改進(jìn)廣義預(yù)測(cè)算法的NCS時(shí)延補(bǔ)償?

時(shí)維國(guó) 閆小宇 王家勝

（大連交通大學(xué)電氣信息學(xué)院 大連 116028）

1 引言

隨著網(wǎng)絡(luò)化技術(shù)的不斷發(fā)展，基于以太網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（Networked Control System，NCS）得到了廣泛的應(yīng)用。但是以太網(wǎng)固有的CSMA/CD機(jī)制［1～2］的隨機(jī)性對(duì)信號(hào)傳輸有不確定性的時(shí)延影響，且時(shí)延分布范圍廣。系統(tǒng)的延遲抖動(dòng)在很寬的范圍內(nèi)產(chǎn)生，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生設(shè)備過(guò)載并且由于發(fā)送數(shù)據(jù)排隊(duì)而延遲時(shí)，導(dǎo)致數(shù)據(jù)包丟失，使延遲變大，甚至是系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。針對(duì)上述問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)NCS進(jìn)行了預(yù)測(cè)控制：Liu GP等［3］提出了具有隨機(jī)延遲的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)。文獻(xiàn)［4～5］使用預(yù)測(cè)值代替在一定范圍內(nèi)未發(fā)送的數(shù)據(jù)，從而減少網(wǎng)絡(luò)延遲和空抽樣對(duì)NCS系統(tǒng)控制性能的影響。Mu J X等［6］使用預(yù)測(cè)控制算法的冗余控制來(lái)提高控制性能，并使用改進(jìn)的史密斯預(yù)測(cè)器和模型預(yù)測(cè)器來(lái)補(bǔ)償反饋信道中的延遲。文獻(xiàn)［7～8］提出了一種約束模型預(yù)測(cè)控制算法，通過(guò)滾動(dòng)控制時(shí)域優(yōu)化對(duì)應(yīng)終端性能的上限和下限，使用執(zhí)行器中的緩沖器來(lái)保存時(shí)延補(bǔ)償控制量。

雖然上述提出的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的方法可以對(duì)隨機(jī)延遲進(jìn)行合理的補(bǔ)償。然而，實(shí)際工業(yè)體系中的模型更復(fù)雜，有必要重復(fù)多步預(yù)測(cè)。由于需要對(duì)Diophantine方程求解和矩陣求逆，基本的廣義預(yù)測(cè)控制算法導(dǎo)致在線計(jì)算過(guò)大，使得網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)難以達(dá)到理想的控制效果［9］。基于此，文中將改進(jìn)的廣義預(yù)測(cè)控制（The generalized predictive control，GPC）算法應(yīng)用于以太網(wǎng)NCS網(wǎng)絡(luò)延遲的補(bǔ)償。使用基于最小方差控制的廣義預(yù)測(cè)控制算法來(lái)避免Diophantine方程，以確保網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。將傳統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制算法和改進(jìn)的廣義預(yù)測(cè)控制算法在Matlab仿真平臺(tái)上驗(yàn)證算法的優(yōu)越性。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的廣義預(yù)測(cè)控制算法可以在隨機(jī)延遲較大的以太網(wǎng)控制環(huán)境中使用，可以補(bǔ)償延遲對(duì)系統(tǒng)性能的影響，大大提高系統(tǒng)的控制精度。

2 改進(jìn)的廣義預(yù)測(cè)控制算法設(shè)計(jì)

廣義預(yù)測(cè)控制是隨著自適應(yīng)控制的研究而發(fā)展起來(lái)的一種預(yù)測(cè)控制方法。它采用受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型（Controlled Auto-Regressive Integrated Moving-Average，CARIMA），該模型本身具備的預(yù)測(cè)功能，使其能夠?qū)⑾到y(tǒng)過(guò)去的數(shù)據(jù)信息和未來(lái)的輸入數(shù)據(jù)放在一起進(jìn)行分析，從而估算出系統(tǒng)未來(lái)的預(yù)測(cè)輸出值［10］。它采用多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正等策略，且具有對(duì)模型精度要求低，能控制參數(shù)突變和魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，而這些恰恰都是復(fù)雜控制系統(tǒng)所急需的特征。因此，在對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用中，將廣義預(yù)測(cè)控制算法應(yīng)用其中，用以解決其時(shí)延問(wèn)題，有著重要的意義，預(yù)測(cè)控制的基本結(jié)構(gòu)如下圖所示：

圖1 預(yù)測(cè)控制的基本結(jié)構(gòu)

從圖1中可以看出，在每個(gè)采樣時(shí)刻K，基于對(duì)象的某種預(yù)測(cè)模型，利用過(guò)去、當(dāng)前和將來(lái)的控制輸入以及過(guò)去和當(dāng)前的系統(tǒng)輸出，對(duì)系統(tǒng)未來(lái)某段時(shí)間內(nèi)的輸出序列進(jìn)行預(yù)測(cè)（多步預(yù)測(cè)），如圖1中[y(k+1),y(k+2),…,y(k+N)]，未來(lái)輸出預(yù)測(cè)與平滑后的未來(lái)設(shè)定值進(jìn)行對(duì)比，并通過(guò)極小化某一性能指標(biāo)的方式來(lái)得到最優(yōu)控制序列。

傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制有很多優(yōu)點(diǎn)，在延時(shí)波動(dòng)不大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中可以取得很好的控制效果，但是傳統(tǒng)GPC算法，在網(wǎng)絡(luò)延時(shí)波動(dòng)較大時(shí)，卻無(wú)法滿足系統(tǒng)要求。因?yàn)閭鹘y(tǒng)預(yù)測(cè)算法迭代部署固定后，需要多次利用Diophantine方程進(jìn)行求解運(yùn)算，而過(guò)大的運(yùn)算量會(huì)在網(wǎng)絡(luò)延時(shí)波動(dòng)較大，數(shù)據(jù)丟失步數(shù)超過(guò)預(yù)測(cè)步數(shù)，便無(wú)法補(bǔ)償對(duì)系統(tǒng)的控制性能造成直接的影響，降低系統(tǒng)的控制品質(zhì)［11］。因此本文提出在傳統(tǒng)GPC算法的基礎(chǔ)上，引入最小方差控制算法，這樣可以避免對(duì)Diophantine方程的求解，省掉了大量的計(jì)算。

2.1 最小方差控制思想

設(shè)被控對(duì)象采用下列CARIMA模型描述：

其中，d為被控系統(tǒng)時(shí)滯，并且假設(shè) A(z-1)、B(z-1)和C(z-1)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的、最小相位系統(tǒng)，ξ(k)是均值為0，方差為0.01的標(biāo)準(zhǔn)白噪聲序列。

在以上幾個(gè)假設(shè)都成立的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)k時(shí)刻及之前時(shí)刻的輸出，得到k+d時(shí)刻預(yù)測(cè)值y?(k+d|k)。

若使預(yù)測(cè)的誤差平方最小，則將目標(biāo)函數(shù)表示為

系統(tǒng)預(yù)測(cè)誤差為

最小方差控制的目的是要確定u(k)，使得系統(tǒng)輸出方差為最小，由于u(k)最早只能影響到y(tǒng)(k+d)，因此選擇性能指標(biāo)：

則使性能指標(biāo)J最小的充分條件是Ey?+d|k)}2=0 。

因此最小方差控制律為

式中，w(k)為選定的參考軌跡，且被定義為w(k)=αy(k)+(1-α)yr，P為系統(tǒng)實(shí)際輸出加權(quán)多項(xiàng)式，R為參考輸入加權(quán)多項(xiàng)式，Q為控制輸入加權(quán)多項(xiàng)式。

可以明顯看出，由于三個(gè)加權(quán)多項(xiàng)式的引入，此算法不僅保持了原有最小方差的特點(diǎn)，還可以通過(guò)多項(xiàng)式P和多項(xiàng)式R使得系統(tǒng)的輸出跟蹤參考輸入w(k)，通過(guò)多項(xiàng)式Q約束控制量u（k）的幅值和頻率變化，從而有效解決了上一節(jié)算法研究中出現(xiàn)的問(wèn)題［14］。

在k時(shí)刻對(duì)k+d時(shí)刻進(jìn)行最優(yōu)預(yù)測(cè)，得到k+d時(shí)刻的最優(yōu)預(yù)測(cè)值為

2.2 廣義最小方差預(yù)測(cè)控制

在上一小節(jié)的算法研究中，直接將網(wǎng)絡(luò)時(shí)延d的影響考慮了進(jìn)去，建立了被控對(duì)象的CARIMA模型，并通過(guò)不斷地預(yù)測(cè)、調(diào)節(jié)使得輸出量的穩(wěn)態(tài)方差保持了最小。但是，單純地追求最小方差暴露了其算法的兩點(diǎn)重要缺陷：其一，系統(tǒng)的輸出失去了對(duì)給定的參考輸入的跟蹤作用；其二，對(duì)控制量u（k）的控制作用沒(méi)有加以約束，可能會(huì)由于其出現(xiàn)巨大波動(dòng)而對(duì)儀器儀表產(chǎn)生影響［12-13］。

基于以上分析，本小節(jié)提出了廣義最小方差預(yù)測(cè)控制算法。在改進(jìn)之后的GPC算法中，采用如下指標(biāo)函數(shù)：

最小誤差可表示為

又以上公式經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)可得廣義最小方差（GMVC）控制律為

對(duì)比傳統(tǒng)的GPC算法可以明顯看出，本文提出的改進(jìn)的GPC算法在保留了原算法CARIMA模型的基礎(chǔ)上，引入了最小方差思想并從原理上簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，避免了Diophantine方程求解和大量的矩陣求逆運(yùn)算。另外，在一般廣義預(yù)測(cè)算法推導(dǎo)過(guò)程中，大多為了突出原理和推導(dǎo)簡(jiǎn)單起見(jiàn)而直接令C(z-1)=1，但實(shí)際情況是，當(dāng)計(jì)算C(z-1)=1和C(z-1)≠1時(shí)的系統(tǒng)輸出量和控制量時(shí)，需要分開(kāi)進(jìn)行，而該方法同樣從原理上避免了兩種情況下的分開(kāi)計(jì)算，從而大大減少了計(jì)算量［15］。

