，具有如下形式解：

經(jīng)過(guò)變量代換，得

即定理得證.

推論2 假設(shè)即期利率rt滿(mǎn)足（1）式，股票價(jià)格St滿(mǎn)足（2）式，則執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)的資產(chǎn)或無(wú)值看跌期權(quán)（AONP）在t∈[0，T]時(shí)刻的價(jià)值是

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和Vasicek隨機(jī)利率下的兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.由于利率是不斷變化的且具有長(zhǎng)記憶性，因此考慮隨機(jī)利率情況下的長(zhǎng)記憶型模型更加符合金融市場(chǎng)的實(shí)際情況.所得結(jié)果豐富了兩值期權(quán)定價(jià)理論，同時(shí)為決策者的投資決策提供了相應(yīng)的參考依據(jù)，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.對(duì)于兩值期權(quán)定價(jià)，還有很多問(wèn)題值得進(jìn)一步研究.例如，次分?jǐn)?shù)隨機(jī)利率、混合分?jǐn)?shù)隨機(jī)利率下的兩值期權(quán)等.