常利率對偶風險模型的折現分紅函數

康世祿，王春偉，沈思連

（河南科技大學 數學與統(tǒng)計學院，河南 洛陽 471023）

0 引言

對偶風險模型是Cramer提出的，因為對偶風險模型與現實公司經營情況的契合度比較高，受到了越來越多學者的關注。在該模型中，保險公司在時刻t的盈余由下式給出：

其中u≥0為保險公司的初始資本，常數c＞0表示單位時間內的花費，復合泊松過程表示直到時刻t的總收益額，Xi表示第i次的收益額，且{Xi，i=1，2，…}是一個獨立同分布的非負隨機變量序列，具有共同的分布函數P(x)和密度函數p(x)；N(t)是從0時刻開始計數的計數過程，服從參數為λ的泊松過程，表示在t時刻之前所發(fā)生收益的總次數，N(t)=sup{n≥0∶Tn≤t}，t≥0 ，且N(0)=0；Ti為第i次索賠發(fā)生的時刻。為研究方便，假設{N(t)∶t≥0} 與{Xi，i=1，2，…}相互獨立[1]。

對偶風險模型的應用是非常普遍的，常見的壽險就是典型的對偶風險模型，也可以看成石油公司，科研公司等需要持續(xù)投資且收益不固定的企業(yè)。Avanzi，Gerber和Shiu[2]考慮了障礙分紅策略下的對偶風險模型；接著Avanzi和Gerber[3]又研究了帶擾動的對偶風險模型，討論了障礙分紅策略下的最優(yōu)值問題；Albercher[4]研究了帶稅率的對偶風險模型的破產問題；楊莉和高岳林等[5]研究了Erlang(n)等待時間的兩步保費率對偶風險模型。隨著分紅策略的提出和利率的引入，帶利率的風險模型的分紅問題為眾多學者專家研究的對象，研究成果對投資者進行有效的投資，增加公司的盈利水平和抗風險能力提供了有效的指導。袁海麗和胡亦鈞[6]主要研究了在常數利率和障礙分紅策略的對偶風險模型；項明寅和孫景云[7]研究了常數分紅策略下Erlang（2）常利率風險模型的分紅折現函數；王春偉和尹傳存[8]研究了具有投資利率的擾動風險模型的最優(yōu)分紅問題；Zhao，Wang和Yin[9]研究了譜負的Lévy對偶風險模型的分紅問題和資本注入問題。

1 預備知識

本文在以上文獻的基礎上，考慮投資利率為r＞0和分紅邊界b＞0，并且為了保證公司抗風險能力設定投資邊界為非負值a，這樣可以在保證公司抗風險能力的基礎上，使公司獲得更多的收益。取0＜a＜b，當盈余0＜U(t)≤a時，即沒有投資也沒有分紅，其盈余過程就是基本的對偶風險模型；當盈余a＜U(t)≤b時，盈余超過a的部分用于投資，投資利率為r；當盈余大于b時，超過b的部分用于分紅。公司的盈余過程U(t)可表示為：

用T=inf{t;t≥0，U(t)＜0} 表示破產時刻，D(t)表示到t時刻發(fā)放的紅利總額，到破產為止總的折現分紅值為：

其中δ＞0是折現因子。到破產為止的折現分紅總量的期望表示為：

折現分紅總量的矩母函數表示為：

y是使得M(u，y;b)存在的參數，則折現分紅總量的n-階矩表示為：

2 折現分紅總量的期望

由模型介紹知，初始盈余的取值不同，折現分紅期望的表示也不同，本文用V(1)(u;b)表示盈余0≤u＜a時的折現分紅期望，V(2)(u;b)表示u≥a時的分紅折現期望。

當初始盈余u=0時，破產立即發(fā)生，即：

當u＞b時，有：

并且可以得到V(1)(u;b)和V(2)(u;b)滿足的積分-微分方程。

定理1：當0≤u＜a時，V(1)(u;b)滿足的的積分-微分方程為：

證明：當0≤u＜a時，即沒有投資利率也沒有分紅發(fā)生。此時的盈余過程為U(t)=u-ct+St。

同樣選取足夠小的時間區(qū)間[0 ，τ]，使得u-cτ＞0 。在[0 ，τ]區(qū)間內首次發(fā)生跳躍的額度為x，則此時得折現分紅期望為：

對上式關于τ求導并取τ→0。得滿足V(1)(u;b)的積分-微分方程：

進一步整理可得式（3）。

定理2：當a≤u＜b時，V(2)(u;b)滿足的積分-微分方程為：

證明：當a≤u＜b時，此時盈余過程包含投資利息，則t時刻的盈余為：本文選取足夠小的時間區(qū)間[0 ，τ]，使得在[0 ，τ]區(qū)間內首次發(fā)生跳躍的額度為x，則此時的折現分紅期望為：

對上式關于τ求導，并令τ→0得：

將式（2）帶入式（7），整理可得：

進一步整理得式（5）。

下面假設收益服從參數為β的指數分布，則進一步得到折現分紅期望的顯示解。

推論1：收益服從指數分布時，V(1)(u;b)與V(2)(u;b)的顯示解分別為：

證明：將指收益分布p(y)=βe-βx，x≥0 帶入折現分紅期望的積分-微分方程式（3）及式（5）可得：

對方程（8）和方程（9）分別關于u求導：由方程（8）和方程（10）可得：

可知V(1)(u;b)的通解為：

其中A1為未知常數，ξ1，ξ2是下述特征方程的解：

由方程（9）和方程（11）可得：

則方程（13）的通解為：

其中M(d1，d2，x)和U(d1，d2，x)分別為合流超幾何函數的第一形式和第二種形式。因此，方程（14）的通解為：

現在需要確定未知參數A1，A2，B2。為方便表達，引入符號：

將式（12）和式（16）代入式（8）有：

因為上式適用于所有0≤u＜a，eβu所有系數的和一定為0。由V(1)(u;b)與V(2)(u;b)在u=a處連續(xù)得：在式（9）中令u=b可得：

由式（17）、式（18）和式（19）得：其中：

將式（12）和式（16）代入式（8）并令u=0得：

聯立式（18）、式（19）和式（20）可得相同的A1，A2，B2。

3 折現分紅總量的矩

由于初始盈余的取值不同，矩母函數的表示方法也不同，本文用M(1)(u，y;b)表示盈余u＜a時的矩母函數，M(2)(u，y;b)表示u≥a時的矩母函數。

當u=0時，破產立即發(fā)生，即：

定理3：當a≤u＜b時，折現分紅總量的矩母函數所滿足的積分-微分方程為：

折現分紅期望的n-階矩所滿足的積分-微分方程為：

證明a≤u＜b時,選足夠小的時間區(qū)間[0 ，τ],使得在τ和時刻τ之前首次跳的額度為x，有：

整理得：

等式兩端同除以τ,并取τ→0得到折現分紅期望的矩母函數所滿足的積分-微分方程（21）。

定理4：當0≤u＜a時，折現分紅期望的矩母函數所滿足的積分-微分方程為：

折現分紅期望的n-階矩所滿足的積分-微分方程為：

證明：方法同定理3。

4 結論

本文研究了具有投資利率的對偶風險模型的分紅問題，求出了折現分紅期望滿足的積分-微分方程并得到了收益服從指數分布時的顯示解。另外求得分紅的矩母函數和高階矩所滿足的積分-微分方程。