改進(jìn)的GPC算法對(duì)控制系統(tǒng)的具體求解步驟如下：

步驟一：給定CARIMA模型階次na，nb，nc，控制步長(zhǎng)m，預(yù)測(cè)步長(zhǎng)n，控制多項(xiàng)式P，R，Q；

步驟二：采樣當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)際輸出 y(k)及參考軌跡w(k+j)；

步驟三：根據(jù)計(jì)算控制矩陣向量；

步驟四：組建參考軌跡向量w，計(jì)算向量Ym；

步驟五：計(jì)算當(dāng)前控制量u(k)；

步驟六：返回步驟二，滾動(dòng)優(yōu)化［16］。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所采用的改進(jìn)的GPC算法的有效性，本文利用Simulink/TrueTime工具箱進(jìn)行仿真。其中采用的通信網(wǎng)絡(luò)類型為CDMA/CD（Ethernet），仿真中所采用的被控對(duì)象為直流電機(jī)，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為。仿真中分別采用3個(gè)TrueTime Kernel模塊來(lái)表示相應(yīng)傳感器節(jié)點(diǎn)、控制器節(jié)點(diǎn)和執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)，采用1個(gè)TrueTime Network模塊來(lái)模擬真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)通信介質(zhì)，系統(tǒng)的采樣周期為T(mén)=6ms。

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)延小于一個(gè)采樣周期時(shí)，即τ∈[0,T]時(shí)，仿真結(jié)果如下：

圖2 傳統(tǒng)GPC算法下的響應(yīng)曲線

圖3 改進(jìn)GPC算法下的響應(yīng)曲線

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)延τ∈[T,3T]時(shí)，仿真結(jié)果如下：

圖4 傳統(tǒng)GPC算法下的響應(yīng)曲線

圖5 改進(jìn)GPC算法下的響應(yīng)曲線

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)延τ∈[3T,5T]時(shí)，仿真結(jié)果如下：

圖6 傳統(tǒng)GPC算法下的響應(yīng)曲線

圖7 改進(jìn)GPC算法下的響應(yīng)曲線

從以上的仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)延小于一個(gè)系統(tǒng)采樣周期時(shí)，傳統(tǒng)GPC算法和改進(jìn)的GPC算法都可以對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延起到良好的補(bǔ)償效果；當(dāng)時(shí)延τ∈[T,3T]時(shí)，傳統(tǒng)GPC算法能夠跟上設(shè)定值，但時(shí)延補(bǔ)償效果相比于改進(jìn)的GPC算法開(kāi)始顯現(xiàn)出了一定的差距；當(dāng)時(shí)延τ∈[3T,5T]時(shí)，傳統(tǒng)GPC算法雖然勉強(qiáng)能夠跟蹤上設(shè)定值，但是需要的時(shí)間較長(zhǎng)，相比之下，改進(jìn)的GPC算法依然能夠平穩(wěn)快速地跟蹤上設(shè)定值。

針對(duì)直流電機(jī)控制系統(tǒng)，通過(guò)改進(jìn)前后的廣義預(yù)測(cè)控制，分析仿真結(jié)果可知，改進(jìn)后系統(tǒng)的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性良好。特別是在延時(shí)較小的的情況下，網(wǎng)絡(luò)的延時(shí)和丟包對(duì)系統(tǒng)幾乎不產(chǎn)生影響。當(dāng)延時(shí)有所增大時(shí)，基于最小方差的廣義預(yù)測(cè)控制方法能使系統(tǒng)又回到可控狀態(tài)。但傳統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制方法下的系統(tǒng)將視具體的延時(shí)情況而定，很可能無(wú)法達(dá)到預(yù)期效果，甚至進(jìn)入不可控狀態(tài)。縱觀改進(jìn)的GPC算法在設(shè)定的不同時(shí)延范圍中的表現(xiàn)，其控制效果要明顯好于傳統(tǒng)GPC算法，尤其是對(duì)于基于以太網(wǎng)NCS中容易出現(xiàn)的大時(shí)延問(wèn)題，改進(jìn)的GPC算法證明了其能夠有效地補(bǔ)償時(shí)延對(duì)系統(tǒng)造成的影響，減小了系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間，提高了系統(tǒng)的控制精度。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)基于以太網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時(shí)延問(wèn)題，提出了采用改進(jìn)的GPC算法補(bǔ)償時(shí)延的方法。文中詳細(xì)分析推導(dǎo)了傳統(tǒng)的GPC算法，然后在此基礎(chǔ)上針對(duì)傳統(tǒng)算法的缺點(diǎn)與不足，采用最小方差的控制思想對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。實(shí)驗(yàn)仿真表明，改進(jìn)的GPC算法避免了Diophantine方程復(fù)雜的求解過(guò)程，減少了計(jì)算時(shí)間，對(duì)NCS時(shí)延及時(shí)準(zhǔn)確地進(jìn)行了補(bǔ)償，保證了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，提高了系統(tǒng)的控制精度。