例談求參數(shù)范圍問題中邊界值的取否

張輝

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2019）03-0147-01

高中數(shù)學的問題中，有一類題目我們認真做完以后感覺肯定是對的，但結果往往與正確答案差之毫厘，那就是求參數(shù)的取值范圍問題，這種問題涵蓋了高中數(shù)學的主干知識，涉及函數(shù)、不等式等重點和難點知識，正因如此，我們都很重視，但在實際的做題過程中，我們往往會得到一個和結果差不多的答案，最大的差別就是和正確答案在邊界值的是否可取上，其實這是最可惜的，為什么信心滿滿的我們會做出一個與正確答案差之毫厘的結果，那么這種問題是如何產(chǎn)生的？我們怎樣做才能避免這種錯誤呢？下面，我想結合具體的實例來加以明確的分析。

例一：已知點P在曲線y=x3-3x+1上的任意一點，點P處的傾斜角為α，則α的取值范圍是.答案：[0，π2）∪[2π3，π）.

這道題在實際解題過程中，同學們出現(xiàn)的錯誤答案有好多種，錯誤率較多的如：（0，π2）∪[2π3，π），（0，π2）∪[2π3，π]，（0，π2]∪[2π3，π]等，比較一下正確答案和同學們的錯誤答案，很明顯發(fā)現(xiàn)都是因為邊界值的取否，那么仔細分析了一下造成這種錯誤的原因，很明顯能夠得到這個錯誤答案就根本不是該題目是否會做的問題，而是對于基礎知識，基本概念掌握不牢所導致的，同學們對于直線傾斜角的范圍是[0，π）這個知識點掌握不牢產(chǎn)生了錯誤，因此，要想避免這種錯誤就必須要扎實掌握基礎知識.

例二：已知函數(shù)f（x）=1mx2+mx+1的定義域為R，則m的取值范圍是.答案：[0，4）.

本題主要錯誤答案有：（0，4）（錯誤率最高），[0，4].

本題同學們出現(xiàn)這種邊界值錯誤的原因主要是因為考慮問題不周到，根號里面mx2+mx+1，這個形式不一定是二次的，需要分情況討論，而同學們往往先入為主，看到這種形式就直接當做二次來求解，從而導致錯誤，還有第二個問題就是在考慮V時，到底是V<0還是V≤0，往往同學們分辨不清，甚至還有同學認為是V>0，V≥0，出現(xiàn)此類錯誤主要是對這種問題的模糊認知，見大忘小.要想杜絕這種錯誤，那么在做題的時候一定要多留一個心眼，多考慮一下細節(jié)！

例三：對任意的x∈（-4，1），的不等式x2-4a（x-2）<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍是.答案：a≤-23.

本題80%的錯誤答案都是a<-23，為何都不取等號，分析原因我覺得還是對于題目的理解不夠深刻，由于是關于二次函數(shù)的恒成立問題，所以一般選擇最值計算（其他函數(shù)首選參變分離），函數(shù)小于零恒成立，只要他的最大值小于零即可，這里開口向上，所以最大值在端點取，代入計算求不等式解集即可，從而得到a<-23這個錯誤答案，其實就整個題目的分析過程，很完美，那究竟錯在哪個地方呢？其實代入的時候，就是對這種問題的理解不深，由于條件中x的兩個邊界值都取不到，因此函數(shù)在該區(qū)間上的最大值也是取不到的，所以代入計算時就是最大值小于等于零.

例四：已知函數(shù)f（x）=Inx+2ax，a∈R.若f（x）在的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.答案：（-∞，1].

變式：已知函數(shù)f（x）=Inx+2ax，a∈R.若f（x）在的單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.答案：（-∞，1].

這兩個題目條件有些許的變化，但是對結果卻沒有任何影響，但許多同學的錯誤答案都是（-∞，1].究其錯誤的原因主要在問題轉化時產(chǎn)生的偏差，這是由于我們對該問題和該知識的理解不到位所產(chǎn)生的.課本上利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間步驟如下：求f（x）的導函數(shù)f′（x），令f′（x）>0，求出該不等式在定義域內(nèi)的解集即是該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，這個知識點是函數(shù)的重點知識，也是高中函數(shù)的必備和必考知識，因此同學們就在反復的演練中根深蒂固于自己的腦海，因此在本題中，這種根深蒂固就變成了函數(shù)在[2，+∞）上遞增，所以f′（x）>0對于任意的x∈[2，+∞）恒成立，從而得到上面錯誤的答案. 其實如果仔細思考，認真領悟，單調(diào)區(qū)間在邊界點取與不取都是正確的，如前面三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是寫成閉區(qū)間，所以對于求單調(diào)區(qū)間而言，邊界值取與不取只需看定義域；反過來，針對本題，已知函數(shù)的在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，應該轉化為該函數(shù)的導函數(shù)在該區(qū)間上大于等于零恒成立，因此我們做這些題目時不能想當然的一知半解，必須在平時的學習中充分體會和領悟知識的內(nèi)涵和知識點之間的關系，才能突破這些難點，達到會且對的效果.

當然，在實際的做題過程中，我們還會犯諸如看錯題目：把“≥”看成“>”，造成邊界值沒有取得的錯誤；還有在謄抄答案時將“≥”抄錯成“>”這樣的尷尬錯誤，因此認真審題和細致答題這個做題的萬能法寶我們時刻不能丟！

對于求參數(shù)的取值范圍這樣的問題，在實際解答的過程中，我們需要細心和專心，結合多個視角、多個側面來深入思考、分析、作答，如函數(shù)本身的性質、題目的特定要求以及隱含的種種要素，如果真的不好判斷的話有些問題我們還可以直接將邊界值代入進行驗證是否滿足. 這樣，碰到關于這一類題型的問題我們就可以做到不留遺憾，百戰(zhàn)百勝！