橢球型Bochner-Riesz平均的Lp收斂

林翠云

（汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東 汕頭 515063）

0 引言

Fourier積分的線性求和問題是多元Fourier分析中的重要問題，其中三種重要的求和法分別是：Gauss-Weierstrass平均、Abel-Poisson平均和球型Bochner-Riesz平均.其中，Gauss-Weierstrass平均、Abel-Poisson平均以及高于臨界指數(shù)的球型Bochner-Riesz平均有較為成熟的結(jié)論[1-2]，而低于或等于臨界指數(shù)的球型Bochner-Riesz平均的情況則比較復(fù)雜.對于該問題，1954年Herz[3]給出了球型Bochner-Riesz平均Lp有界的必要條件，在此基礎(chǔ)上，人們猜測其充分性也成立，這就是著名的Bochner-Riesz猜想[2].許多著名數(shù)學(xué)家為此做出了杰出的貢獻，如Carleson與Sj?lin解決了二維情形[4]等，而高維情形迄今尚未解決，它與Fourier限制性猜想、Kakeya極大函數(shù)猜想以及Besicovitch集的Hausdorff維數(shù)有著密切的聯(lián)系[2，5].因此，Bochner-Riesz平均的Lp有界性問題成為調(diào)和分析中重要而又具有挑戰(zhàn)性的問題之一.雖然Bochner-Riesz平均Lp有界性還沒有徹底解決，但是對于球面情形，已經(jīng)有不少著名的結(jié)論，譬如二維情形已經(jīng)被徹底解決[2]，在一些合適的指標下，高維情形Lp收斂性依然是成立的.本文以此作為出發(fā)點，將球面結(jié)論推廣到橢球面，主要內(nèi)容是證明橢球型Bochner-Riesz平均Lp收斂性與Lp有界性是等價的，并在適當?shù)闹笜朔秶鷥?nèi)證明橢球型Bochner-Riesz平均的Lp收斂性.

1 定理的提出

1.1 球型Bochner-Riesz平均的介紹（見文獻[2]）

假設(shè) f∈L（Rn），是 f的 Fourier變換，則 f的 Fourier積分的球型 Bochner-Riesz平均為

我們已知球型Bochner-Riesz平均的Lp收斂有以下結(jié)論.

結(jié)論1 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.等式

成立，當且僅當存在一個常數(shù)Cp使得不等式

成立，這里Cp與R無關(guān).（見文獻[6]）

結(jié)論2 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.算子Tα在L（pRn）上具有有界擴張，當且僅當對任意f∈L（pRn），存在一個常數(shù)Cp使得不等式

成立.這里Tα是

其中，

Ω（Rn）是Schwartz函數(shù)空間，（Φα）∧（x）＝B（αx）.（見文獻[6]）

1.2 橢球型Bochner-Riesz平均

1.2.1 橢球體： 令a1，a2，…，an＞0，定義n維橢球體

其中，Rn是n維歐氏空間.

1.2.2 橢球型Bochner-Riesz平均核： 定義函數(shù)

1.2.3 橢球型Bochner-Riesz平均的定義： 假設(shè)f∈L（Rn），是f的Fourier變換，則f的Fourier積分的橢球型Bochner-Riesz平均為

其中，a＝（a1，a2，…，an），ξ＝（ξ1，ξ2，…，ξn）. 對 Reα＞－1.

相應(yīng)地，令f∈Ω（Rn），我們定義橢球型Bochner-Riesz算子如下：

1.3 主要結(jié)論

有了橢球型Bochner-Riesz平均的定義，下面我們將給出橢球型Bochner-Riesz平均的Lp收斂性結(jié)論.

定理1 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.等式

成立，當且僅當存在一個常數(shù)Cp使得不等式

成立，這里Cp與R無關(guān).

定理2 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.算子Tα在L（pRn）上具有有界擴張，當且僅當對任意f∈L（pRn），存在一個常數(shù)Cp使得不等式

2 預(yù)備知識

2.1 Bessel函數(shù)及其性質(zhì)

2.2 Schwartz函數(shù)空間

Rn上的一個無窮次可微復(fù)值函數(shù)f是Schwartz函數(shù)，如果對任意一對多重指標α和 β，存在正常數(shù) Cα,β使得

其中，α＝（α1，α2，…，αn），β＝（β1，β2，…，βn），αk，β（kk＝1，2，…，n）是非負整數(shù).

2.3 命題1

橢球型Bochner-Riesz平均有以下等價形式

所以由（*）式，我們將（1）式轉(zhuǎn)化成

2.4 命題2

橢球型Bochner-Riesz平均有以下等價形式

其中，Sn－1是 n 維歐氏空間中的單位球面，是 n維球面坐標變換的Jacobi行列式（見文獻[7]）.

由（2）、（**）式，我們可以得到

2.5 引理1

2.6 引理2

證明 因為橢球型Riesz平均

3 定理1的證明

因此，

令ε＝1，當R＞R0時，.

當 R∈(0，R0]時，

因為L（pR）n是一個Banach空間，根據(jù)一致有界原理，有界，記，則

假設(shè)存在常數(shù)Cp＞0，使得對任意f∈L（pRn），有.

因此，根據(jù)Lebesgue控制收斂定理，我們有

定理1證畢.

4 定理2的證明

假設(shè)算子Tα在L（pRn）上具有有界擴張，因為對任意f∈Ω（Rn）我們有

因此，對任意f∈L（pRn），我們有

因此，我們有

其次，我們證明算子Tα在L（pRn）上具有有界擴張.

假設(shè)對任意f∈L（pRn），存在常數(shù)Cp使得成立.因為在L（pRn）中稠密，Ω（Rn）也在L（pRn）中稠密.令a0＝（1，1，…，1），則對任意f∈Ω（Rn），我們有

定理2證畢.

5 定理3、4的證明

根據(jù)定理2，以及結(jié)論2，我們得到橢球型Bochner-Riesz平均Lp有界性與球型Bochner-Riesz平均Lp有界性是等價的.因此，它們Lp的有界性具有相同的指標適應(yīng)范圍，即.定理3得證.

6 總結(jié)

本論文證明了橢球型Bochner-Riesz平均Lp收斂性與Lp有界性是等價的，并證明了低于或等于臨界指數(shù)的橢球型Bochner-Riesz平均Lp收斂性的指標p的適應(yīng)范圍，且二維情形下低于或等于臨界指數(shù)（適應(yīng)指標p的范圍的橢球型Bochner-Riesz平均具有Lp收斂性.因為二維情形的球型Bochner-Riesz平均猜想的已有證明方法不能推廣到高維（n＞2）情形上，所以目前高維情形還未得到完全的證明.因此，接下來的工作我們將致力于尋找高維情形新的證明方法.